07 课时分层训练(七) 切线长定理-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(七)　切线长定理 知识点一　切线长及切线长定理 1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点．若PA＝5，则PB的长为(　D　) A．2 B．3 C．4 D．5 2．如图，AB，AC，BD是⊙O的切线，切点分别是P，C，D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是(　C　) A．4 B．3 C．2 D．1 3．如图，AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD，CE分别与⊙O相切于点D，E．若AD＝2，∠DAC＝∠DCA，则CE＝ 2 ． 4．如图，P是⊙O的直径AB延长线上的一点，PC，PD分别切⊙O于点C，D．若PA＝6，⊙O的半径为2，则∠CPD＝ 60° ．(填度数) 知识点二　切线长定理的综合运用 5．(2026·枣庄检测)如图，PA，PB，CD分别切⊙O于点A，B，E，∠APB＝54°，则∠COD的度数为(　B　) A．36° B．63° C．126° D．46° 6．如图，若△ABC的三边AB＝9，BC＝5，CA＝6，△ABC的内切圆⊙O分别切AB，BC，AC于点D，E，F，则AF的长为(　A　) A．5 B．10 C．7.5 D．4 7．如图，已知⊙O的半径是4，P是⊙O外的一点，且PO＝8，从点P引⊙O的两条切线，切点分别是A，B，则AB的长为(　C　) A．4 B．4 C．4 D．2 8．如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，⊙O上有一点C，已知点A，B，C三等分⊙O，∠P＝60°，求证：四边形PACB是菱形． 证明：如图，连接AB． ∵点A，B，C三等分⊙O， ∴＝＝． ∴AC＝BC＝AB． ∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B， ∴PA＝PB． ∵∠P＝60°，∴△PAB是等边三角形． ∴PA＝AB＝PB．∴PA＝AC＝CB＝BP． ∴四边形PACB是菱形． 9．(2026·济南模拟)如图，⊙O内切于正方形ABCD，点E，F分别在边AD，DC上，且EF是⊙O的切线．当△BEF的面积为时，⊙O的半径r是 ． 解析：设正方形的边长为2a，则AM＝DM＝DG＝CG＝a，设ME＝NE＝x，NF＝FG＝y． 在Rt△DEF中，DE＝a－x，DF＝a－y，EF＝x＋y， ∴(x＋y)2＝(a－x)2＋(a－y)2． ∴ax＋ay＋xy＝a2． ∵S△BEF＝S正方形ABCD－S△ABE－S△BCF－S△DEF， ∴4a2－×2a×(a＋x)－×2a×(a＋y)－×(a－x)×(a－y)＝． ∴a2－(ax＋ay＋xy)＝．∴a2＝． ∵a＞0，∴a＝．∴AB＝2a＝3， ∴⊙O的半径r为． 10．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点．若∠E＝46°，∠DCF＝32°，则∠A的度数是 99° ． 11．如图，PA，PB是⊙O的切线，CD切⊙O于点E，△PCD的周长为12，∠APB＝60°．求： (1)PA的长； (2)∠COD的度数． 解：(1)∵CA，CE都是⊙O的切线， ∴CA＝CE． 同理DE＝DB，PA＝PB， ∴△PCD的周长＝PD＋PC＋CD＝PD＋PC＋CA＋DB＝PA＋PB＝2PA＝12． ∴PA的长为6． (2)∵∠P＝60°，∴∠PCE＋∠PDE＝120°． ∴∠ACD＋∠CDB＝360°－120°＝240°． ∵CA，CE是⊙O的切线， ∴∠OCE＝∠OCA＝∠ACD． 同理∠ODE＝∠CDB， ∴∠OCE＋∠ODE＝(∠ACD＋∠CDB)＝120°． ∴∠COD＝180－120°＝60°． 12．如图，AB为⊙O的直径，PA，PC分别与⊙O相切于点A，C，PQ⊥PA，PQ交OC的延长线于点Q． (1)求证：OQ＝PQ； (2)连接BC并延长交PQ于点D，PA＝AB，且CQ＝6，求BD的长． (1)证明：如图，连接OP． ∵PA，PC分别与⊙O相切于点A，C， ∴PA＝PC，OA⊥PA． ∵OA＝OC，OP＝OP， ∴△OPA≌△OPC(SSS)，∴∠AOP＝∠POC． ∵QP⊥PA，∴QP∥BA． ∴∠QPO＝∠AOP．∴∠QOP＝∠QPO． ∴OQ＝PQ． (2)解：设OA＝r． ∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB． ∵OB∥QD，∴∠QDC＝∠OBC． ∵∠OCB＝∠QCD，∴∠QCD＝∠QDC． ∴QC＝QD＝6． ∵QO＝QP，∴OC＝DP＝r． ∵PC是⊙O的切线，∴OC⊥PC． ∴∠OCP＝∠PCQ＝90°． ∵PA＝PC，PA＝AB，∴PC＝AB＝2r． 在Rt△PCQ中，∵PQ2＝PC2＋QC2， ∴(6＋r)2＝(2r)2＋62，解得r＝4或0(舍去)． ∴OP＝＝4． ∵OB＝PD，OB∥PD， ∴四边形OBDP是平行四边形． ∴BD＝OP＝4． 【创新运用】 13．如图，AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°，DE与⊙O相切于点E，⊙O的半径为，AD＝2． (1)求BC的长； (2)延长AE交BC的延长线于点G，求EG的长． 解：(1)如图，过点D作DF⊥BC于点F． ∵AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴四边形ABFD是矩形，AD与BC是⊙O的切线．∴DF＝AB＝2，BF＝AD＝2． ∵DE与⊙O相切， ∴DE＝AD＝2，CE＝BC． 设BC＝x，则CF＝BC－BF＝x－2，DC＝DE＋CE＝2＋x． 在Rt△DCF中，DC2＝CF2＋DF2， 即(2＋x)2＝(x－2)2＋(2)2， 解得x＝，即BC＝． (2)∵AB为⊙O的直径，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∴AD∥BC．∴△ADE∽△GCE． ∴＝＝． ∵AD＝DE＝2，∴CG＝CE＝BC＝． ∴BG＝BC＋CG＝5，＝． 在Rt△ABG中，AG＝＝3， ∴EG＝AG＝． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $