5.3.3 第1课时 古典概型-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

5.3.3　 古典概型 古典概型 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.结合具体实例，理解古典概型的两个特征. 2.能计算古典概型中随机事件的概率. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.古典概型 一般地，如果随机试验的样本空间所包含的样本点个数是______ (简称为________)，而且可以认为每个只包含一个样本点的事件(即_________)发生的可能性大小_______ (简称为_________)，则称这样的随机试验为古典概率模型，简称为_________. 有限的 有限性 基本事件 都相等 等可能性 古典概型 |微|点|助|解| 一般地，古典概型具有以下特征： ①有限性：样本空间的样本点只有有限个； ②等可能性：每个样本点发生的可能性相等. 2.古典概型的概率计算公式 一般地，设试验E是古典概型，样本空间含有n个样本点，事件C包含m个样本点，则定义事件C的概率P(C)=___. 基础落实训练 1.(多选)下列概率模型是古典概型的是 (　　) A.从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小 B.同时抛两枚质地均匀的骰子，点数和为6的概率 C.近三天中有一天降雨的概率 D.在适宜的条件下，种下一粒大豆，观察它是否发芽 √ √ 解析：古典概型的特征为①试验中所有可能出现的样本点只有有限个；②每个样本点出现的可能性相等.显然A、B符合古典概型的特征，所以A、B是古典概型；C选项，每天是否降雨受多方面因素影响，不具有等可能性，不是古典概型；D选项同C，也不具有等可能性，不是古典概型. 2.袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P==. 3.某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为___.  课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　古典概型的理解 [例1]　(多选)下列问题是古典概型的是 (　　) A.小杨种下一粒种子，求种子能长出果实的概率 B.某小组有男生5人，女生3人，从中任选1人做演讲 C.在区间[1，4]上任取一数，求这个数大于2的概率 D.同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是5的概率 √ √ 解析：对于A，种子长出果实、不长出果实的发生不是等可能的，故A不是古典概型；对于C，在区间[1，4]上样本点的个数是无限多个，故C不是古典概型；对于B和D，样本点的发生是等可能的，且是有限个，故B、D是古典概型.故选BD. |思|维|建|模| 古典概型的判断方法 一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征，即有限性和等可能性，因而并不是所有的试验都是古典概型. 针对训练 1.(多选)下列概率模型不属于古典概型的是 (　　) A.在平面直角坐标系内，从横坐标和纵坐标都是整数的所有点中任取一点 B.10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 C.一只使用中的灯泡的寿命长短 D.中秋节前夕，某市工商部门调查辖区内某品牌的月饼质量，给该品牌月饼评“优”或“差” √ √ √ 解析：古典概型的特征是等可能性、有限性.对于A，样本点是无限的，排除；对于C，每只灯泡寿命长短具有不确定性，不符合等可能性，排除；对于D，月饼质量评价有主观性，不符合等可能性，排除；易知B满足古典概型的特征. 题型(二)　古典概型的计算 [例2]　袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率. (1)A：取出的两球都是白球； 解：设4个白球的编号为1，2，3，4，2个红球的编号为5，6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)， (4，5)，(4，6)，(5，6)}，共有15个样本点. 因为A={(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)}， 所以n(A)=6，从而P(A)==. (2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球. 解：因为B={(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)， (4，5)，(4，6)}， 所以n(B)=8，从而P(B)=. |思|维|建|模| 求解古典概型的概率“四步”法 针对训练 2.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字1，2，3，4.同时抛掷两个玩具，则朝下的面的数字之积是3的倍数的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：根据题意，同时抛掷两个玩具，朝下的面写有的数字有16种情况，分别为(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)， (4，4)，朝下的面的数字之积是3的倍数的结果有7种，分别为(1，3)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(3，4)，(4，3)，则数字之积是3的倍数的概率为P=. 3.某校文艺部有4名学生，其中高一、 高二年级各2名.从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：记高一年级2名学生分别为a1，a2，高二年级2名学生分别为b1，b2，则从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演的样本点共有(a1，a2)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(b1，b2)，共6个，其中这2名学生来自不同年级的样本点共有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)， (a2，b2)，共4个，所以这2名学生来自不同年级的概率P==，故选D. 题型(三)　概率性质在古典概型中的应用 [例3]　从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示“选到的数能被2整除”，事件N表示“选到的数能被3整除”.求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； 解：1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，所以P(MN)==. (2)这个数能被2整除或能被3整除； 解：1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以P(M)==，P(N)==.所以P(M∪N)=P(M)+P(N)-P(MN)=+-=. (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除. 解：由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件，所以P()=1-P(M∪N)=1-=. |思|维|建|模| 古典概型中概率的性质 假设古典概型对应的样本空间含n个样本点，事件A包含m个样本点，则 (1)0≤P(A)=≤1. (2)P(A)+P()=1. (3)若事件B包含k个样本点，而且A与B互斥，则容易知道A+B包含m+k个样本点，从而P(A+B)==+=P(A)+P(B). 针对训练 4.甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道题，选择题3道，判断题2道，甲、乙两人各抽一道题. (1)甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率是多少? 解：把3道选择题记为x1，x2，x3，2道判断题记为p1，p2，则“甲抽到选择题，乙抽到判断题”的情况有(x1，p1)，(x1，p2)，(x2，p1)，(x2，p2)，(x3，p1)，(x3，p2)，共6种；“甲抽到判断题，乙抽到选择题”的情况有(p1，x1)，(p1，x2)，(p1，x3)，(p2，x1)，(p2，x2)，(p2，x3)，共6种；“甲、乙都抽到选择题”的情况有(x1，x2)，(x1，x3)，(x2，x1)，(x2，x3)，(x3，x1)，(x3，x2)，共6种；“甲、乙都抽到判断题”的情况有(p1，p2)，(p2，p1)，共2种. 因此样本点总数为6+6+6+2=20. 记“甲抽到选择题，乙抽到判断题”为事件A，则P(A)==.记“甲抽到判断题，乙抽到选择题”为事件B，则P(B)==，故甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率为P(A+B)=+=. (2)甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率是多少? 解：记“甲、乙两人至少有一人抽到选择题”为事件C，则为“甲、乙两人都抽到判断题”.由题意得P()==，故甲、乙两人至少有一人抽到选择题的概率为P(C)=1-P()=1-=. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.下列是古典概型的是 (　　) A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点 C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率 D.抛掷一枚均匀硬币，首次出现正面为止 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析：A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中样本点既不是有限个，也不具有等可能性，故D不是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.用1，2，3组成无重复数字的三位数，这个数能被2整除的概率是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析：用1，2，3组成的无重复数字的三位数共6个，分别为123，132，213，231，312，321，其中能被2整除的有132，312这2个数，故能被2整除的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.集合A={2，3}，B={1，2，3}，从A，B中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：从集合A，B中各任意取一个数的所有样本点有(2，1)，(2，2)，(2，3)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，共6个，和为4的样本点有(2，2)， (3，1)，共2个，则所求概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.(2023·全国乙卷)某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：法一：设6个主题分别为A，B，C，D，E，F，甲、乙两位同学所选主题的所有可能情况如表： 甲 乙 A B C D E F A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D) (A，E) (A，F) B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D) (B，E) (B，F) C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D) (C，E) (C，F) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D) (D，E) (D，F) E (E，A) (E，B) (E，C) (E，D) (E，E) (E，F) F (F，A) (F，B) (F，C) (F，D) (F，E) (F，F) 共36种情况.其中甲、乙两位同学抽到不同主题的情况有30种，故抽到不同主题的概率为=，故选A. 续表 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 法二：甲、乙两位同学抽到相同主题的情况有6种，故抽到不同主题的概率为1-=，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.某天上午要随机安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.某人射击5枪，命中3枪，3枪中恰有2枪连中的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意可知，射击5枪，命中3枪，总的方法包含{000××，00××0，0××00，××000，×0×00，0×0×0，00×0×，×00×0，0×00×，×000×}，共10种，其中3枪中恰有2枪连中的情况有00×0×，00××0，×00×0，0×00×，0××00，×0×00，共6种，所以3枪中恰有2枪连中的概率为P==.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的5位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个小组有3位，另外一个小组有2位，则甲和乙不在同一个小组的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：这5名棋手分别记为甲，乙，A，B，C，分组情况有(甲乙A，BC)，(甲乙B，AC)，(甲乙C，AB)，(甲AB，乙C)，(甲AC，乙B)， (甲BC，乙A)，(乙AB，甲C)，(乙AC，甲B)，(乙BC，甲A)，(ABC，甲乙) 共10种，其中甲和乙不在同一组的有6种，分别为(甲AB，乙C)，(甲AC，乙B)，(甲BC，乙A)，(乙AB，甲C)，(乙AC，甲B)，(乙BC，甲A)，所以甲和乙不在同一个小组的概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.若从集合A={-2，1，2}中随机取一个数a，从集合B={-1，1，3}中随机取一个数b，则直线ax-y+b=0经过第四象限的概率为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：由题意，从集合A={-2，1，2}中随机取一个数a，从集合B={-1，1，3}中随机取一个数b，有(-2，-1)，(-2，1)，(-2，3)，(1，-1)，(1，1)，(1，3)，(2，-1)，(2，1)，(2，3)，共9个样本点.由直线ax-y+b=0，即y=ax+b，其中当时，直线不过第四象限，有(1，1)，(1，3)，(2，1)，(2，3)，共4个样本点，所以直线ax-y+b=0经过第四象限共有5个样本点.所以概率为P=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)在一个不透明的袋中装有一些除颜色外完全相同的红和黑两种颜色的小球，已知袋中有红球5个，黑球m个，从袋中随机摸出一个红球的概率是，则m的值为_______.  解析：根据题意，从袋中随机摸出一个红球的概率是P==，所以m=10. 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，其中甲、乙为男生，丙、丁是女生，则选举结果中至少有一名女生当选的概率是_____.  解析：从甲、乙、丙、丁四个同学中选两人分别当班长和副班长，样本点有(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)，共6个，其中“没有女生当选”只包含(甲，乙)1个样本点，故至少有一名女生当选的概率为P=1-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(5分)将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出现一次正面的概率是_____.  解析：试验共有8个结果：(正，正，正)，(反，正，正)，(正，反，正)，(正，正，反)，(反，反，正)，(反，正，反)，(正，反，反)，(反，反，反)，其中恰好出现一次正面的结果有3个，故所求的概率是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)如图，数轴上O为原点，点A对应实数6，现从1，2，3，4，5中随机取出两个数，分别对应数轴上的点B，C(点B对应的实数小于点C对应的实数). (1)记事件E为线段OB的长小于等于2，写出事件E的所有样本点；(5分) 解：事件E的样本点有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)， (2，4)，(2，5). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)记事件F为线段OB，BC，CA能围成一个三角形，求事件F发生的概率.(5分) 解：样本空间为{(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)， (2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)}， 其中事件F包含的样本点只有(2，4)， 所以事件F发生的概率P(F)=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)某学校组织学生参加交通安全和环境保护知识宣讲活动.已知该校高一某班全体学生参与上述活动的情况如下表所示：   参加交通安全知识宣讲 未参加交通安全知识宣讲 参加环境保护知识宣讲 6人 4人 未参加环境保护知识宣讲 5人 30人 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)从该班随机选取1名学生，试估计该学生至少参加一项活动的概率；(3分) 解：由题意知，至少参加一项活动的学生人数为6+4+5=15，班级学生总数为15+30=45.因此该学生至少参加一项活动的概率P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)已知既参加交通安全知识宣讲又参加环境保护知识宣讲的6名学生中，有4名男生和2名女生.现从这6名学生中随机选取2人作为主讲人，求选取的2人中恰有1名男生和1名女生的概率.(7分) 解：设4名男生分别为A，B，C，D，2名女生分别为a，b，则样本空间 Ω={(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，a)，(A，b)，(B，C)，(B，D)， (B，a)，(B，b)，(C，D)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)，(a，b)}，n(Ω)=15，记事件E=“选取的2人中恰有1名男生和1名女生”， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 则E={(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)，(C，a)，(C，b)，(D，a)，(D，b)}，n(E)=8， 因为Ω中每一个样本点发生的可能性都相等，所以P(E)==. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $