21.3.1 矩形（第2课时）（培优教学课件）数学新教材人教版八年级下册

第2课时 矩形的判定 21.3 矩形 第二十一章 四边形 第二十一章 四边形 章节导读 22. 2 平行四边形 21. 1 四边形及多边形 四边形及其内角和 多边形及其内角和 平行四边形及其性质 平行四边形的判定 三角形的中位线 22. 3 特殊的平行四边形 矩形 菱形 正方形 1 2 3 掌握矩形的 3 种判定方法，能灵活运用判定方法完成矩形的证明与相关计算，区分不同判定方法的适用前提； 类比平行四边形判定的探究思路，培养几何逻辑推理能力与严谨的论证思维； 经历生活中的矩形判定应用场景，体会数学与实际生活的联系，感受几何证明的严谨性，激发数学探究兴趣. 新课引入 上节课我们学习了矩形的定义，你能说明什么是矩形吗？ 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形 矩形的定义既是矩形的性质，也是我们判定矩形的第一个方法 —— 定义法. 矩形相比普通平行四边形，还有哪些特殊性质？ ①角：矩形的四个角都是直角； ②对角线：矩形的对角线相等 探究一：矩形的判定定理一 新知探究 探究 在前面的学习中，我们知道了矩形的对角线相等，这个性质的逆命题是什么？ 该性质的逆命题为：对角线相等的平行四边形是矩形. 这个逆命题是真命题吗？我们能不能验证它？ 证明方法一：几何演示 新知探究 证明方法二：代数推理 思考 在几何演示的过程中可以发现，无论如何变化，当对角线相等时必有一直角，满足成为矩形的条件。下面我们试试更严谨的代数推理. 如图，在平行四边形 中，对角线 。 求证：平行四边形 是矩形 证明 四边形 是平行四边形 ， 易（SSS） 平行四边形 是矩形 即时训练 1.如图，在中，，是的中点．延长至点，使．连接. 求证：四边形是矩形； 【详解】证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形； 【分析】先由对角线互相平分证平行四边形，再由直角证其为矩形 探究二：矩形的判定定理二 新知探究 探究 矩形还有一条特殊的性质，矩形的四个角都是直角，它的逆命题是什么？ 该性质的逆命题：四个角都是直角的四边形是矩形 可以简化，只需要知道三个角是直角即可，即： 有三个角是直角的四边形是矩形 四边形的内角和是 360°,如果已经有三个角是直角了，第四个角的度数是多少？我们能不能把条件简化？ 下面我们尝试证明这个猜想. 新知探究 证明方法一：几何演示 由几何演示可知，当确定了三个直角时候，第四个角一定是直角. 证明方法二：代数推理 新知探究 已知：如图，在四边形 中，。 求证：四边形 是矩形。 证明： , , 四边形 是平行四边形 又 平行四边形 是矩形 即时训练 2.如图，在四边形中，，，E为边上一点．请用尺规作图法在四边形内部求作一点P，使四边形为矩形．（保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查作图——复杂作图，矩形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据尺规作图作垂线的方法，过点作垂直，过点作，即可求解． 【详解】解：如图所示，即为所求． 新知总结 矩形的判定 定义法：有一个角是直角的平行四边形是矩形 定理1：对角线相等的平行四边形是矩形 定理2：有三个角是直角的四边形是矩形 注：定义法和定理1只适用于平行四边形，再平行四边形的基础上才能判定 典例分析 例1 如图 , 平行四边形ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E, F, G, H. 求证: 四边形 EFGH 是矩形. 【分析】 根据已知条件, 容易证明四边形 EFGH 的一个内角 ∠F 为直角, 同理可证 ∠H, ∠AEB 也为直角, 从而证明四边形 EFGH 是矩形. 证明: ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形, ∴ AB // CD. ∴ ∠BAD + ∠ADC = 180°. 又 AF, DF 分别平分 ∠BAD, ∠ADC, ∴ ∠DAF + ∠ADF = ∠BAD + ∠ADC = (∠BAD + ∠ADC) = 90°. ∴ ∠F = 90°. 同理 ∠H = ∠AEB = 90°. ∴ ∠FEH = ∠AEB = 90°. ∴ 四边形 EFGH 是矩形. 典例分析 巩固提升 1.如图，在四边形中，点，，，分别为各边的中点，按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形是（   ） A．对角线不相等的平行四边形 B．对角线相等的平行四边形 C．对角线垂直的平行四边形 D．对角线垂直且相等的平行四边形 【分析】拼成的四边形为矩形，根据矩形是对角线相等的平行四边形 【详解】解：按图中的虚线将其分成四个四边形，再重新拼成一个四边形，则拼成的四边形如图，其中点重合于点O， ∴拼成的四边形为矩形，则矩形是对角线相等的平行四边形． B 巩固提升 2.若平行四边形的一个内角是直角，则其他三个角_______； 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，掌握矩形的判定和性质是关键，根据题意，运用矩形的判定和性质求解即可． 【详解】解：若平行四边形的一个内角是直角，则该四边形是矩形， ∴其他三个角都是直角， 故答案为：都是直角 ． 都是直角 巩固提升 3.如图，四边形的对角线垂直于点，、分别为、中点，分别过点、作，，和交于点． 求证：（1）四边形是矩形； 【分析】先由两组对边平行证平行四边形，再结合对角线垂直的直角条件证其为矩形. 证明：（，， 四边形是平行四边形， 又， ， 四边形是矩形； （2）若，时，求的长． 巩固提升 （2）解：四边形是矩形， 、分别为、中点 是的中位线 ． 一起来看看这节课我们学到了些什么？ 点击图标，进入本节课的课堂总结 要点回顾 课堂总结 感 谢 聆 听！ 矩形的判定 八年级下册 · 第十八章 知识点回顾 易错点警示 解题技巧 数学是思维的体操 知识点回顾 本节课核心定义、判定定理与几何模型梳理 矩形的判定方法 1 定义判定法： 有一个角是 直角 的 平行四边形 是矩形。 几何语言：∵ 在 □ABCD 中，∠A = 90°，∴ □ABCD 是矩形。 2 定理1： 对角线 相等 的 平行四边形 是矩形。 几何语言：∵ 在 □ABCD 中，AC = BD，∴ □ABCD 是矩形。 3 定理2： 有 三个角 是直角的 四边形 是矩形。 几何语言：∵ ∠A = ∠B = ∠C = 90°，∴ 四边形 ABCD 是矩形。 重要推论：直角三角形斜边中线 直角三角形斜边上的中线等于 斜边的一半。 公式表达： 若 ∠ACB = 90°，D 为 AB 中点，则 CD = 1 2 AB = AD = BD C A B D 易错点警示 避开陷阱，精准得分 ⚠️ 判定条件的混淆 错误认知： 认为“对角线相等的四边形是矩形”。 正确理解： 必须先证明它是平行四边形，或者是等腰梯形（非矩形）。只有“对角线相等的平行四边形”才是矩形。 ⚠️ “三个角”的必要性 错误认知： 证明两个角是直角就认为是矩形。 正确理解： 四边形内角和360°，只有三个角都是90°，第四个角才必然是90°。两个角是直角的四边形可能是直角梯形。 ⚠️ 中点坐标公式的应用陷阱 在平面直角坐标系中，利用“对角线互相平分且相等”判定矩形时，常忽略验证邻边是否垂直。若仅验证对角线相等且互相平分，已足够判定为矩形；但若仅验证对角线相等，则不足以判定。 解题技巧 掌握方法，事半功倍 1. 数形结合：利用直角三角形性质 在矩形背景下，经常结合勾股定理和斜边中线定理求解线段长度。 模型应用： 遇到直角三角形斜边中点，立即连接顶点与中点，利用 CD = 1 2 AB 建立等量关系。 📐 构造直角三角形 2. 分类讨论：动点问题 在动点问题中判定四边形是否为矩形时，要注意点的运动位置可能导致图形形状变化。 解题策略： 设时间为 t，表示出相关线段长。 根据“对角线相等”或“有一个角是直角”列方程。 注意检验 t 值是否符合题意（如线段长非负）。 🔄 动点轨迹分析 3. 向量方法的辅助理解（拓展） 虽然初中阶段主要用几何法，但理解向量垂直的数量积为0有助于高中衔接。 若 AB · AD = 0，则 AB ⊥ AD， 即 ∠A = 90°。 ↗️ 向量垂直判定 $