6.1.1 向量的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

该高中数学课件聚焦平面向量概念，涵盖向量的实际背景、几何表示、相等与平行等核心知识。通过力、速度、位移等实例导入，以“逐点清”分模块（位移与向量、相等与平行、应用）搭建学习支架，衔接前后知识逻辑。 其亮点在于“多维理解+微点助解+微点练明”结合，通过物理量辨析、正方形中向量关系等实例，培养数学眼光与思维。“思维建模”总结向量应用方法，提升数学语言表达能力，助力学生夯实基础，教师教学更高效。

第六章 平面向量初步 6.1　 平面向量及其线性运算 6.1.1 向量的概念 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义. 2.理解平面向量的几何表示和基本要素. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　位移与向量 逐点清(二)　向量的相等与平行 逐点清(三)　向量的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　位移与向量 01 多维理解 1.向量及向量的模 一般地，既有_____又有_____的量称为向量(也称为矢量)，向量的_____也称为向量的模(或长度). 2.向量的表示 (1)有向线段：具有方向的线段. (2)向量可以用_________来直观地表示，也可以用加粗的斜体小写字母如a，b，c等来表示，还可以用有向线段的始点和终点的两个大写字母表示，如：. 大小 方向 有向线段 大小 3.零向量与单位向量 零向量 始点和终点______的向量称为零向量.零向量在印刷时，通常用加粗的阿拉伯数字零表示，即___；书写时，通常用带箭头的阿拉伯数字零表示，即___ 非零向量 模不为0的向量通常称为______向量 单位向量 模等于____的向量称为单位向量 相同 0 非零 1 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)有向线段与向量不是同一个概念，有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量，每一个向量对应无数个有向线段. (3)注意0与0的区别及联系，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0.零向量的方向是不确定的，在分析向量的位置关系时要特别注意零向量. (4)单位向量是长度等于 1 个单位长度的向量，其方向是任意的. (5)向量不能比较大小，它的模可以比较大小. 微点练明 1.给出下列物理量：①密度；②温度；③速度；④质量；⑤功；⑥位移.正确的是 (　　) A.①②③是数量，④⑤⑥是向量 B.②④⑥是数量，①③⑤是向量 C.①④是数量，②③⑤⑥是向量 D.①②④⑤是数量，③⑥是向量 √ 解析：密度、温度、质量、功只有大小，没有方向，是数量；速度、位移既有大小又有方向，是向量. 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.零向量是没有方向的 B.零向量的长度为0 C.向量与向量的模相等 D.单位向量的模都相等 √ 解析：零向量的方向是不确定的，故A错误；零向量的长度为0，故B正确；易知C正确；单位向量的模都等于1，故D正确. √ √ 3.下列说法正确的是 (　　) A.向量的模都是正实数 B.单位向量只有一个 C.向量的大小与方向无关 D.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 √ 解析：零向量的模为0，故A不正确；只要模等于1的向量都是单位向量，故B不正确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关，故C正确；不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故D不正确. 4.如图，B，C是线段AD的三等分点，分别以图中不同的点为始点和终点，可以写出_______个向量.  12 解析：由向量的几何表示知可以写出12个向量，它们分别是. 逐点清(二)　向量的相等与平行 02 多维理解 1.相等的向量与平行向量 相等的 向量 一般地，把大小______、方向_____的向量称为相等的向量. 向量a和b相等，记作______ 平行向量 (共线向量) 如果两个非零向量的方向相同或者相反，则称这两个向量平行.两个向量a和b平行，记作a∥b.规定：零向量与任意向量______ 相等 相同 a=b 平行 |微|点|助|解| (1)共线向量定义强调指的是非零向量； (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行，也可以重合，与平面几何中的“共线”“平行”不同； (3)相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定是相等向量. (4)向量相等具有传递性，即若 a=b， b=c， 则a=c.而向量的平行不具有传递性. 2.寻找共线向量或相等的向量的方法 (1)寻找共线向量：先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量. (2)寻找相等的向量：先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确定哪些是同向共线的向量. 微点练明 1.(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若|a|=|b|，则a=b B.两相等向量若其起点相同，则终点也相同 C.若a=b，b=c，则a=c D.若四边形ABCD是平行四边形，则==　 √ √ 解析：A不正确，|a|=|b|只是说明这两个向量的模相等，但其方向未必相同；B正确，因为两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；C正确，由向量相等的定义知，a与b的模相等，b与c的模相等，从而a与c的模相等；又a与b的方向相同，b与c的方向相同，从而a与c的方向也必相同，故a=c；D不正确，显然≠≠. 2.(多选)设点O是正方形ABCD的中心，则下列结论正确的是 (　　) A.= B.= C.∥ D.与共线 √ √ √ 解析：如图，因为方向相同，长度相等，故=，故A正确；因为方向不同，故≠，故B错误；因为B，O，D三点共线，所以∥，故C正确；因为AB∥CD，所以与共线，故D正确. 3.如图，点D，E，F分别是Rt△ACB三边的中点，分别写出图中与相等的向量以及与的模相等的向量. 解：因为点D，E，F分别是Rt△ACB三边的中点，所以DC=AD=BD，根据中位线定理可知，ED∥CB，ED=CB，DF∥AC，DF=AC，所以====；与的模相等的向量有 . 逐点清(三)　向量的应用 03 [典例]　在如图所示的坐标纸上(每个小方格边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量： (1)，使||=4，点A在点O北偏东45°； 解：因为点A在点O北偏东45°处，所以在坐标纸上点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数相等.又||=4，小方格边长为1，所以点A距点O的横向小方格数与纵向小方格数都为4，于是点A位置可以确定，画出向量如图所示. (2)，使||=4，点B在点A正东方向； 解：因为点B在点A正东方向，且||=4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数为4，纵向小方格数为0，于是点B位置可以确定，画出向量如图所示. (3)，使||=6，点C在点B北偏东30°. 解：由于点C在点B北偏东30°处，且||=6，依据勾股定理可得在坐标纸上点C距点B的横向小方格数为3，纵向小方格数为3≈5.2，于是点C位置可以确定，画出向量如图所示. |思|维|建|模| (1)准确画出向量的方法是先确定向量的始点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点. (2)要注意能运用向量观点将实际问题转化成数学模型. 针对训练 一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点，然后又改变方向，向北偏西40°的方向走了200 km到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量； 解：向量如图所示. (2)求||. 解：由题意，可知与方向相反，故与共线. ∵||=||， ∴在四边形ABCD中， AB∥CD且AB=CD. ∴四边形ABCD为平行四边形. ∴=. ∴||=||=200(km). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h，摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h，则下列命题正确的是 (　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 √ 解析： 由题意，速度、位移是向量，不能比较大小，故A、B错误.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.向量与向量的长度相等 B.零向量与任意向量平行 C.零向量的方向是不确定的 D.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：向量与向量方向相反，长度相等；零向量的方向是不确定的，它与任意向量都平行；方向为北偏西50°的向量与方向为南偏东50°的向量是一对方向相反的向量，因此是平行向量，故D不正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.下列结论正确的是 (　　) A.若|a|>|b|，则a>b B.∠AOB的两条边都是向量 C.始点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量 D.向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一直线上 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：A错误，向量不能比较大小.B错误，∠AOB的两条边只有方向，没有大小，不是向量.C正确，相等向量的两个要素是大小相等、方向相同，与始点无关.D错误，共线向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求两个向量必须在同一直线上. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.若||=||且=，则四边形ABCD的形状为(　　) A.正方形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形 √ 解析：由=，知AB=CD且AB∥CD，即四边形ABCD为平行四边形.又因为||=||，所以四边形ABCD为菱形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.(多选)给出下列四个条件，其中能使a∥b成立的条件是 (　　) A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 √ 解析：对于A，若a=b，则a与b大小相等且方向相同，所以a∥b；对于B，若|a|=|b|，则a与b的大小相等，而方向不确定，因此不一定有a∥b；对于C，方向相同或相反的向量都是平行向量，因此若a与b方向相反，则有a∥b；对于D，零向量与任意向量平行，所以若|a|=0或|b|=0，则a∥b. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.(多选)如图，在菱形ABCD中，∠DAB=120°，则以下说法正确的是 (　　) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模为模的倍 D.与不共线 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：A项，由相等向量的定义知，与相等的向量只有，故A正确；B项，因为AB=BC=CD=DA=AC，所以与的模相等的向量除外有9个，故B正确；C项，在Rt△ADO中，∠DAO=60°，则DO= DA，所以BD=DA，故C正确；D项，因为四边形ABCD是菱形，所以与共线，故D错误，选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(多选)如图所示，每个小正方形的边长都是1，在其中标出了6个向量，则在这6个向量中 (　　) A.向量的模相等 B.= C.向量共线 D.||+||=10 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：==，||==2，A错误；||==，B正确； 向量共线，C正确； ||+||=2+3=5，D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)把同一平面内所有模不小于1，不大于2的向量的始点移到同一点O，则这些向量的终点构成的图形的面积等于______.  解析：这些向量的终点构成的图形是一个圆环，其面积为π·22-π· 12=3π. 3π 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)窗，古时亦称为牖，它伴随着建筑的起源而出现，在中国建筑文化中是一种独具文化意蕴和审美魅力的重要建筑构件.如图，是某古代建筑群的窗户设计图，窗户的轮廓ABCD是边长为1米的正方形，内嵌一个小正方形EFGH，且E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点，则与相等的向量为_____________，的相反向量为________________.  　 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：因为四边形EFGH为正方形，所以EF=FG=GH=HE， 且EF∥HG.又E，F，G，H分别是AF，BG，CH，DE的中点， 所以BF=FG=GC=HD=AE.所以与相等的向量有.的相反向量有. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)已知A，B，C是不共线的三点，向量m与向量是平行向量，与是共线向量，则m=____.  0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)已知在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC=60°，则||=_____.  解析：由题意知AC⊥BD，且∠ABD=30°.设AC与BD的交点为O， ∴在Rt△AOB中，||=||·cos 30°=2×=. ∴||=2||=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向按东北方向走了10 米到达C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点. (1)作出向量；(4分) 解：作出向量，如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求的模.(6分) 解：由题意得，△BCD是直角三角形，其中∠BDC=90°，BC=10米，CD=10米， 所以BD=10米.△ABD是直角三角形， 其中∠ABD=90°，AB=5米，BD=10米， 所以AD==5(米)， 所以||=5 米. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)如图所示，已知在四边形ABCD中，M，N分别是BC，AD的中点，又=且=，求证：=. 证明：因为=， 所以||=||且AB∥DC. 所以四边形ABCD是平行四边形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 所以||=||且DA∥CB. 又因为与的方向相同，所以=. 同理可证，四边形CNAM是平行四边形，所以=. 因为||=||，||=||，所以||=||. 又与的方向相同，所以=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $