06 课时分层训练(六) 直线和圆的位置关系-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(六)　直线和圆的位置关系 知识点一　直线与圆的位置关系 1．(2026·长春检测)著名作家巴金在他的作品《海上日出》中对日出状况的描写：“果然，过了一会儿，那里出现了太阳的小半边脸，红是红得很，却没有亮光．”这段文字中，给我们呈现了直线与圆的哪一种位置关系(　C　) A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 知识点二　切线的性质 2．(2026·重庆模拟)如图，AB为⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，连接AC．若∠ACD＝50°，则∠BAC的度数为(　B　) A．30° B．40° C．50° D．60° 解析：如图，连接OC． ∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD＝90°． ∵∠ACD＝50°， ∴∠ACO＝90°－50°＝40°． ∵OC＝OA，∴∠BAC＝∠ACO＝40°． 3．如图，AB是⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，∠ABC＝25°，OC的延长线交PA于点P，则∠P的度数是(　C　) A．25° B．35° C．40° D．50° 4．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且CO＝CD，则∠PCA的度数为(　D　) A．30° B．45° C．60° D．67.5° 知识点三　切线的判定定理 5．下列直线能判定是圆的切线的是(　D　) A．和半径垂直的直线 B．和圆有公共点的直线 C．到圆心的距离等于直径的直线 D．经过半径的外端且垂直于半径的直线 6．(2026·日照检测)如图，在△POM中，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线的是(　A　) A．点N是OP的中点 B．∠O＋∠P＝∠OMP C．OM2＋PM2＝OP2 D．∠O＋∠P＝90° 7．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，以点A为圆心，3 cm为半径作⊙A，当AB＝ 6 cm时，BC与⊙A相切． 知识点四　三角形的内切圆及内心 8．如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，且∠BAC＝50°，则∠BOC的度数是(　C　) A．90° B．100° C．115° D．130° 9．(2026·日照检测)如图，点O是△ABC的内心，也是△DBC的外心．若∠A＝80°，则∠D的度数是(　B　) A．60° B．65° C．70° D．75° 10．如图，P为正比例函数y＝x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点P的坐标为(x，y)． (1)求⊙P与直线x＝2相切时点P的坐标； (2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时x的取值范围． 解：(1)如图，过点P作直线x＝2的垂线，垂足为点A． 当点P在直线x＝2左侧时，PA＝2－x＝3，得x＝－1，∴P． 当点P在直线x＝2右侧时，AP＝x－2＝3，得x＝5，∴P． ∴当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为或． (2)当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交； 当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离． 11．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACD＝∠B，AD⊥CD． (1)求证：CD是⊙O的切线； (2)若AD＝1，OA＝2，求AC的长． (1)证明：如图，连接OC． ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°． ∵OB＝OC，∴∠B＝∠BCO． 又∵∠ACD＝∠B， ∴∠OCD＝∠OCA＋∠ACD＝∠OCA＋∠BCO＝∠ACB＝90°，即OC⊥CD． ∴CD是⊙O的切线． (2)解：∵AD⊥CD， ∴∠ADC＝∠ACB＝90°． 又∵∠ACD＝∠B，∴△ACB∽△ADC． ∴＝． ∴AC2＝AD·AB＝1×4＝4．∴AC＝2． 12．如图，AB是半圆O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为点D，连接BC． (1)求证：BC平分∠PBD； (2)求证：BC2＝AB·BD； (3)若PA＝6，PC＝6，求BD的长． (1)证明：如图，连接OC． ∵PD切⊙O于点C，∴OC⊥PD． ∵BD⊥PD，∴OC∥BD．∴∠OCB＝∠CBD． ∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC． ∴∠CBD＝∠OBC，即BC平分∠PBD． (2)证明：如图，连接AC． ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∵BD⊥PD，∴∠PDB＝90°． 又∵∠CBD＝∠OBC， ∴△ABC∽△CBD．∴＝． ∴BC2＝AB·BD． (3)解：在Rt△PCO中，OA＝OC，PA＝6，PC＝6． ∵OC2＋PC2＝PO2， ∴OC2＋(6)2＝(6＋AO)2＝(6＋OC)2， 解得OC＝3． ∵OC∥BD，∴＝，即＝， 解得BD＝4．∴BD的长为4． 13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，点I是△BCD的内心，点O与点I 关于直线BD对称，求∠A的度数． 解：如图，连接BO，DO，BI，DI． ∵点O与点I关于直线BD对称， ∴BO＝BI，DO＝DI． ∵BO＝DO，∴BO＝BI＝DO＝DI． ∴四边形BIDO是菱形． ∴∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB． ∵I是△BCD的内心， ∴∠IBD＝∠IBC，∠IDB＝∠IDC． ∴∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBC＝∠IDC． 设∠OBD＝∠ODB＝∠IBD＝∠IDB＝∠IBC＝∠IDC＝x． ∵∠C＋4x＝180°，∠BOD＋2x＝180°， ∴∠C＝180°－4x，∠BOD＝180°－2x． ∵∠A＝∠BOD＝(180°－2x)＝90°－x，∠A＋∠C＝180°， ∴90°－x＋180°－4x＝180°，解得x＝18°． ∴∠A＝90°－18°＝72°． 14．(2026·凉山州检测)如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点F，P是CD的延长线上一点，DE⊥AP，垂足为点E，∠EAD＝∠FAD． (1)求证：AE是⊙O的切线； (2)若AP＝4，PD＝2，求⊙O的半径和DE的长． (1)证明：如图，连接OA． ∵AB⊥CD，∴∠AFD＝90°． ∴∠FAD＋∠ADF＝90°． ∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ADF． ∴∠FAD＋∠OAD＝90°． ∵∠EAD＝∠FAD， ∴∠EAD＋∠OAD＝90°， 即∠OAE＝90°．∴OA⊥AE． ∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线． (2)解：如图，连接AC． ∵CD为⊙O的直径，∴∠CAD＝90°． ∴∠C＋∠ADC＝90°． ∵∠FAD＋∠ADC＝90°， ∴∠C＝∠FAD． ∵∠EAD＝∠FAD，∴∠C＝∠EAD． ∵∠P＝∠P，∴△ADP∽△CAP． ∴＝． ∵AP＝4，PD＝2，∴＝，解得CP＝8． ∴CD＝CP－PD＝8－2＝6． ∴⊙O的半径为3． ∴OA＝3＝OD．∴OP＝OD＋PD＝5． ∵∠OAP＝90°＝∠DEP，∠P＝∠P， ∴△OAP∽△DEP，∴＝， 即＝．∴DE＝． ∴⊙O的半径为3，DE的长为． 【创新运用】 15．如图1，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB＝4，BC＝2，P是⊙O上半部分的一个动点，连接OP，CP． (1)求△OPC的最大面积； (2)求∠OCP的最大度数； (3)如图2，延长PO交⊙O于点D，连接DB．当CP＝DB时，求证：CP是⊙O的切线． (1)解：∵△OPC的边长OC是定值， ∴当OP⊥OC时，OC边上的高为最大值，此时△OPC的面积最大． ∵AB＝4，BC＝2， ∴OP＝OB＝2，OC＝OB＋BC＝4． ∴S△OPC＝OC·OP＝×4×2＝4， 即△OPC的最大面积为4． (2)解：当PC与⊙O相切，即OP⊥PC时，∠OCP的度数最大． 在Rt△OPC中，∠OPC＝90°，OC＝4，OP＝2， ∴sin ∠OCP＝＝．∴∠OCP＝30°， 即∠OCP的最大度数为30°． (3)证明：如图，连接AP，BP． ∵∠AOP＝∠DOB，∴AP＝DB． ∵CP＝DB，∴AP＝PC．∴∠A＝∠C． ∵∠A＝∠D，∴∠C＝∠D． ∵OC＝PD＝4，PC＝DB， ∴△OPC≌△PBD(SAS)．∴∠OPC＝∠PBD． ∵PD是⊙O的直径，∴∠PBD＝90°． ∴∠OPC＝90°．∴OP⊥PC． 又∵OP是⊙O的半径， ∴CP是⊙O的切线． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $