第五章 专题微课 统计与概率的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

统计与概率的综合应用 专题微课 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　概率与统计结合 题型(二) 统计、概率与函数相结合 题型(三)　统计与概率中的决策性 问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　概率与统计结合 01 [例1]　某高校为了解学生对某款人工智能学习辅助工具的使用情况，统计了该校学生在某日使用该辅助工具的时间(单位：小时)，整理数据后，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求a的值，并估计该校学生当日使用该辅助工具的时间的平均数；(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表) 解：因为0.5×0.2+0.5×0.48+0.5a+0.5×0.4+0.5×0.2=1，所以a=0.72.该校学生当日使用该辅助工具的时间的平均数为0.75×0.1+1.25×0.24+1.75×0.36+2.25×0.2+2.75×0.1=1.73. (2)若使用时间不小于2小时的用户称为“资深用户”，其中使用时间在[2，2.5)内的用户称为“青铜用户”，使用时间在[2.5，3]内的用户称为“铂金用户”.为了进一步了解该辅助工具对学习的辅助效果，该校新闻中心采用分层抽样的方法在“资深用户”中抽取了6名学生进行问卷调查，并从这6名学生中随机选择2名学生进行访谈，求这2名学生中恰好有一名是“青铜用户”的概率. 解：抽取的6名学生中，“青铜用户”有4名，记为a，b，c，d，“铂金用户”有2名，记为A，B， 样本空间Ω={ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB}，共15个样本点. 设事件A=“这2名学生中恰好有一名是‘青铜用户’”，则A={aA，aB，bA，bB，cA，cB，dA，dB}，共8个样本点. 因为抽中样本空间Ω中每一个样本点的可能性都相等，所以这是一个古典概型. 所以P(A)=. |思|维|建|模| 破解概率与统计图表综合问题的3步骤 针对训练 1.某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下). (1)体育成绩大于或等于70分的学生常被称为“体育良好”.已知该校高一年级有1 000名学生，试估计高一全年级中“体育良好”的学生人数； 解：由折线图，样本中体育成绩大于或等于70分的学生有40-2-6-2= 30人，所以该校高一年级学生中“体育良好”的学生人数大约为1 000× =750人. (2)为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[40，50)和[60，70)的样本学生中随机抽取2人，求在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在[60，70)的概率； 解：成绩在[40，50)有2名学生，设为1，2；[60，70)有2名学生，设为A，B，故抽取2名学生的情况有：(1，2)，(1，A)，(1，B)，(2，A)，(2，B)，(A，B)，共6种情况，其中恰有1人体育成绩在[60，70)的情况有：(1，A)，(1，B)，(2，A)，(2，B)，共4种情况，故在抽取的2名学生中，恰有1人体育成绩在[60，70)的概率为P==. (3)假设甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80)，[80，90)，[90，100]三组中，其中a，b，c∈N，当数据a，b，c的方差s2最小时，写出a，b，c的值.(结论不要求证明) 解：甲、乙、丙三人的体育成绩分别为a，b，c，且分别在[70，80)，[80，90)，[90，100]三组中，其中a，b，c∈N， 要想数据a，b，c的方差s2最小，则a，b，c三个数据的差的绝对值越小越好，故a=79，c=90， 则甲、乙、丙三人的体育成绩平均值为=， 故方差s2= =[(68-b)2+(2b-169)2+(101-b)2]=(6b2-1 014b+43 386)， 对称轴为b=-=84.5， 故当b=84或85时，s2取得最小值， a，b，c的值为79，84，90或79，85，90. 题型(二) 统计、概率与函数相结合 02 [例2]　(2023·新课标Ⅱ卷)某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图： 利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值c，将该指标大于c的人判定为阳性，小于或等于c的人判定为阴性，此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为p(c)；误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为q(c).假设数据在组内均匀分布.以事件发生的频率作为相应事件发生的概率. (1)当漏诊率p(c)=0.5%时，求临界值c和误诊率q(c)； 解：由题图知(100-95)×0.002=1%>0.5%，所以95<c<100，设X为患病者的该指标， 则p(c)=P(X≤c)=(c-95)×0.002=0.5%， 解得c=97.5.设Y为未患病者的该指标， 则q(c)=P(Y>c)=(100-97.5)×0.01+5×0.002=0.035=3.5%. (2)设函数f(c)=p(c)+q(c).当c∈[95，105]时，求f(c)的解析式，并求f(c)在区间[95，105]的最小值. 解：当95≤c≤100时， p(c)=(c-95)×0.002=0.002c-0.19， q(c)=(100-c)×0.01+5×0.002=-0.01c+1.01， 所以f(c)=p(c)+q(c)=-0.008c+0.82； 当100<c≤105时， p(c)=5×0.002+(c-100)×0.012=0.012c-1.19，q(c)=(105-c)×0.002 =-0.002c+0.21， 所以f(c)=p(c)+q(c)=0.01c-0.98. 综上所述，f(c)= 由一次函数的单调性知，函数f(c)在[95，100]上单调递减，在(100，105]上单调递增. 作出f(c)在区间[95，105]上的大致图象(略)，可得f(c)在区间[95，105]的最小值f(c)min=f(100)=-0.008×100+0.82=0.02. 针对训练 2.数据传输包括发送与接收两个环节.在某数据传输中，数据是由数字0和1组成的数字串，发送时按顺序每次只发送一个数字，且每次数字的传输相互独立.发送0时，收到0的概率为α(0<α<1)，收到1的概率为1-α；发送1时，收到1的概率为β(0<β<1)，收到0的概率为1-β. (1)若发送的数据为“01”，记收到的数字全部正确的概率为P1，全部错误的概率为P2，试比较P1，P2的大小； 解：由题意，P1=αβ，P2=(1-α)(1-β)，P1-P2=αβ-(1-α)(1-β)=α+β-1. 当0<α+β<1时，P1<P2； 当α+β=1时，P1=P2； 当1<α+β<2时，P1>P2. (2)已知发送数字0，1时，收到正确数字的概率都大于收到错误数字的概率. ①从a、b、c中选出一定错误的结论： a.α+β=；b.α+β=1；c.αβ=； ②从①中选出可能正确的结论作为条件，用X表示收到的数字串，将X中数字1的个数记为n(X)，如X=“1011”，则n(X)=3.若发送的数据为“1100”，求P(n(X)=2)的最大值. 解：①由题意，解得 所以所以1<α+β<2，<αβ<1， 所以b、c一定错误. ②由①中选择α+β=作为条件.当发送的数据为“1100”时，事件n(X)=2包含以下三种情况：两个1接收都正确，两个0接收都正确，其概率为α2β2；有且只有一个1接收正确，有且只有一个0接收正确，其概率为2α(1-α)×2β(1-β)=4αβ(1-α-β+αβ)； 两个1接收都错误，两个0接收都错误，其概率为(1-α)2(1-β)2=(1-α-β+ αβ)2，所以P(n(X)=2)=α2β2+4αβ(1-α-β+αβ)+(1-α-β+αβ)2=6α2β2-2αβ+. 令t=αβ，则t=α，其中<α<1，可得t∈， 所以P(n(X)=2)=6t2-2t+，t∈， 由二次函数的性质可知，P(n(X)=2)在t=时取到最大值，为. 题型(三)　统计与概率中的决策 性问题 03 [例3]　不透明的盒子里装有除颜色外完全相同的3个黑球、2个白球，其中黑球编号为1，2，3，白球编号为4，5. (1)现从盒子里随机取出2个小球，记事件A=“有放回地依次取出时，取到两个白球”，事件B=“不放回地依次取出时，取出的小球编号之和为n”，当n=6时，分别求事件A，B的概率； 解：对于事件A，有放回地依次取出两个球的样本空间Ω1={(x，y)|x，y∈{1，2，3，4，5}}，则n(Ω1)=25，因为A={(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)}，所以n(A)=4，所以P(A)==. 对于事件B，不放回地依次取出两个球的样本空间 Ω2={(1，2)，(2，1)，(1，3)，(3，1)，(1，4)，(4，1)，(1，5)，(5，1)，(2，3)，(3，2)，(2，4)，(4，2)，(2，5)，(5，2)，(3，4)，(4，3)， (3，5)，(5，3)，(4，5)，(5，4)}，则n(Ω2)=20，因为B={(1，5)， (5，1)，(2，4)，(4，2)}， 所以n(B)=4，所以P(B)===. (2)某班级为活跃班级氛围，组织了玩游戏送书签的活动.该活动由三个游戏组成，每个游戏各玩一次且结果互不影响，连胜两个游戏可以获得一张书签，连胜三个游戏可以获得两张书签. 游戏一：从盒子中随机取出一个球，取到白球时获胜； 游戏二：从盒子中有放回地依次取出2个球，取出两个白球时获胜； 游戏三：从盒子中无放回地依次取出2个球，取出球编号之和为n时获胜. 小明同学决定先玩游戏一，当n为何值时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大? 解：设M=“先玩游戏二时，获得书签”，N=“先玩游戏三时，获得书签”，C=“从盒子中随机取出一个球，取到白球”，则从盒子中随机取出一个球的样本空间为Ω3={1，2，3，4，5}，n(Ω3)=5，C={4，5}，n(C)=2， 所以P(C)==. 又M=CA∪CAB∪AB，CA，CAB，AB互斥，A，B，C相互独立， 所以P(M)=P(CA∪CAB∪AB)=P(CA)+P(CAB)+P(AB)= P(C)P(A)[1-P(B)]+P(A)P(B)P(C)+[1-P(C)]P(A)P(B) =+P(B). 同理，P(N)=P(B). 因为P(N)>P(M)， 所以P(B)>+P(B)， 解得P(B)>. 综合(1)知，当n=5，6，7时， 对应的P(B)均为，比大， 所以满足题意；当n=3，4，8，9时， 对应的P(B)均为，小于，不满足题意. 因此，当n为5或6或7时，接下来先玩游戏三比先玩游戏二获得书签的概率更大. 针对训练 3.甲、乙两人进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛的胜负互不影响.有两种比赛方案可供选择： 方案一：三局两胜制(先胜2局者获胜，比赛结束)； 方案二：五局三胜制(先胜3局者获胜，比赛结束). (1)用抛掷骰子的方式决定比赛方案，抛掷两枚质地均匀的骰子，观察两枚骰子向上的点数，若两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1，则选择方案一，否则选择方案二.试判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由； 解：抛掷两枚质地均匀的骰子，设向上的点数为(a，b)，则共有36种情况，如下： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)， (2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)， (3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(4，6)， (5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(5，6)， (6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)， 其中两枚骰子向上的点数之差的绝对值不大于1的情况有： (1，1)，(1，2)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，(4，4)，(4，5)，(5，4)，(5，5)，(5，6)，(6，5)，(6，6)，共16种情况， 故选择方案一的概率为=， 则选择方案二的概率为1-=， 因为>，所以方案二被选择的可能性更大. (2)若选择方案一，求甲获胜的概率. 解：若甲在前两局获胜，概率为×=， 若甲在第一局，第三局获胜，概率为××=， 若甲在第二局，第三局获胜， 概率为××=，三种情况互斥，故选择方案一，甲获胜的概率为++=. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 2 1.如图所示的是根据某市3月1日至3月10日的最低气温(单位：℃)的情况绘制的折线统计图，由图可知这10天最低气温的80%分位数是 (　　) A.-2 B.0 C.1 D.2 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 2 解析：由折线图可知，这10天的最低气温按照从小到大的顺序排列 为-3，-2，-1，-1，0，0，1，2，2，2，因为共有10个数据，所以10×80%=8，8是整数，则这10天最低气温的80%分位数是=2. 1 5 6 7 8 9 2 3 4 2.一个系统如图所示，A，B，C，D，E，F为6个部件，其正常工作的概率都是，且是否正常工作是相互独立的，当A，B都正常工作或C正常工作，或D正常工作，或E，F都正常工作时，系统就能正常工作，则系统正常工作的概率是(　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 2 3 4 解析：设“C正常工作”为事件G，“D正常工作”为事件H，则P(G)= P(H)=，“A与B中至少有一个不正常工作”为事件T，“E与F中至少有一个不正常工作”为事件R，则P(T)=P(R)=1-×=，于是系统不正常工作的事件为，而T，R，相互独立，所以系统正常工作的概率P=1-P(T)·P(R)·P()·P()=. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 3.某工厂的机器上有一种易损元件，这种元件发生损坏时，需要及时维修.现有甲、乙两名工人同时从事这项工作，右栏表记录了某月1日到10日甲、乙两名工人分别维修这种元件的件数. 日期 1日 2日 3日 4日 5日 6日 7日 8日 9日 10日 甲 3 5 4 6 4 6 3 7 8 4 乙 4 7 4 5 5 4 5 5 4 7 1 5 6 7 8 9 3 4 2 由于甲、乙的任务量大，拟增加工人，为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，请利用上表数据估计至少需要增加工人的人数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析：设增加工人后有n名工人.因为甲、乙两名工人每天维修的元件的平均数为×[(3+5+4+6+4+6+3+7+8+4)+(4+7+4+5+5+4+5+5+4+7)]=10， 所以这n名工人每人每天维修的元件的平均数为.令≤3，解得n≥，所以n的最小值为4.为使增加工人后平均每人每天维修的元件不超过3件，至少应增加2名工人. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 4.(多选)已知n是一个三位正整数，若n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”(如135，256，345等).现要从甲、乙两名同学中选出1人参加某市组织的数学竞赛，选取的规则如下：从由1，2，3，4，5组成的所有“三位递增数”中随机抽取1个数，若抽取的“三位递增数”是偶数，则甲参加数学竞赛；否则，乙参加数学竞赛.则下列说法正确的是 (　　) A.甲参赛的概率大 B.乙参赛的概率大 C.这种选取规则公平 D.这种选取规则不公平 √ √ 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析：由题意，知由1，2，3，4，5组成的“三位递增数”有123，124，125，134，135，145，234，235，245，345，共10个.记“甲参加数学竞赛”为事件A，事件A包含的样本点有124，134，234，共3个，所以P(A)=.记“乙参加数学竞赛”为事件B，则事件B包含的样本点有123，125，135，145，235，245，345，共7个，所以P(B)=.因为P(A)<P(B)，即乙参赛的概率大，所以该选取规则不公平. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 5.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.甲、乙两人独立地解题，已知两人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.125 B.若A，B是互斥事件，则P(A∪B)=P(A)+P(B)，P(AB)=0 C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层随机抽样的方法，则高级教师应抽取10人 D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析：对于A，∵他们各自解出的概率分别是0.5，0.25，则此题不能解出的概率为×=0.375，则此题能解出的概率为1-0.375=0.625，故A错误；对于B，若A，B是互斥事件，则P(A∪B) =P(A)+P(B)，P(AB)=0，故B正确；对于C，高级教师应抽取50×20% =10人，故C正确；对于D，由列举法可知，两位女生相邻的概率是，故D正确. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 6.(5分)甲、乙两人在5次体育测试中成绩见下表，其中●表示一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为____.  甲 89 91 90 88 92 乙 83 87 9● 83 99 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解析：甲的平均成绩=×(89+91+90+88+92)=90. 设被污损的数字为x，则有83+87+90+x+83+99=442+x， 由×(442+x)<90，得x<8， 所以甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率P==. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 7.(5分)随着经济发展，江门市居住环境进一步改善，市民休闲活动的公园越来越多，其中，最新打造的网红公园有儿童公园、湖连潮头中央公园、下沙公园.某个节假日，甲、乙、丙、丁四组家庭到这个网红公园打卡，通过访问和意向筛查，最后将这四组家庭的意向汇总如下： 公园 儿童公园 湖连潮头 中央公园 下沙公园 有意向的家族组 甲、乙、丙 甲、乙、丁 乙、丙、丁 1 5 6 7 8 9 3 4 2 若每组家庭只能从已登记的选择意向中随机选取一项，且每个公园至多有两组家庭选择，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为___.  解析：①选儿童公园和湖连潮头中央公园时，有以下情况：甲丙、乙丁；乙丙、甲丁； ②选儿童公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丙、乙丁； ③选湖连潮头中央公园和下沙公园时，有以下情况：甲乙、丙丁；甲丁、乙丙； 1 5 6 7 8 9 3 4 2 ④选3个公园时，有以下几种情况：甲乙、丁、丙；甲丙、乙、丁；甲丙、丁、乙；乙丙、甲、丁； 丙、甲乙、丁；乙、甲丁、丙；丙、甲丁、乙；甲、乙丁、丙； 甲、丁、乙丙；丙、甲、乙丁；甲、乙、丙丁；乙、甲、丙丁. 共有18种选择，其中甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的4种，则甲、乙两组家庭选择同一个公园打卡的概率为=. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 8.(15分)某地区积极引导人们种植一种名贵中药材，并成立药材加工厂对该药材进行切片加工，包装成袋出售，已知这种袋装中药的质量以某项指标值k(40≤k≤100)为衡量标准，k值越大，质量越好，该质量指标值的等级及出厂价如表所示： 质量指标值k [40，60) [60，80) [80，90) [90，100] 等级 三级 二级 一级 优级 出厂价(元/袋) 100 120 150 190 1 5 6 7 8 9 3 4 2 该药材加工厂为了解生产这种袋装中药的经济效益，从所生产的这种袋装中药中随机抽取了1 000袋，测量了每袋中药成品的k值，得到如图所示的频率分布直方图. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (1)视频率为概率，求该药材加工厂所生产的袋装中药成品的质量指标值k的平均数(同一组中的数据用该组区间中点值作代表)；(3分) 解：由题意可得平均数=45×0.1+55×0.15+65×0.15+75×0.3+85× 0.25+95×0.05=71，∴该中药加工厂生产的袋装中药成品的质量指标值的平均数为71. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (2)现从质量指标值为[60，80)中分层抽取6袋，某人在这6袋中随机抽取2袋，已知其中一袋的质量指标值在[60，70)内的条件下，求另一袋质量指标值在[70，80)内的概率；(6分) 解：从质量指标值为[60，80)中分层抽取6袋，则在[60，70)内抽取6×=2袋，设为a，b，在[70，80)内抽取6×=4袋，设为C，D，E，F，某人在这6袋中随机抽取2袋，已知其中一袋在 [60，70)内，样本点有(a，b)，(a，C)，(a，D)，(a，E)，(a，F)， (b，C)，(b，D)，(b，E)，(b，F)，共9个， 1 5 6 7 8 9 3 4 2 其中一袋的质量指标值在[60，70)内的条件下，另一袋质量指标值在[70，80)内包含的样本点有(a，C)，(a，D)，(a，E)，(a，F)，(b，C)，(b，D)，(b，E)，(b，F)，共8个， ∴其中一袋的质量指标值在[60，70)内的条件下，另一袋质量指标值在[70，80)内的概率为P=. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (3)假定该中药加工厂一年的袋装中药的产量为10万袋，且全部都能销售出去，若每袋袋装中药的成本为90元，工厂的设备投资为200万元，问：该中药加工厂是否有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资?并说明理由.(6分) 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解：有可能收回投资.理由如下：设每袋袋装中药的销售利润为z元，则样本中每袋的平均利润为=10×0.25+30×0.45+60×0.25+100× 0.05=36(元/袋)，利用样本平均数估计总体平均数可得该厂一年内生产该袋装中药的盈利约为36×100 000=3 600 000元=360万元， ∵360万元>200万元， ∴该中药加工厂有可能在一年内通过加工该袋装中药收回投资. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 9.(15分)根据空气质量指数(AQI，为整数)的不同，可将空气质量分级如下表： AQI [0，50] (50，100] (100，150] (150，200] (200，250] (250，300] 级别 一级 二级 三级 四级 五级(A) 五级(B) 现对某城市30天的空气质量进行监测， 获得30个AQI数据(每个数据均不同)， 统计绘得频率分布直方图如图所示. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (1)请由频率分布直方图来估计这30天AQI的平均数；(3分) 解：依题意，该城市这30天AQI的平均数为 (25×2+75×5+125×9+175×7+225×4+275×3)÷30=150. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (2)若从获得的“一级”和“五级(B)”的数据中随机选取2个数据进行复查，求“一级”和“五级(B)”数据恰均被选中的概率；(4分) 解：一级有2个数据，记为P，Q，五级(B)有3个数据，记为C，D，E，从中选取两个有PQ，PC，PD，PE，QC，QD，QE，CD，CE，DE，共10种可能，一级和五级(B)数据恰均被选中有PC，PD，PE，QC，QD，QE，共6种可能.记“一级和五级(B)数据恰均被选中”为事件M，则P(M)==. 1 5 6 7 8 9 3 4 2 (3)假如企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与AQI(记为ω)的关系式为S=若将频率视为概率，在本年内随机抽取一天，试估计这天的经济损失S不超过600元的概率.(8分) 1 5 6 7 8 9 3 4 2 解：设“在本月30天中随机抽取一天，该天经济损失不超出600元”为事件N，分两种情况：当0≤ω≤100时，S=0，此时概率为=； 当100<ω≤300时，由S≤600，得100<ω≤250， 此时概率为==.综上，由互斥事件的概率公式可得P(N)=+=.所以估计这天的经济损失S不超过600元的概率为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $