精品解析：河北石家庄市第四十八中学2025-2026学年下学期学情限时作业 九年级数学

石家庄市第四十八中学2025-2026学年开学限时作业 初三数学 一、选择题（本大题有12个小题，共36分，每小题各3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数与的相反数的和为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先分别求出的倒数和的相反数，再计算两者的和即可得到结果． 【详解】解∵乘积为1的两个数互为倒数，， ∴的倒数为； ∵只有符号不同的两个数互为相反数， ∴的相反数为； ∴． 2. 某市2026年人口总数达到12250000人，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的标准形式为，要求满足，为整数，只需确定和的值即可求解. 【详解】解：∵科学记数法要求，可排除选项A和C， ∵原数是8位整数，等于原数的整数位数减1， ∴，可得， 故选B． 3. 如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 与是同位角 B. 因为与是同位角，所以这两个角相等 C. 与是同旁内角，当这两个角相等时，直线与直线平行， D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同位角、内错角、同旁内角、对顶角等知识，逐个分析求解即可． 【详解】解：A．与不是同位角，该项错误，不符合题意； B．因为与是同位角，与不一定平行，所以这两个角不一定相等，该项错误，不符合题意； C．与是同旁内角，当这两个角互补时，直线与直线平行，该项错误，不符合题意； D．∵与为对顶角， ∴，该项正确，符合题意． 4. 下列各式中添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添括号法则与提公因式，根据添括号法则，即添括号时，括号前为负号，括号里的各项都改变符号，括号前为正号，各项不变符号，逐一判断各选项即可． 【详解】解：选项A、，则A错误； 选项B、，则B错误； 选项C、，则C错误； 选项D、根据添括号法则可得，变形符合规则，则D正确 故选：D． 5. 若，则，在数轴上的位置不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴确定的符号，再结合逐项判断即可． 【详解】解：对于A，由数轴可知，此时，不符合题意； 对于B，由数轴可知，此时，符合题意； 对于C，由数轴可知，此时，不符合题意； 对于D，由数轴可知，此时，不符合题意． 6. 如图，在和中，已知，还需添加一个条件才能使，不能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握其判定方法是解题的关键． 运用“边边边，边角边，角边角，角角边，斜边直角边”的方法判定即可． 【详解】解：在和中，已知， A、添加，不能使，符合题意； B、添加，则，即，可以运用角角边判定，不符合题意； C、添加，可运用角边角判定，不符合题意； D、添加，可以运用边角边判定，不符合题意； 故选：A ． 7. 某班女生的身高被分成了三组，情况如表所示，则表中m的值是（ ） 第一组 第二组 第三组 频数 6 8 m 频率 p q A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据所有分组的频率之和等于1，先求出前两组的频率和，再结合频数和求出总人数，最后根据频率公式计算m的值． 【详解】解：所有分组的频率和为1，第三组频率为， 第一组与第二组的频率和为， 第一组频数为6，第二组频数为8，两组频数和为， 总人数为， ． 8. 已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求一次函数与坐标轴的交点，分别令和得到y轴和x轴的交点坐标，再利用三角形面积得到方程，解方程即可． 【详解】解：当时，， 函数与y轴的交点为， 当时，， 解得， 函数与x轴的交点为， 函数图像与坐标轴围成的三角形面积为6，三角形的两条直角边长分别为和， ， 整理得， 或， 解得或，均满足，即函数图象与坐标轴围成三角形的条件， 的值为或． 9. 已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（ ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据表格数据，结合分式无意义的条件和分式值为0的条件，代值求解判断即可． 【详解】解：由时分式无意义，得，即，解得，故选项A正确，不符合题意； 由时分式值为1，得，解得，故选项B正确，不符合题意； 由时分式的值为0，得，解得，故选项C错误，符合题意； 由时分式的值为，得，解得，经检验，是方程的解，故选项D正确，不符合题意． 10. 如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ） A. 3 种 B. 2种 C. 1种 D. 全部错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作已知线段的垂直平分线，作一个角等于已知角，作已知角的平分线，圆内接四边形性质，相似三角形的判定等知识，综合性强﹒①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形，证明，结合，即可证明；②由尺规作图可得，结合，即可证明；③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， 证明，得到，即可证明﹒ 【详解】解：①由尺规作图可得四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ②由尺规作图可得， 又∵， ∴； ③由尺规作图可得平分，是线段的垂直平分线， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴﹒ 故选：A 11. 在同一平面直角坐标系中，抛物线：与坐标轴有且只有一个交点，若抛物线与抛物线关于轴对称，且两抛物线顶点之间的距离为，则的值是（ ） A. B. C. D. 不存在的值满足题目要求 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线M与y轴恒有交点，得到抛物线M与x轴无交点，求出a的取值范围，再配方得到抛物线M的顶点坐标，根据关于x轴对称的性质得到抛物线的顶点坐标，利用两点距离列方程求解，筛选出符合条件的a即可． 【详解】解：当时，， 抛物线M恒与y轴交于， 抛物线M与坐标轴有且只有一个交点， 抛物线M与x轴没有交点，即二次函数的判别式， ， 解得， 对抛物线M配方得， 抛物线M的顶点坐标为， 抛物线M与关于x轴对称， 的顶点坐标为， 两抛物线顶点横坐标相同， 两点之间的距离为纵坐标差的绝对值，即， 整理得， 当时，解得，符合， 当时，解得，不符合，舍去， 综上所述，的值是． 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 12. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据弧长公式进行求解即可． 【详解】解：因为扇形的圆心角为，半径为1， 所以， 故答案为：． 【点睛】本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式：． 13. 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了代数式求值及数字变化规律，找到数字变化的规律是解题的关键．依次计算前几次的输出结果，从而发现输出结果的循环规律，利用周期性即可得到答案． 【详解】解：第一次：输入，为偶数，输出； 第二次：输入，为奇数，输出； 第三次：输入，为偶数，输出； 第四次：输入，为偶数，输出； 第五次：输入，为偶数，输出； 第六次：输入，为偶数，输出； 第七次：输入，为偶数，输出； 第八次：输入，为奇数，输出； 第九次：输入，为偶数，输出； 故从第四次开始，呈现周期性规律，以为一个周期，循环周期为， ， 故第次输出的结果是． 故答案为：． 14. 如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标；再根据关于直线对称的性质，通过构造辅助线证明全等三角形，推导出点的坐标；最后构造正方形，用正方形面积减去周边直角三角形的面积，即可算出的面积． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． 如图，过点作轴，过点作轴，设直线与交于点． ∵直线平分， ∴． ∵点是点关于直线的对称点， ∴是的垂直平分线， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴． 延长，交于点，则， ∴． 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，能通过作辅助线构造出合适的直角三角形及熟知正弦的定义是解题的关键． 作，连接，得到，根据勾股定理得到，，，继而得到，得到，再根据正弦的定义计算即可得到答案． 【详解】解：如图，作，连接， ， 令正方形网格的边长为， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算或解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据公式法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可； （2）先求出特殊角的三角函数，再进行乘除，最后加减即可． 【小问1详解】 解：， ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ∴，； 【小问2详解】 解： ． 17. 已知两个数和（为负整数）． （1）设整式的值为．当时，求的值； （2）已知，，的和的取值范围如图所示，且满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将已知的直接代入整式，按有理数运算规则计算即可得到的值； （2）先由数轴和不等式分别求出的取值范围，取交集后结合“为负整数”的条件确定唯一解． 【小问1详解】 解：由题意得，，则． 【小问2详解】 解：由题意得，，解得， ，解得， 则， 由为负整数，故． 18. 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，再由直角三角形的性质得，，即可得出结论； （2）证明，得，即可解决问题． 【小问1详解】 证明：，，， ， ，， ； 【小问2详解】 解：由题意可知，， 由（1）可知，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 答：的长为． 19. 某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有300名，为了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下： ①收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取10名学生，进行英语单词测试，测试成绩（百分制）如下： 南校 92 100 86 89 73 98 54 95 98 85 北校 100 100 94 83 74 86 75 100 73 75 ②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x 人数 部门 　50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 　南校 　1 　0 1 3 5 　北校 　0 　0 　4 2 4 （说明：成绩90分及以上为优秀，80～89分分为良好，60～79分为合格，60分以下为不合格） ③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 校区 平均数 中位数 众数 方差 南校 87 90.5 　 　　 179.4 北校 86 　 　 　 　 121.6 ④得出结论． 结合上述统计全过程，回答下列问题： （1）补全③中的表格． （2）请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数． （3）你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 【答案】（1）98，84.5，100； （2）估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为120人； （3）我认为南校区的九年级学生英语单词掌握得比较好，理由如下： ①南校区的九年级学生在英语单词测试中，平均数较高，表示南校区的九年级学生的英语单词掌握情况较好； ②南校区的九年级学生在英语单词测试中，中位数较高，表示南校区英语单词掌握优秀的学生较多．（答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，依据已知条件即可补全③中的表格； （2）依据 ×300，即可得到北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数；（3）依据每个校区的英语测试的成绩的平均数以及中位线的高低，即可得到哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好． 【详解】（1）由题可得，南校区的九年级随机抽取的10名学生的成绩的众数为98， 北校区的九年级随机抽取的10名学生的成绩为：73、74、75、75、83、86、94、100、100、100， ∴北校区的九年级随机抽取的10名学生的成绩的中位数为：84.5；而众数为100； 故答案为98，84.5，100； （2）北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数为：×300=120（人）． （3）略 【点睛】本题考查了众数、中位数以及平均数的运用，掌握众数、中位数以及平均数的定义以及用样本估计总体是解题的关键． 20. 如图，嘉琪在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩竿之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为1米，此时沿钓竿看向钓竿顶端C处，仰角为，钓竿两端点的直线距离为4米，钓线（始终为平直状态）与江面的夹角． （1）求点A到江面的距离； （2）求浮漂D与河堤下端B之间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到米） 【答案】（1）米 （2）米 【解析】 【分析】（1）延长交于，在中，，设，则，由勾股定理求得，则米，即可解答； （2）延长交于，过作于，交于，求出（米），（米），然后证明四边形是矩形，则米，米，所以（米），在中，，则，即有（米），然后通过线段和差即可求解． 【小问1详解】 解：如图，延长交于， ， 在中，， 设，则， ， ， 解得：， 米，米， 故点A到江面的距离为米． 【小问2详解】 解：∵米，米， 米， 延长交于，过作于，交于， ， ， 在 中，米，， 米，米， ， ∴四边形是矩形， 米，米， 米， 在中，， ， 米， 米， 米， 即浮漂D与河堤下端B之间的距离为3.4米． 21. 如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20． （1）求的长； （2）试判断圆O与的位置关系，并证明； （3）求的长． 【答案】（1） （2）相切，证明见解析 （3）12 【解析】 【分析】（1）连接，过C作于点N，证明，得出，根据圆周角定理得出，再证明，得出，结合，，，得出，设，则，，列方程求出，再根据勾股定理即可求解． （2）连接，根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得出，结合，即可得出，证出与圆O相切． （3）过点O作于点M，则，四边形是矩形，从而得，在中，由勾股定理得求出，即可求解． 【小问1详解】 解：连接，过C作于点N， 平分，， ，， 又， ∴， ， 是圆O的直径， ， ， 又， ∴， ， ∵，，， ∴， 设，则， ∵的直径为20， ∴， ∴， ， 解得：，（负值已舍去） ∴，， ． 【小问2详解】 解：相切． 证明：连接， ， ∴， 平分， ， ， ， ， ， 与圆O相切． 【小问3详解】 解：过点O作于点M， ，四边形是矩形， ， ， 在中，由勾股定理得， ， ． 22. 在矩形中，点为边上一点，连接． （1）如图1，若，将三角形绕点顺时针旋转，使点与点重合，点的对应点记为，连接，为线段的中点，连接并延长交边于点．求当点为中点时与的比值是多少？ （2）如图2，在延长线上取一点，使，连接，为线段的中点，连接并延长交边于点，连接． ①求证：． ②若，，则当点在边所在直线上运动时，直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）①见解析；②． 【解析】 【分析】（1）由旋转得，可推出为等腰直角三角形，进而推出，利用，通过相似比求出的长度，进而算出、，得到； （2）由及矩形直角，证，得，同时，根据“直角三角形斜边中线等于斜边一半”，可推出； （3）作辅助线可证在的垂直平分线上， 利用“点到直线的垂线段最短”，过作垂直平分线的垂线，通过勾股定理和相似三角形求出垂线段长度，即为的最小值． 【小问1详解】 解：将绕点顺时针旋转得到， ， ，，， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 为线段的中点， ，， ，， ， ，即， ，，， ． 【小问2详解】 ①解：， ， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， 为的中点， ，， ． ②解：如图，连接，取中点为，连接并延长，交于，交于，过点作，连接， ，， ， 为的垂直平分线， 沿直线运动，， ， 当运动到时，即为的最小值， 设，则， ， ， ，解得， ，， ，， ， ， ，， ， ，即， ． 23. 如图，矩形是一个发球小车，在轴上沿水平方向左右移动，是一个障碍挡板，轴于点，在面上点处有一个平行于轴的弹簧增力片，小球从中点发出，沿抛物线()运动，落到弹簧增力片上后反弹沿抛物线运动，且反弹后抛物线形状不变．已知，，点，，，． （1）求当小车移动到点落到轴负半轴，且距离原点6个单位时，发球点的坐标为__________；线段所在直线表达式为__________； （2）在（1）条件下求出抛物线的表达式，并判断小球是否落到弹簧增力片上； （3）若，且小球增力后一定可以越过障碍物，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）抛物线的表达式为，小球能落到弹簧增力片上； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用矩形边长和点坐标确定、两点坐标，再由中点坐标公式求出发球点的坐标，接着通过待定系数法求解得到线段所在直线的表达式； （2）将发球点的坐标代入抛物线的解析式，解含的一元二次方程，结合的条件确定的值，从而得到抛物线的表达式，之后令抛物线的函数值为2，求解对应的横坐标，再结合直线上时的横坐标确定的横坐标范围，判断小球落点是否在上； （3）根据反弹后抛物线形状不变，确定抛物线的解析式形式，再结合小球越过障碍物的条件建立与的不等式，最后通过分析二次函数在上的最大值，确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵点落到轴负半轴，且距离原点6个单位， ∴点， ∵矩形中，，， ∴，，， ∵是的中点， ∴即； 设线段所在直线的表达式为， 将，代入得：， 解得， ∴线段所在直线表达式为． 【小问2详解】 解：∵抛物线过点， ∴， 整理化简得：， 解得， ∵， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 令，得， 解得，（舍去）， 对于直线：，令， 解得，即， ∴上的点的横坐标的范围为； ∵， ∴小球能落到弹簧增力片上． 【小问3详解】 解：∵反弹后抛物线形状不变， ∴，. 若小球越过障碍物，则时， ∴，即． 设，当时，时取最大值， ∴. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 石家庄市第四十八中学2025-2026学年开学限时作业 初三数学 一、选择题（本大题有12个小题，共36分，每小题各3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 的倒数与的相反数的和为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 2. 某市2026年人口总数达到12250000人，用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，下列说法正确的是（ ） A. 与是同位角 B. 因为与是同位角，所以这两个角相等 C. 与是同旁内角，当这两个角相等时，直线与直线平行， D. 4. 下列各式中添括号正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 若，则，在数轴上的位置不可能为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在和中，已知，还需添加一个条件才能使，不能添加的条件是（ ） A. B. C. D. 7. 某班女生的身高被分成了三组，情况如表所示，则表中m的值是（ ） 第一组 第二组 第三组 频数 6 8 m 频率 p q A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 8. 已知一次函数的图像与坐标轴围成的三角形面积为6，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 9. 已知分式（，均为常数）满足下列表格中信息，则下列结论中错误的是（ ） x的取值 1 m n 分式的值 无意义 1 0 A. B. C. D. 10. 如图，在的边上分别取点E、F使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定E、F的方法，正确的有（ ） A. 3 种 B. 2种 C. 1种 D. 全部错误 11. 在同一平面直角坐标系中，抛物线：与坐标轴有且只有一个交点，若抛物线与抛物线关于轴对称，且两抛物线顶点之间的距离为，则的值是（ ） A. B. C. D. 不存在的值满足题目要求 二、填空题（本大题有4个小题，每小题3分，共12分） 12. 若扇形的圆心角为，半径为1，则扇形的弧长为______． 13. 如图所示的运算程序中，若开始输入的值为50，我们发现第1次输出的结果为25，第2次输出的结果为32，…，则第次输出的结果是__________． 14. 如图所示，点是反比例函数上一点，点是点关于直线的对称点，则的面积为__________． 15. 如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，，，，都在格点处，与相交于点，则的值为_____． 三、解答题（本大题有8个小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算或解方程： （1） （2） 17. 已知两个数和（为负整数）． （1）设整式的值为．当时，求的值； （2）已知，，的和的取值范围如图所示，且满足，求的值． 18. 小亮同学在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，表示小球静止时的位置当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（图中的、、、在同一平面上），过点作于点，测得，． （1）求证：； （2）求的长． 19. 某学校有两个校区：南校和北校，这两个校区九年级学生各有300名，为了解这两个校区九年级学生的英语单词掌握情况，进行了抽样调查，过程如下： ①收集数据，从南校和北校两个校区的九年级各随机抽取10名学生，进行英语单词测试，测试成绩（百分制）如下： 南校 92 100 86 89 73 98 54 95 98 85 北校 100 100 94 83 74 86 75 100 73 75 ②整理、描述数据，按如下分数段整理、描述这两组样本数据： 成绩x 人数 部门 　50≤x≤59 60≤x≤69 70≤x≤79 80≤x≤89 90≤x≤100 　南校 　1 　0 1 3 5 　北校 　0 　0 　4 2 4 （说明：成绩90分及以上为优秀，80～89分分为良好，60～79分为合格，60分以下为不合格） ③分析数据，对上述数据进行分析，分别求出了两组样本数据的平均数、中位数、众数、方差如下表： 校区 平均数 中位数 众数 方差 南校 87 90.5 　 　　 179.4 北校 86 　 　 　 　 121.6 ④得出结论． 结合上述统计全过程，回答下列问题： （1）补全③中的表格． （2）请估计北校九年级学生英语单词掌握优秀的人数． （3）你认为哪个校区的九年级学生英语单词掌握得比较好？说明你的理由．（至少从两个不同的角度说明推断的合理性） 20. 如图，嘉琪在江边垂钓，河堤的坡度为，长为米，甩竿之后，原地蹲坐等待，眼睛到站立处的距离为1米，此时沿钓竿看向钓竿顶端C处，仰角为，钓竿两端点的直线距离为4米，钓线（始终为平直状态）与江面的夹角． （1）求点A到江面的距离； （2）求浮漂D与河堤下端B之间的距离．（参考数据：，，，，结果精确到米） 21. 如图，已知直线交于A、B两点，是的直径，点C为上一点，且平分，过C作，垂足为D，且，的直径为20． （1）求的长； （2）试判断圆O与的位置关系，并证明； （3）求的长． 22. 在矩形中，点为边上一点，连接． （1）如图1，若，将三角形绕点顺时针旋转，使点与点重合，点的对应点记为，连接，为线段的中点，连接并延长交边于点．求当点为中点时与的比值是多少？ （2）如图2，在延长线上取一点，使，连接，为线段的中点，连接并延长交边于点，连接． ①求证：． ②若，，则当点在边所在直线上运动时，直接写出的最小值． 23. 如图，矩形是一个发球小车，在轴上沿水平方向左右移动，是一个障碍挡板，轴于点，在面上点处有一个平行于轴的弹簧增力片，小球从中点发出，沿抛物线()运动，落到弹簧增力片上后反弹沿抛物线运动，且反弹后抛物线形状不变．已知，，点，，，． （1）求当小车移动到点落到轴负半轴，且距离原点6个单位时，发球点的坐标为__________；线段所在直线表达式为__________； （2）在（1）条件下求出抛物线的表达式，并判断小球是否落到弹簧增力片上； （3）若，且小球增力后一定可以越过障碍物，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $