03 课时分层训练(三) 垂径定理-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

课时分层训练(三)　垂径定理 知识点一　垂径定理及推论 1．下列说法中正确的个数有(　A　) ①垂直平分弦的直线经过圆心； ②平分弦的直径一定垂直于弦； ③一条直线平分弦，那么这条直线垂直这条弦； ④平分弦的直线，必定过圆心； ⑤平分弦的直径，平分这条弦所对的弧． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．(2026·威海检测)如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．若AB＝10，CD＝8，则AE的长为(　C　) A．3 B．6 C．8 D．9 解析：如图，连接OC． ∵AB＝10，∴OA＝OB＝OC＝5． ∵AB⊥CD，∴CE＝ED＝CD＝4． ∴OE＝＝＝3． ∴AE＝AO＋OE＝5＋3＝8． 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CD⊥AB于点E，则下列结论中不正确的是(　C　) A．∠COE＝∠DOE B．CE＝DE C．OE＝BE D．＝ 4．如图，已知AB是⊙O的弦，半径OA＝20 cm，∠AOB＝120°，求△AOB的面积． 解：过点O作OC⊥AB于点C(图略)， ∴∠AOC＝∠AOB＝60°，AC＝BC＝AB． ∴在Rt△AOC中，∠A＝30°，OA＝20 cm． ∴OC＝OA＝10 cm，AC＝10 cm． ∴AB＝2AC＝20 cm． ∴△AOB的面积为AB·OC＝100 cm2． 知识点二　垂径定理及推论的综合应用 5．在直径为200 cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，若油面宽AB＝160 cm，则油的最大深度为(　A　) A．40 cm B．60 cm C．80 cm D．100 cm 6．每位同学都看到过日出时美丽的景色吧！如图是一位同学从照片上剪切下来的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为5 cm，AB＝8 cm．若从目前太阳所处位置到太阳完全跳出海面的时间为16 min，则“图上”太阳升起的速度为(　B　) A．0.4 cm/min 　 B．0.5 cm/min C．0.6 cm/min 　 D．0.7 cm/min 7．(2025·东营中考)“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题，转化为现在的数学语言表达就是：如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为点E，CE＝1寸，AB＝10寸，则直径CD的长度为 26 寸． 解析：如图，连接OA，设⊙O的半径是r寸． ∵直径CD⊥AB， ∴AE＝AB＝×10＝5(寸)． ∵CE＝1寸， ∴OE＝(r－1)寸． ∵OA2＝OE2＋AE2， ∴r2＝(r－1)2＋52．∴r＝13． ∴直径CD的长度为2r＝26寸． 8．如图，将一个两边带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆交于点D，E，量出半径OC＝5 cm，弦DE＝8 cm，求直尺的宽． 解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD(图略)． ∴DM＝DE． ∵DE＝8 cm，∴DM＝4 cm． 在Rt△ODM中，∵OD＝OC＝5 cm， ∴OM＝＝＝3(cm)． ∴直尺的宽度为3 cm． 9．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，P为弦AB上的动点，则线段OP长度的取值范围是(　D　) A．3＜OP＜5 　 B．3≤OP≤5 C．4＜OP＜5 　 D．4≤OP≤5 10．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，D，E分别是AC，BC上的一点，且DE＝6．若以DE为直径的圆与斜边AB相交于点M，N，则MN的最大值为(　B　) A．5.6 B．4.8 C．4 D．1.6 11．(2025·荆州中考)如图，将一个球放置在圆柱形玻璃瓶上，测得瓶高AB＝20 cm，底面直径BC＝12 cm，球的最高点到瓶底面的距离为32 cm，则球的半径为 7.5 cm．(玻璃瓶厚度忽略不计) 解析：如图，设球心为点O，过点O作OM⊥AD于点M，连接OA，设球的半径为r cm． 由题意，得AD＝12 cm，OM＝32－20－r＝(12－r)cm． 由垂径定理，得AM＝DM＝AD＝6 cm． 在Rt△OAM中，由勾股定理，得AM2＋OM2＝OA2， 即62＋(12－r)2＝r2，解得r＝7.5， 即球的半径为7.5 cm． 12．如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12 m，拱高CD为4 m． (1)求拱桥的半径； (2)有一艘宽为5 m的货船，船舱顶部为矩形，并高出水面3.4 m，则此货船能否顺利通过此圆弧形拱桥？请说明理由． 解：(1)如图，连接OB． 由题意，可知OC⊥AB，∴D为AB的中点． ∵AB＝12 m，∴BD＝AB＝6 m． 又∵CD＝4 m，设OB＝OC＝r m， ∴OD＝(r－4)m． 在Rt△BOD中，根据勾股定理，得r2＝(r－4)2＋62， 解得r＝6.5，即拱桥的半径为6.5 m． (2)此货船能顺利通过这座拱桥．理由如下： 如图，设MN∥AB交OC于点E且ED＝3.4 m，连接ON． ∵CD＝4 m，∴CE＝4－3.4＝0.6(m)． ∴OE＝r－CE＝6.5－0.6＝5.9(m)． 在Rt△OEN中，EN2＝ON2－OE2＝＝7.44．∴EN＝ m． ∴MN＝2EN＝2×≈5.5(m)＞5 m． ∴此货船能顺利通过这座拱桥． 13．(2025·上海中考)如图，在⊙O中，弦AB的长为8，点C在BO的延长线上，且cos ∠ABC＝，OC＝OB． (1)求⊙O的半径； (2)求∠BAC的正切值． 解：(1)如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点D． ∵AB＝8，∴AD＝BD＝AB＝4． 在Rt△OBD中，cos ∠ABC＝， ∴OB＝＝＝5． ∴⊙O的半径为5． (2)如图，过点C作CE⊥AB，垂足为点E． ∵OC＝OB，OB＝5， ∴BC＝OB＝7.5． ∵OD⊥AB，∴OD∥CE． ∴＝．∴＝．∴BE＝6． ∴AE＝AB－BE＝8－6＝2． 在Rt△BCE中，CE＝＝＝4.5． 在Rt△ACE中，tan ∠BAC＝＝＝， ∴∠BAC的正切值为． 【创新运用】 14．如图，在两个都以点O为圆心的同心圆中，大圆的弦AB与小圆相交于C，D两点． (1)求证：AC＝BD； (2)若AC＝2，BC＝4，大圆的半径R＝5，求小圆的半径r的值； (3)若AC·BC＝12，请求出两圆之间圆环的面积．(结果保留π) (1)证明：如图，过点O作OE⊥AB于点E． 由垂径定理可得AE＝BE，CE＝DE， ∴AE－CE＝BE－DE．∴AC＝BD． (2)解：如图，连接OC，OA． ∵AC＝2，BC＝4，∴AB＝2＋4＝6．∴AE＝3． ∴CE＝AE－AC＝3－2＝1． 在Rt△AOE中，由勾股定理，可得OE2＝OA2－AE2＝52－32＝16． 在Rt△COE中，由勾股定理，可得OC2＝CE2＋OE2＝12＋16＝17， ∴OC＝，即小圆的半径r为． (3)解：如图，在Rt△AOE与Rt△OCE中，OE2＝OA2－AE2，OE2＝OC2－CE2， ∴OA2－AE2＝OC2－CE2． ∴OA2－OC2＝AE2－CE2＝(AE＋CE)(AE－CE)＝(BE＋CE)·AC＝BC·AC＝12． ∴OA2－OC2＝12． ∴圆环的面积为π·OA2－π·OC2＝π(OA2－OC2)＝12π． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $