学易金卷：八年级数学下学期期中模拟卷【湖北武汉专用，新教材人教版八下第19～21章：二次根式+勾股定理+四边形】

2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．∶∶∶∶ B． C． D．∶∶∶∶ 3．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 4．如图，▱ABCD的周长为40，AD∶AB＝3∶2，那么BC的长度是（ ） A．8 B．12 C．16 D．24 5．下列说法正确的是（    ） A．平行线间的距离处处相等 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．直角三角形斜边中线等于直角边的一半 6．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ）． A．16 B．30 C．48 D．60 7．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 8．由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 12．若和都是最简二次根式，则__． 13．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为______． 15．在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 16．如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为_____；若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 计算： (1)； (2)． 18．（6分） 如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若,求四边形的面积. 19．（6分） 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 20．（8分） 如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 21．（8分） （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C为格点（即正方形的顶点）．求证：为等腰直角三角形． （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线上求作一点P，使得，简单说明理由． （3）如图3，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线AB上求作一点Q，使得最小，简单说明理由． 22．（8分） 【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 23．（10分） 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 24．（12分） 如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共18分） 11． _________________ 12．___________________ 12． __________________ 14．__________________ 15. ___________________ 16.__________________; __________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） (1)； (2)． 18. （6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19. （6分） 20.（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.（8分） 22.（8分） 【问题初探】特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】______________________．（，且n为整数） 【应用规律】 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为____________________________； 23.（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ==▣===-====。。=-。====-。一=▣。■ 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 口 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 ☐ 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][1【/1 第I卷（请用2B铅笔填涂） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1[A][B][C][D] 5.[A][B][C1[D1 9.[A1[B][C1[D] 2.[A][B][C][D] 6.A][B][CJ[D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.A][B1[C1[D1 4.A][B1[CI[D] 8.A]IB][C1[D1 第Ⅱ卷 二、填空题（每小题3分，共18分） 12. 12 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 三、（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17.(6分) (①)√2+V8-√32： (2)(W5-1+215÷3. 18.(6分) E D 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(6分) 20.(8分) B C E 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(8分) B C D 图1 图2 图3 22.(8分) 【问题初探】特例3： (填写一个符合上述运算特征的式子) 1 ,1 【发现规律】 1 (n-1)2 2 （n≥2，且n为整数) 【应用规律】 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.（10分) B D B D 图1 图2 图3 【感知】如图1，若点P是边BC的中点，小智经过探索发现了线段AP与AQ之间的数量关系，请你 直接写出这个关系为 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(12分) G D G A: D A A: 111111111 B B E 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ( ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ) ( 此卷只装订 不密封 ) ( ………………○……………… 内 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… ………………○……………… 外 ………………○……………… 装 ………………○……………… 订 ………………○……………… 线 ………………○……………… … 学校： ______________ 姓名： _____________ 班级： _______________ 考号： ______________________ ) 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．∶∶∶∶ B． C． D．∶∶∶∶ 3．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 4．如图，▱ABCD的周长为40，AD∶AB＝3∶2，那么BC的长度是（ ） A．8 B．12 C．16 D．24 5．下列说法正确的是（    ） A．平行线间的距离处处相等 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．直角三角形斜边中线等于直角边的一半 6．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ）． A．16 B．30 C．48 D．60 7．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 8．由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（    ） A． B． C． D． 9．如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 10．如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 12．若和都是最简二次根式，则__． 13．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为______． 15．在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 16．如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为_____；若，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 计算： (1)； (2)． 18．（6分） 如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若,求四边形的面积. 19．（6分） 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 20．（8分） 如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 21．（8分） （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C为格点（即正方形的顶点）．求证：为等腰直角三角形． （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线上求作一点P，使得，简单说明理由． （3）如图3，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线AB上求作一点Q，使得最小，简单说明理由． 22．（8分） 【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 23．（10分） 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 24．（12分） 如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版八年级下册第19~21章。 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1．若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式的被开方数为非负数，列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， 解得． 故选：D． 2．的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．∶∶∶∶ B． C． D．∶∶∶∶ 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：， 由∶∶∶∶的，，不能组成三角形，故A不符合题意； ， 由可得，，不能判定为直角三角形，故B不符合题意； ， ， 为直角三角形，故C符合题意； ∶∶∶∶， ，，， 不是直角三角形，故D不符合题意； 故选：C． 3．下列二次根式中，是最简二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的定义．掌握最简二次根式的定义是解题的关键，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义对各选项分析判断，即可求解． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B、，是最简二次根式，故该选项符合题意； C、，不是最简二次根式，故该选项符合题意； D、，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选：B． 4．如图，▱ABCD的周长为40，AD∶AB＝3∶2，那么BC的长度是（ ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】B 【分析】由平行四边形的周长为40．可得AB+AD=20，再结合条件AD∶AB＝3∶2，所以可求出AB，BC的值． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC， ∵▱ABCD周长40， ∴AB+AD=20， ∵AD∶AB＝3∶2， ∴AB=8，AD =12， ∴BC= AD=12， 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟记平行四边形的各种性质是解题的关键． 5．下列说法正确的是（    ） A．平行线间的距离处处相等 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的四边形是平行四边形 D．直角三角形斜边中线等于直角边的一半 【答案】A 【分析】根据平行线间的距离、菱形的性质、平行四边形的判定、直角三角形的性质逐项判断即可． 【详解】解：A. 平行线间的距离处处相等，正确，符合题意； B. 菱形的对角线互相垂直，不一定相等，原说法不正确，不符合题意； C. 对角线互相平分的四边形是平行四边形，原说法不正确，不符合题意； D. 直角三角形斜边中线等于斜边的一半，原说法不正确，不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质和直角三角形的性质，解题关键是熟记相关性质，准确进行判断． 6．如图①，直角三角形的两个锐角分别是和，其三边上分别有一个正方形．执行下面的操作：由两个小正方形向外分别作锐角为和的直角三角形，再分别以所得到的直角三角形的直角边为边长作正方形．图②是1次操作后的图形．图③是重复上述步骤若干次后得到的图形，人们把它称为“毕达哥拉斯树”．若图①中的直角三角形斜边长为2，则10次操作后图形中所有正方形的面积和为（    ）． A．16 B．30 C．48 D．60 【答案】C 【分析】本题考查与直角三角形有关的图形的面积问题，熟练掌握勾股定理，找到规律是解题的关键：把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为，根据勾股定理，得到，得到正方形的面积+正方形的面积，进而得到图①中所有正方形的面积和，依次类推，每一次操作后，所有正方形的面积和都比前一次操作增加4，进行求解即可． 【详解】解：如图，把图②中各个小正方形标上字母，设正方形的边长为，正方形的边长为． 正方形的面积为，正方形的面积为． 由题意得：正方形的边长为2，并且是直角三角形的斜边． 正方形的面积为4． 根据勾股定理可得：． ∴正方形的面积+正方形的面积； 图①中所有正方形的面积和． 同理可得：正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积，正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积＋正方形的面积正方形的面积＋正方形的面积． 图②中所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 即一次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 同理可得2次操作后增加的8个小正方形的面积和也是4． 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 次操作后所有正方形的面积和图①中所有正方形的面积和． 故选C 7．如图，菱形中，对角线相交于点O，H为边的中点，菱形的周长为28，则的长等于（    ） A． B．4 C．7 D．14 【答案】A 【分析】利用菱形的性质以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：∵四边形为菱形，且周长为28， ∴， ∵H为边的中点， ∴． 8．由于大风，山坡上的一棵树甲从点处被拦腰折断，其顶点恰好落在一棵树乙的底部处，如图所示．已知，，两棵树的水平距离是，则甲树原来的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理． 如图，过点作交的延长线于点．则根据题意可以得到，根据勾股定理即可求出的长，再利用勾股定理求出的长，可得到的长，即为甲树原来的高度． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点． 由题意，得，，． 在中，， ． 在中，， ． 故甲树原来的高度是． 故选：C． 9．如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 10．如图所示，已知正方形边长为，连接平分交于点，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质、勾股定理及角平分线的性质，关键是灵活应用知识点解题；过点作于点，设，根据，列方程求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，平分， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴即：是等腰直角三角形， ∵正方形边长为， ∴， ∴， 设， 在中， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11．n为正整数，且是整数，那么n的最小值是______． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，二次根式的定义，掌握二次根式的性质，二次根式的定义是解题的关键． 先根据二次根式的性质化简为：，由题意可知，必须是整数，即必须是一个完全平方数，当时，，4是完全平方数，进而得出答案． 【详解】解：为正整数，且是整数， 必须是整数，即必须是一个完全平方数， 当时，，4是完全平方数， 此时， 是整数， 的最小值是． 故答案为：． 12．若和都是最简二次根式，则__． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二元一次方程组的应用，代数式求值，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义得到，解得，代入计算即可． 【详解】解：和都是最简二次根式， ， 解得， ， 故答案为：． 13．古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 【答案】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知,尺， 设尺，则尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 答：水深尺． 14．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上，点B的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0），且，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时的值最小，根据勾股定理求出CD，即可得出答案． 【详解】解：如下图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，则此时的值最小， ∵， ∴， ∵为直角三角形，且， ∴， ∴为等腰直角三角形， 又∵点B的坐标为（4，4）， ∴点A的坐标为（4，0）， ∴由对称性可知D点在y轴上，且坐标为（0，4）， ∵点D的坐标为（4，4），点C的坐标为（1，0）， ∴，， ∴在中，由勾股定理得， 即的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、等腰直角三角形的判定与性质、轴对称-最短路线问题、勾股定理等知识，解题的关键是求出P点的位置． 15．在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 16．如图，在正方形中，E为对角线上一点，F为延长线上一点，满足，平分，则的度数为_____；若，则的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理；过点作的平行线分别交，于点，，则四边形是矩形，证明得出为等腰直角三角形，在中，勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】如图，过点作的平行线分别交，于点，， 则四边形是矩形， ，． 四边形是正方形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 平分， ． 四边形是正方形， ， ． 四边形是正方形， ，，， ， ， ． ， ，， ， ， 在中，． ， 故答案为：， 三、解答题（本大题共8个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（6分） 计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据完全平方公式和二次根式的除法法则运算，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ；(3分) （2）解：原式 ．(6分) 18．（6分） 如图，在中，，分别是边，的中点，连接并延长到点，使，连接、、．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若,求四边形的面积. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的中点可得，再由可得到四边形是平行四边形，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可得证； （2）根据勾股定理求出，利用三角形中位线定理求出，再由菱形的性质进行计算即可． 【详解】（1）证明：是的中点， ， ， 四边形是平行四边形， 为的中点，， ， 四边形是菱形；(3分) （2）解： ，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵分别是边，的中点， ∴ ∴， ∴菱形的面积.(6分) 19．（6分） 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． (1)若m与是关于10的友好二次根式，求m； (2)若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】(1)2 (2)3 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【详解】（1）解：根据题意得，；(2分) （2）解：根据题意得，， (4分) ∴．(6分) 20．（8分） 如图，的对角线、相交于点O，． (1)求证：； (2)若，连接、，判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)矩形，证明见解析 【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理即可证明； （2）利用对角线相等的平行四边形是矩形判定即可． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 即：， 在和中， ；(4分) （2）矩形，理由如下： 证明：，， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是矩形．(8分) 21．（8分） （1）如图1，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C为格点（即正方形的顶点）．求证：为等腰直角三角形． （2）如图2，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线上求作一点P，使得，简单说明理由． （3）如图3，在边长为1的正方形网格中，点A，B，C，D为格点．请仅用无刻度的直尺在直线AB上求作一点Q，使得最小，简单说明理由． 【答案】（1）见解析；（2）图见解析，理由见解析；（3）图见解析，理由见解析． 【分析】（1）根据勾股定理和勾股定理的逆定理证明，即可得到结论； （2）取格点F，连接交于点P，连接，由垂直平分得到，则，由即可得到结论； （3）取格点N，连接，由证明垂直平分，则点N、C关于轴对称，连接交于点Q，连接，则，即可证明结论成立． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴为等腰直角三角形．(2分) （2）如图，取格点F，连接交于点P，连接，则点P即为所求， (4分) ∵垂直平分， ∴ ∴， ∵ ∴；(5分) （3）如图，点Q即为所求， (7分) 取格点N，连接， ∵ ∴垂直平分， ∴点N、C关于轴对称， 连接交于点Q    ，连接，则， 则为最小．(8分) 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、轴对称的性质求最短路径等知识，准确作图是解题的关键． 22．（8分） 【问题初探】 小菲在学习有理数运算时，通过具体运算发现：，，，…，在学习二次根式运算时，小菲根据学习有理数运算积累的活动经验，类比探究了二次根式的运算规律，请将探究过程补充完整： 特例1：；特例2：； 特例3：________________________（填写一个符合上述运算特征的式子） 【发现规律】 ______．（，且n为整数） 【应用规律】 （1）计算：； （2）如果（，且为整数）的小数部分是，求出整数部分． 【答案】问题初探： 发现规律： 应用规律：（1）；（2）9 【分析】问题初探：直接通过计算求解即可； 发现规律：通过计算，化去根号即可； 应用规律：（1）利用规律求解； （2）先利用规律化简，再根据小数部分求得，进而求出整数部分． 【详解】问题初探：解： 故答案为：；(1分) 发现规律：解： 故答案为：；(2分) 应用规律：（1）解： (5分) （2）解： 当小数部分是时， ， 解得：， 经检验是分式方程的根， ∴整数部分是．(8分) 【点睛】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元一次）等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 23．（10分） 综合探究综合与实践课上，智慧星小组三位同学对含角的菱形进行了探究 【背景】在菱形中，，作，，分别交边，于点，． (1)【感知】如图1，若点是边的中点，小智经过探索发现了线段与之间的数量关系，请你直接写出这个关系为________； (2)【探究】如图2，当点为上任意一点时，请说明（1）中的结论是否仍然成立，并写出理由； (3)【应用】若菱形纸片中，，，在边上取一点，连接，在菱形内部作，交于点，当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)成立，证明见解析 (3)的长度为或 【分析】本题是四边形综合题，考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，运用了分类讨论的思想．解题的关键是添加适当的辅助线构造全等三角形． （1）数量关系：．连接，利用菱形的性质和等边三角形的三线合一性质证明即可； （2）利用菱形的性质和等边三角形的性质证明即可； （3）过点作交于点，利用菱形的性质和等边三角形的性质可得，利用勾股定理求出，，分当点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，可得出最后的结果． 【详解】（1）解：连接，如下图所示： ∵四边形为菱形，且， ∴，， ∵为菱形的角平分线， ∴， 故与为等边三角形， 即， ∵点为中点， 故平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴．(2分) （2）解：连接，如下图所示： 由（1）中，同理可得与为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴．(6分) （3）解：过点作交于点，按题意补充线段，连接，当点在点左侧时，如下图所示： 由（1）（2）得，为中点， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， 故， ∴；(8分) 当点在点右侧时，如下图所示： 同理可得， 故， ∴； 综上，的长度为或．(10分) 24．（12分） 如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】(1)正方形，理由见解析； (2)①平行四边形，理由见解析；②的长为或． 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【详解】（1）四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形；(4分) （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形；(8分) ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，(10分) 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或．(12分) / 学科网（北京）股份有限公司 $窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年八年级数学下学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 9 10 D C B B D 第IⅡ卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.2 12.2 13.12 14.17 15.√34 16.22.5° 4V2-4 三、解答题（本大题共8个小题，共72分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.(6分) 【详解】(1)解：原式=√2+2√2-4√2 =-V2;(3分) (2)解：原式=5-2√5+1+2V15÷3 =6-25+2V5 =6.(6分)》 18.(6分) 【详解】(1)证明：·D是BC的中点， :BD=CD, DF =ED, :四边形BFCE是平行四边形， :E为AC的中点，∠ABC=90°， :BE =CE ·四边形BFCE是菱形；(3分) (2)解：：AB=6,AC=10,∠ABC=90°， .BC=VAC2-AB2=V102-62=8, 1/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :四边形BFCE是菱形， BC⊥EF,EF=2DE, :D、E分别是边BC,AC的中点， 0E=方48=3 .EF=2DE=2×3=6, :菱形BFCE的面积-BC-BF-×8x6=24(6分 2 19.(6分) 【详解】1)解：根据题意得，m=10=25,2分 5 (2)解：根据题意得，（2-√②)(6+√2m)=6, 12+2√2m-62-2m=6(4分) (22-2m=6-12+6√2 .m= 62-6=3.(6分) 2W2-2 20.(8分) 【详解】(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .B0=D0,A0=OC, :AE=CF, .AO-AE=OC-CF 即：OE=OF, 在△BOE和△DOF中， OB=OD ∠BOE=∠DOF OE=OF ∴.△BOE≌△DOF(SAS);(4分) (2)矩形，理由如下： 证明：B0=D0,OE=OF, 2/10 学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 B ·四边形BEDF是平行四边形， .BD EF, :平行四边形BEDF是矩形.(8分) 21.(8分) 【详解】(1)证明：：AB=AC=√2+22=√5，BC=VP+32=√0， .AB2+AC2=BC2,AB=AC, .ABC为等腰直角三角形.(2分) (2)如图，取格点F,连接AF交BC于点P,连接PD,则点P即为所求， (4分) 图2 :PC垂直平分DF, .PF=PD .∠FPC=∠DPC, :∠FPC=∠APB .∠APB=∠CPD;(5分) (3)如图，点Q即为所求， 3/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (7分) D 图3 取格点N,连接AN,AC,BN,CB,NC, AN AC=BN=CB=12+22=5, .AB垂直平分NC, .点N、C关于AB轴对称， 连接DN交AB于点Q,连接CQ,则CQ=NQ, 则DQ+CQ=DQ+NQ为最小，(8分) 【点睛】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质、垂直平分线的判定和性质、轴对称 的性质求最短路径等知识，准确作图是解题的关键， 22.(8分) 11 【详解】问题初探：解： 1+3+4 1.1 1+二+ V916 169 -144 13 12 1 =1+ 3×4 11 =1+二 34 11 故答案为： 37+4京=1+ 11 1 ;(1分) 34 1 发现规律：解： +1 十 (n-)2'n (n-1)n2+n2+n-1 (n-12n 4/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 n-2n3+2n2+(n-1 (n-12n2 n-2n2(n-1+(n-1 (n-12n2 2-n+1 (n-12n n2-n+1 （n-ln 1 =1+ (n-1)n =1+11 n-1 n 故答案为：1+1-1 n-1 n ：(2分) 应用规律：(1)解： 1,1 11 1 1 V1+2+3+V+3+4+…+V1+ 1+ 十 02522026 1+11 11 23+1+5-三+. +…+1+ 20252026 11,11 1 =1+1+1+…+1+ +…十 2024个1相加 2334 20252026 11 =2024+ 22026 =2024506 10136分 1,1 ,11 2)解：++京++京++++n-2+- 11, 11 1 2 n-1-1 1 -6+ n-1 6 =1-7+”-1-6 6(n-1 5/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 =n-7+ n-7 6(n-1 当小数部分是0.1时， n-7 6n-101, 解得：n=16, 经检验n=16是分式方程的根， .整数部分是16-7=9.(8分) 【点晴】本题考查了数字类规律探索，分式加减混合运算，二次根式的混合运算，解分式方程（化为一元 一次)等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解. 23.(10分) 【详解】(1)解：连接AC,如下图所示： C 图1 :四边形ABCD为菱形，且∠B=60°， .∠BAD=120°，∠D=60°， :AC为菱形的角平分线， .LBAC=LDAC=60°， 故△BAC与△DAC为等边三角形， 即BA=AC=AD, :点P为BC中点， 故AP平分∠BAC, .∠BAP=∠PAC=∠CAQ=∠QAD=30°， :∠BAP=∠QAD,AB=AD,∠B=∠D, .△ABP≌△4DO ASA, .AP=AQ.(2分) 6/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)解：连接AC，如下图所示： D 图2 由(1)中，同理可得△BAC与△DAC为等边三角形， AC=AD,∠PCA=∠D, :∠PCQ=∠CAD=60°， .∠PAC+∠CAQ=∠CAQ+∠QAD=60°， .∠PAC=∠QAD, 又：AC=AD,∠PCA=∠D, .△PAC≌△QAD(ASA, .AP=AQ.(6分) (3)解：过点A作AE⊥BC交BC于点E,按题意补充线段，连接AC,当点P在点E左侧时，如下图所 示： A D E 图3 由(1)(2)得PC=DQ,E为BC中点， BE=4, 由勾股定理得AE=√AB2-BE2=4V5, :AP=36, PE =AP2-AE2=6, 故PC=CE+PE=4+√6， QD=4+√6；(8分) 7/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当点P在点E右侧时，如下图所示： A B D E C 图3 同理可得PE=√6， 故PC=CE-PE=4-√6， 0D=4-V6; 综上，QD的长度为4+√6或4-√6.(10分) 24.(12分) 【详解】(1)四边形ABEF为正方形. 理由：矩形ABCD, .∠A=∠ABC=90°， “折叠， ∠A=∠BEF=90°，AB=BE, :四边形ABEF是正方形；(4分) (2)①四边形BFDG为平行四边形 理由：：矩形ABCD, AD∥BC, :点G是AD的中点， .AG=GD “折叠， .AG=GD=GE,AGB=∠BGE, :ZGED ZGDE :∠AGB+LBGE+∠EGD=180°，∠GED+∠GDE+∠EGD=180°， .∠AGB+∠BGE=∠GED+∠GDE, :ZAGB ZBGE ZGED ZGDE 8/10 窗学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 BG∥FD, ·四边形BFDG是平行四边形：(8分) ②：四边形BFDG是平行四边形， :.GD=BF, :点G是AD的中点， :AG=GD=BF, :AGBF,AG=BF,∠A=90°， .ABFG是矩形， 当H是OF的下方的三等分点时， :AB=6,点O是GF的中点， H那=6xx=1, 23 :ABFG是矩形， .∠AGF=LDGF=∠BFG=∠BFG=90°， 由折叠可得∠BEG=∠A=90°， '∠GFD+∠FDG=90°，∠BEF+∠GED=90°，∠GED=LGDE, .∠GFD=LBEF, .HF HE =1, BE AB =6 .BH=5, :BF=BH2-HF2=26, :四边形BFDG是平行四边形， .GD=2√6， .AD=4√6，(10分) 当H是OF的上方的三等分点时， :AB=6,点O是GF的中点， :HF=6x5×2=2, 23 :∠GFD+∠FDG=90°，∠BEF+∠GED=90°，∠GED=∠GDE, ·.LGFD=LBEF, 9/10 @学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :HF =HE=2, BE AB=6, .BH=4 :BF =BH2-HF2=23, :四边形BFDG是平行四边形， .GD=2V3, :.AD=43, 综上所述，AD的长为4√6或4√5.(12分) 10/10