精品解析：辽宁省沈阳市育源中学2022年九年级数学中考二轮复习课后综合练习题　

2022年春九年级数学中考二轮复习课后综合练习题 一．选择题 1. 一个数的相反数是，则这个数是（ ） A. B. C. 6 D. 2. 随着科学技术的不断提高，网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，全球用户将达到460000000人，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，是一个正中央被挖去了一个长方体孔的圆柱体钢块，该圆柱体钢块的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式 B. 若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学的数学成绩更稳定 C. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是 D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件 5. 下列计算正确的是（　　） A. （﹣2a）3＝﹣2a3 B. （﹣a）2•（﹣a）3＝a6 C. （a+b）2＝a2+b2 D. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 6. 某校在开展“校园微改革”行动中，分别向各班同学征求意见，该校九年级6个班分别提建议条数如表 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 建议条数 7 10 9 9 5 6 请问数据7，10，9，9，5，6中，众数、中位数分别是（ ） A. 9，9 B. 9，8 C. 8，9 D. 10，9 7. 若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知k、b是一元二次方程(x+1)(x-1)=0的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（ ） A. B. C. 1 D. 10. 如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有．其中正确的结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二．填空题 11. 分解因式的结果是______． 12. 方程组的解是______． 13. 一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀；再摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀；…，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则m的值为_____． 14. 如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 15. 已知直线l：交函数图象于P、Q两点，交x轴于点A，交y轴于点B，且，则_____． 16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是，，要截得的正方形的边在上，顶点、分别在边、上，如果，，那么正方形铁皮的边长为______． 三．解答题 17. 计算：． 18. 在一个不透明的袋子里装有6个白色乒乓球和若干个红色的乒乓球，这些球除颜色外其余均相同，搅拌均匀后，从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，是红球的概率是 （1）求该袋子中红球的个数； （2）小亮取出3个白色乒乓球分别表上1，2，3个数字，装入另一个不透明的袋子里搅拌均匀，第一次从袋子里摸出一个球并记录下该球上的数字，重新放回袋子中搅拌均匀，第二次从袋子中摸出一个球并记录下该球上的数字，求这两个数字之积是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解） 19. 如图，在四边形中，点E和点F是对角线上的两点，，且，过点C作交的延长线于点G． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 20. 现在，共享单车已遍布深圳街头，其中较为常见的共享单车有“．摩拜单车”、“．小蓝单车”、“．OFO单车”、“．小鸣单车”、“．凡骑绿畅”等五种类型．为了解市民使用这些共享单车的情况，某数学兴趣小组随机统计部分正在使用这些单车的市民，并将所得数据绘制出了如下两幅不完整的统计图表（图1、图2）： （1）此次统计的人数为 人；根据已知信息补全条形统计图； （2）在使用单车的类型扇形统计图中，使用型共享单车所在的扇形的圆心角为 度； （3）据报道，深圳每天有约余万人次使用共享单车，则其中使用型共享单车的约有 万人次． 21. 冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元． （1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元； （2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？ 22. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上不与A，B重合的一个动点，连接，点D是过点C的切线上的一点，连接交半圆O于点E，且，于点F． （1）求证：． （2）若，，求半圆O的半径． 23. 在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在直线上运动，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交两轴分别于C、D两点，得到矩形．设点P的横坐标为m． （1）用含m的代数式表示点P的坐标； （2）当点P在射线上运动时，设矩形的周长为l，求l与m之间的函数表达式； （3）当时，求m的值； （4）当直线把矩形分成两部分，若两部分图形的面积比为，直接写出m的值． 24. 如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线是经过点的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′． （1）基础图形：如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，求的长度； （2）模型变式：如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则的长度为______； （3）动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为． ①如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值； ②当时，请直接写出在直线的变化过程中，的最大值． 25. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求a的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年春九年级数学中考二轮复习课后综合练习题 一．选择题 1. 一个数的相反数是，则这个数是（ ） A. B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相反数，熟练掌握相反数的定义是解题的关键，根据相反数的定义即可得到答案． 【详解】解：的相反数是， 故选：A． 2. 随着科学技术的不断提高，网络已经成为新时代的“宠儿”，预计到2025年，全球用户将达到460000000人，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，据此解决即可． 【详解】解：依题意，． 故选：C． 3. 如图，是一个正中央被挖去了一个长方体孔的圆柱体钢块，该圆柱体钢块的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图得到圆柱体钢块的特征，从而得到从左面看到的图形． 【详解】解：从物体左面看，是一个矩形，因为里面有一个长方体孔，所以有两条虚线表示的看不到的棱，再根据俯视图，知道两条虚线距离比较近． 4. 下列说法中，正确的是（　　） A. 为检测某市正在销售的酸奶质量，应该采用普查的方式 B. 若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较大的同学的数学成绩更稳定 C. 抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是 D. “打开电视，正在播放广告”是必然事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，再根据随机事件定义和概率公式分别分析即可． 【详解】A．测某市正在销售的酸奶质量，应该采用抽查的方式，此选项错误； B．若两名同学连续六次数学测试成绩的平均分相同，则方差较小的同学的数学成绩更稳定，此选项错误； C．抛掷一个正方体骰子，朝上的面的点数为偶数的概率是 ，此选项正确； D．“打开电视，正在播放广告”是随机事件，此选项错误； 故选C． 【点睛】本题考查的是调查方法的选择以及方差的意义和概率求法、随机事件等知识；熟练掌握区分这些知识是解题关键． 5. 下列计算正确的是（　　） A. （﹣2a）3＝﹣2a3 B. （﹣a）2•（﹣a）3＝a6 C. （a+b）2＝a2+b2 D. （a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 【答案】D 【解析】 【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【详解】A、原式＝﹣8a3，不符合题意； B、原式＝a2•（﹣a3）＝﹣a5，不符合题意； C、原式＝a2+2ab+b2，不符合题意； D、原式＝a2﹣b2，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查整式的运算,关键在于熟练掌握基础运算方法. 6. 某校在开展“校园微改革”行动中，分别向各班同学征求意见，该校九年级6个班分别提建议条数如表 班级 1班 2班 3班 4班 5班 6班 建议条数 7 10 9 9 5 6 请问数据7，10，9，9，5，6中，众数、中位数分别是（ ） A. 9，9 B. 9，8 C. 8，9 D. 10，9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵在数据7，10，9，9，5，6中，9出现次数最多，为2次，其余数均只出现1次， ∴众数为9， 将数据从小到大排序为：5，6，7，9，9，10， ∵数据总个数为6，是偶数，中位数为排序后中间两个数的平均数，中间两个数为7和9， ∴中位数为， 因此众数为9，中位数为8． 7. 若△ABC∽△ADE，若AB＝9，AC＝6，AD＝3，则EC的长是（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用相似三角形的性质得，对应边的比相等，求出AE的长，EC=AC-AE，即可计算DE的长； 【详解】∵△ABC∽△ADE， ∴， ∵AB＝9，AC＝6，AD＝3， ∴AE=2， 即EC=AC-AE=6-2=4； 故选C. 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键. 8. 已知k、b是一元二次方程(x+1)(x-1)=0的两个根，且k＞b，则函数y=kx+b的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】通过解一元二次方程可得出k，b的值，再利用一次函数图象与系数的关系可得出函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，此题得解． 【详解】解：∵k，b是一元二次方程（x+1）（x-1）=0的两个根，且k＞b， ∴k=1，b=-1， ∴函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系，牢记“k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限”是解题的关键． 9. 如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C和点D，则tan∠ADC＝（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用圆周角定理得到∠ACB=90°，∠ADC=∠ABC，再利用正切的定义得到tan∠ABC=，从而得到tan∠ADC的值． 【详解】解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，tan∠ABC=， ∵∠ADC=∠ABC， ∴tan∠ADC=， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了解直角三角形． 10. 如图，二次函数图象的对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④若为任意实数，则有．其中正确的结论的个数是（　　） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】C 【解析】 【分析】根据对称轴在轴左侧可得同号，根据抛物线与轴的交点可得，即可判断①；根据抛物线的对称轴为直线可得，即可判断②；根据当时，结合即可判断③；根据当时，为最大值，即可判断④，由此即可得到答案． 【详解】解：对称轴在轴的左侧， 同号， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，故①错误，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， ， ，即，故②正确，符合题意； 当2，， ， ，故③正确，符合题意； 当时，为最大值， ，即，故④错误，不符合题意； 综上所述，正确的有②③，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当时，抛物线开口向上；对称轴为直线，抛物线与轴的交点坐标为． 二．填空题 11. 分解因式的结果是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式进行因式分解，掌握平方差公式的结构是解题关键． 用平方差公式进行因式分解． 【详解】解：原式 故答案为：． 12. 方程组的解是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 该方程组利用加减消元法求出解即可． 【详解】解： 得：，解得， 将代入②解得： ∴原方程组的解为． 故答案为：． 13. 一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀；再摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀；…，通过大量重复实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.2左右，则m的值为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答． 【详解】解：根据题意得，＝0.2 解得m＝2． 故答案为2． 【点睛】考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比． 14. 如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理以及矩形和菱形的判定定理可判断①②③结论；根据题意得出每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半，可判断④结论． 【详解】解：顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由三角形中位线定理可知，，，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形且相邻边长为、， ∴四边形的周长是， 故①②正确． 连接、 ∵四边形是矩形， ∴， 由三角形中位线定理可知，，， ， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； 故③正确． 由题意可知，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，． ∴每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半， ∴四边形的面积为，故④错误． 15. 已知直线l：交函数图象于P、Q两点，交x轴于点A，交y轴于点B，且，则_____． 【答案】## 【解析】 【分析】如图，过P作轴于点M．求出，．证明，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，过P作轴于点M． ∵直线交x轴于点A，交y轴于点B， ∴时，，解得，即， 时，，即． ∵， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∴． ∵函数图象过点P， ∴， ∴（负值舍去）． 16. 在一块直角三角形铁皮上截一块正方形铁皮，如图，已有的铁皮是，，要截得的正方形的边在上，顶点、分别在边、上，如果，，那么正方形铁皮的边长为______． 【答案】6 【解析】 【分析】设正方形铁皮的边长为x，证明△AEF∽△DBG，得到，，求解即可． 【详解】设正方形铁皮的边长为x， ∵， ∴∠A+∠B=， 在正方形中，EF=DG=FG=x，∠EFG=∠DGF=, ∴∠AFE=∠BGD=， ∴∠A+∠AEF=, ∴∠AEF=∠B， ∴△AEF∽△DBG， ∴， ∴， 解得x=6（负值舍去）， 故答案为：6． 【点睛】此题考查正方形的性质，相似三角形的判定及性质，根据已知条件证明△AEF∽△DBG是解题的关键． 三．解答题 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，正确化简各数是解题的关键，直接利用特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的性质、零指数幂的性质、算术平方根分别化简即可得出答案． 【详解】解：原式 ． 18. 在一个不透明的袋子里装有6个白色乒乓球和若干个红色的乒乓球，这些球除颜色外其余均相同，搅拌均匀后，从这个袋子里随机摸出一个乒乓球，是红球的概率是 （1）求该袋子中红球的个数； （2）小亮取出3个白色乒乓球分别表上1，2，3个数字，装入另一个不透明的袋子里搅拌均匀，第一次从袋子里摸出一个球并记录下该球上的数字，重新放回袋子中搅拌均匀，第二次从袋子中摸出一个球并记录下该球上的数字，求这两个数字之积是3的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解） 【答案】（1）3个；（2）图表见解析， 【解析】 【分析】（1）设袋内红球有x个，根据摸出一球是红球的概率为建立关于x的方程，解之可得； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与两次摸出的乒乓球标号乘积是3的倍数的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：（1）设袋子中有红球个 根据题意得： 解得 经检验是方程的解 所以袋子中有红球3个． （2）树状图如下： 因为共9种等可能的结果，两次摸出的乒乓球标号乘积是3的倍数的有5个结果所以这两个数字之积是3 的倍数的概率是． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 如图，在四边形中，点E和点F是对角线上的两点，，且，过点C作交的延长线于点G． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）24 【解析】 【分析】（1）可证明，得到，则，据此可证明结论； （2）求出，解直角三角形求出的长，进而求出的长，据此可得答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵， ∴； ∵， ∴， 在中，， ， 在中，， ∴， ∴， ∴． 20. 现在，共享单车已遍布深圳街头，其中较为常见的共享单车有“．摩拜单车”、“．小蓝单车”、“．OFO单车”、“．小鸣单车”、“．凡骑绿畅”等五种类型．为了解市民使用这些共享单车的情况，某数学兴趣小组随机统计部分正在使用这些单车的市民，并将所得数据绘制出了如下两幅不完整的统计图表（图1、图2）： （1）此次统计的人数为 人；根据已知信息补全条形统计图； （2）在使用单车的类型扇形统计图中，使用型共享单车所在的扇形的圆心角为 度； （3）据报道，深圳每天有约余万人次使用共享单车，则其中使用型共享单车的约有 万人次． 【答案】（1）， 补全条形统计图如图所示： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是数形结合． （1）由的人数除以其百分比确定出统计的人数，进而求出的人数，补全条形统计图即可； （2）由的人数除以总人数，再乘以即可得到结果； （3）由的百分比乘以即可得到结果． 【小问1详解】 解：此次统计的人数为：（人）， 型的人数：（人）， 图略； 【小问2详解】 使用型共享单车所在的扇形的圆心角为：； 【小问3详解】 使用型共享单车的约有：（万人）． 21. 冰封文教用品商店欲购进A、B两种笔记本，用160元购进的A种笔记本与用240元购进的B种笔记本数量相同，每本B种笔记本的进价比每本A种笔记本的进价贵10元． （1）求A、B两种笔记本每本的进价分别为多少元； （2）若该商店A种笔记本每本售价24元，B种笔记本每本售价35元，准备购进A、B两种笔记本共100本，且这两种笔记本全部售出后总获利不小于468元，则最多购进A种笔记本多少本？ 【答案】（1）A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元 （2）32本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设种笔记本每本的进价为元，则种笔记本每本的进价为元，根据数量总价单价结合用160元购进的种笔记本与用240元购进的种笔记本数量相同，即可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论； （2）设购进种笔记本本，则购进种笔记本本，根据总利润每本的利润销售数量（购进数量）结合总获利不小于468元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设A种笔记本每本的进价为x元，则B种笔记本每本的进价为（x＋10）元， 依题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴． 答：A种笔记本每本的进价为20元，B种笔记本每本的进价为30元． 【小问2详解】 解：设购进A种笔记本m本，则购进B种笔记本本， 依题意，得：， 解得：． 答：最多购进A种笔记本32本． 22. 如图，是半圆O的直径，点C是半圆O上不与A，B重合的一个动点，连接，点D是过点C的切线上的一点，连接交半圆O于点E，且，于点F． （1）求证：． （2）若，，求半圆O的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接，， ∵是切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由切线的性质可得，可证，可证，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得； （2）的半径为r，通过证明，可得，，利用勾股定理可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径为r， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴半圆O的半径为． 【点睛】本题考查了切线的性质，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明是本题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A、B两点，点P在直线上运动，过点P分别向x轴、y轴作垂线，交两轴分别于C、D两点，得到矩形．设点P的横坐标为m． （1）用含m的代数式表示点P的坐标； （2）当点P在射线上运动时，设矩形的周长为l，求l与m之间的函数表达式； （3）当时，求m的值； （4）当直线把矩形分成两部分，若两部分图形的面积比为，直接写出m的值． 【答案】（1）点P的坐标为 （2） （3） （4）m的值为或4 【解析】 【分析】（1）把代入解析式即可得出点P的坐标； （2）设出点P的坐标,利用矩形的性质和周长解答即可； （3）把代入（2）中的函数关系式解答即可； （4）分两种情况，根据三角形的面积公式和矩形的面积公式得出方程解答即可． 【小问1详解】 解：∵点P在直线上运动， ∴设点P的横坐标为m， 把代入直线中，可得：， 所以点P的坐标为； 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 可得：，， 所以设矩形的周长为， 即l与m之间的函数表达式为：； 【小问3详解】 解：把代入， 得， 解得； 【小问4详解】 解：令，则， 即， 当的面积梯形的面积，可得：， 解得：， 当的面积梯形的面积，可得：， 解得：． 24. 如图，已知等边△ABC的边长为8，点P是AB边上的一个动点（与点A、B不重合），直线是经过点的一条直线，把△ABC沿直线l折叠，点B的对应点是点B′． （1）基础图形：如图1，当PB＝4时，若点B′恰好在AC边上，求的长度； （2）模型变式：如图2，当PB＝5时，若直线l∥AC，则的长度为______； （3）动态探究：如图3，点在边上运动过程中，点到直线的距离为． ①如果直线始终垂直于，那么的值是否变化？若变化，求出的变化范围；若不变化，求出的值； ②当时，请直接写出在直线的变化过程中，的最大值． 【答案】（1）的长为4或0 （2） （3）①；②的最大值为 【解析】 【分析】(1)证明△APB′是等边三角形即可解决问题； (2)如图2中，设直线l交BC于点Q，连接B B′交PQ于D，证明△PQB是等边三角形，求出DB即可解决问题； (3)①如图3中，结论：m不变，证明B B′//AC,再证四边形B′BFF′为矩形即可； ②如图4中，当PB′⊥AC时，m最大，设直线交于F′，求出B′F′即可解决问题. 【小问1详解】 解是等边三角形， ，， ， ， ， 是等边三角形， ． 当直线经过时，点与重合，此时， 综上所述，的长为4或0； 【小问2详解】 解如图2中，设直线交于点Q．连接交于D． ， ，， 是等边三角形， ， ，关于对称， ， ， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解①结论：的值不变，理由如下： 如图3，连接，过作于，过B′作B′F′⊥AC于F′， 是等边三角形，， ， ， ，关于直线对称， 直线， 直线， ， ∴∠B′BF+∠BFF′=180° ∵∠BFF′=90° ∴∠B′BF=90°， ∴∠B′BF=∠B′F′F=∠BFF′=90° ∴四边形B′BFF′为矩形 ∴B′F′=BF=， ∴； ②如图4中，当时，的值最大， 设直线交于F′， 在中，，， ， ， 即的最大值为． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等边三角形的判定与性质，轴对称变换，矩形判定与性质，勾股定理，解直角三角形，平行线的判定与性质等知识，理解题意，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键. 25. 如图1，抛物线与轴交于点，与轴交于点，在轴上有一动点，，过点作轴的垂线交直线于点，交抛物线于点，过点作于点． （1）求a的值和直线的函数表达式； （2）设的周长为，的周长为，若，求m的值； （3）如图2，在（2）条件下将线段绕点逆时针旋转得到，旋转角为，连接、，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出抛物线与轴交点，列出方程即可求出，根据待定系数法可以确定直线解析式． （2）由，推出，列出方程即可解决问题． （3）在轴上取一点使得，构造相似三角形，可以证明就是的最小值． 【小问1详解】 令，则， ， 或， 抛物线与轴交于点， ， ． ，， 设直线解析式为，则， 解得， 直线解析式为． 【小问2详解】 如图1中， ，， ， ， ， ， ， ， ， 抛物线解析式为， ， ， 解得或4， 经检验是分式方程的增根， ． 【小问3详解】 如图2中，在轴上 取一点使得，连接，在上取一点使得． ，， ， ， ， ， ， ， ，此时最小（两点间线段最短，、、共线时）， 最小值． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段就是的最小值，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $