5.3.2 事件之间的关系与运算-【金版教程】2025-2026学年高中数学必修第二册创新导学案课件PPT（人教B版）

第五章　统计与概率 5.3　概率 5.3.2　事件之间的关系与运算 (教师独具内容) 课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则． 教学重点：1.事件之间的关系与运算.2.互斥事件、对立事件的概念.3.用概率的性质求事件的概率． 教学难点：1.区分互斥事件与对立事件.2.事件的混合运算． 核心素养：通过学习事件之间的关系与运算培养数学抽象素养、逻辑推理素养和数学运算素养． 核心概念掌握 核心素养形成 随堂水平达标 目录 课后课时精练 核心概念掌握 知识点一　事件的包含 (1)一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“___包含于___”(或“___包含___”)，记作______ (或______)，这一关系可用下图表示． (2) ______ 也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的__________，B发生是A发生的_________． (3)如果A⊆B，则P(A)_____P(B)． A B B A A⊆B B⊇A A⊆B 充分条件 必要条件 ≤ 核心概念掌握 5 知识点二　事件的相等 (1)如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“____________”，记作_______． (2)A＝B⇔_____________． A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的_________． (3)当A＝B时，有P(A) _____P(B)． A 与B相等 A＝B A⊆B且B⊆A ＝ 充要条件 核心概念掌握 6 知识点三　事件的和(并) (1)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为________________，记作______ (或_______)．事件A与B的_______可以用如图所示的阴影部分表示． (2)由定义可知：①事件A＋B发生时，当且仅当__________________________发生； ②A____ (A＋B)且B___ (A＋B)． 因此，P(A) ___P(A＋B)且P(B) ___P(A＋B)，P(A＋B) ___P(A)＋P(B)． A与B的和(或并) A＋B A∪B 事件A与事件B中至少有一个 ⊆ ⊆ ≤ ≤ ≤ 和 核心概念掌握 7 知识点四　事件的积(交) (1)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为___________ (或______)，记作_____ (或______)． 事件A与B的______可以用如图所示的阴影部分表示． (2)由定义可知：①事件AB发生时，当且仅当_______________都发生． ②AB____⊆A，AB____⊆B. 因此，P(AB) ____ P(A)，P(AB) ____ P(B)． A与B的积 AB A∩B 积 事件A与事件B ⊆ ⊆ ≤ ≤ 交 核心概念掌握 8 知识点五　事件的互斥 (1)给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B_____，记作_______ (或_________)，这一关系可用下图表示． (2)任意两个基本事件都是_______的，___与任意事件互斥． (3)当A与B______ (即AB＝____)时，有P(A＋B)＝___________，这称为互斥事件的概率加法公式． 一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝_______________________． 互斥 AB＝∅ A∩B＝∅ 互斥 ∅ 互斥 ∅ P(A)＋P(B) P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An) 核心概念掌握 9 对立 补 相互对立 只有一个发生 核心概念掌握 10 求积 求和 知识点七　事件的混合运算 同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：______运算的优先级高于______运算． 核心概念掌握 11 核心概念掌握 12 1．(事件的关系与运算)掷一个骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　) A．A⊆B B．AB＝{出现的点数为2} C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 核心概念掌握 13 2．(互斥事件的判定)一人连续投掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是(　　) A．至多有一次为正面 B．两次均为正面 C．只有一次为正面 D．两次均为反面 核心概念掌握 14 3．(用互斥、对立事件求概率)某射击手在一次射击中，射中10环、9环、8环的概率分别是0.20，0.30，0.10，则此射击手在一次射击中不够8环的概率为(　　) A．0.40 B．0.30 C．0.60 D．0.90 核心概念掌握 15 核心素养形成 题型一　事件的关系与运算 在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题． (1)请举出符合包含关系、相等关系的事件； (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件． 核心素养形成 17 解　(1)因为事件C4，C5，C6发生，则事件D2必发生，所以C4⊆D2，C5⊆D2，C6⊆D2. 同理可得，事件D3包含事件C1，C2，C3，C4，D1；事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6，D1，D2，D3，F，G；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5，D1. 且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1. (2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}， 所以D2＝C4＋C5＋C6(或D2＝C4∪C5∪C6)． 同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5，E＝F＋G. 核心素养形成 18 【感悟提升】 1．包含关系、相等关系的判定 (1)事件的包含关系与集合的包含关系相似． (2)两事件相等的实质为相同事件，即同时发生或同时不发生． 2．事件间的运算方法 (1)利用事件间运算的定义．列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． (2)利用维恩图．借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算． 核心素养形成 19 【跟踪训练】 1．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有一个红球，两个白球}，事件B＝{3个球中有两个红球，一个白球}，事件C＝{3个球中至少有一个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．则： (1)事件D与事件A，B是什么样的运算关系？ (2)事件C与事件A的交事件是什么事件？ 解： (1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A＋B. (2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球，2个红球1个白球或3个红球，故CA＝A. 核心素养形成 20 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从1～10各10张)中，任取1张． (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”； (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”； (3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”． 判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． 题型二　互斥事件与对立事件的判定 核心素养形成 21 解 　(1)是互斥事件，不是对立事件． 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件． (2)既是互斥事件，又是对立事件． 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”，两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是对立事件． (3)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然也不可能是对立事件． 核心素养形成 22 【感悟提升】互斥事件与对立事件的区别与联系 (1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此若事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则A∪B不一定是必然事件，也就是说事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个． (2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立． 核心素养形成 23 【跟踪训练】 2．已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中任选2名去参加医德培训．判断下列各对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由． (1)“恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”； (2)“至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”； (3)“至少有1名男医生”和“全是男医生”； (4)“至少有1名男医生”和“全是女医生”． 解：(1)是互斥事件，但不是对立事件． 理由：所选的2名医生中，“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生和1名女医生”，它与“恰有2名男医生”不可能同时发生，所以是互斥事件，同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能选出“恰有2名女医生”，因此二者不对立． 核心素养形成 24 (2)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，“至少有1名女医生”包括“1名女医生和1名男医生”与“2名都是女医生”，它们共同含有“1名男医生和1名女医生”，能够同时发生，因此不互斥也不对立． (3)不是互斥事件，也不是对立事件． 理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，这与“全是男医生”能够同时发生，因此不互斥也不对立． (4)是互斥事件，也是对立事件． 理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是男医生”，它与“全是女医生”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们既是互斥事件，又是对立事件． 核心素养形成 25 题型三　利用互斥事件、对立事件求概率 一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环及7环以下的概率分别为0.24，0.28，0.19，0.16，0.13.计算这名射击运动员在一次射击中： (1)射中10环或9环的概率； (2)至少射中7环的概率； (3)射中环数小于8的概率． 解　设“射中10环”“射中9环”“射中8环”“射中7环”“射中7环以下”分别为事件A，B，C，D，E，可知它们彼此之间互斥，且P(A)＝0.24，P(B)＝0.28，P(C)＝0.19，P(D)＝0.16，P(E)＝0.13. 核心素养形成 26 (1)P(射中10环或9环)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.24＋0.28＝0.52，所以射中10环或9环的概率为0.52. (2)事件“至少射中7环”与事件E“射中7环以下”是对立事件，则P(至少射中7环)＝1－P(E)＝1－0.13＝0.87. 所以至少射中7环的概率为0.87. (3)事件“射中环数小于8”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，则P(射中环数小于8)＝P(D＋E)＝P(D)＋P(E)＝0.16＋0.13＝0.29，所以射中环数小于8的概率为0.29. 核心素养形成 27 核心素养形成 28 核心素养形成 29 核心素养形成 30 随堂水平达标 1．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率；⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析： 对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错误；当A＋B＝A时，P(A＋B)＝P(A)，∴④错误；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错误． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 32 2．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是(　　) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有两个红球 解析：对于A，若取出的3个球是3个红球，则这两个事件同时发生，故它们不是互斥事件，A不符合题意；对于B，这两个事件不能同时发生，且必有一个发生，则它们是互斥事件且是对立事件，B不符合题意；对于C，若取出的3个球是1个红球2个白球，则它们同时发生，故它们不是互斥事件，C不符合题意；对于D，这两个事件不能同时发生，是互斥事件，若取出的3个球都是红球，则它们都没有发生，故它们不是对立事件，D符合题意． 随堂水平达标 1 2 3 4 5 33 3．(多选)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件： 事件A：恰有一件次品；事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品． 则下列结论正确的是(　　) A．A＋B＝C B．D＋B是必然事件 C．AB＝C D．AD＝C 解析：事件A＋B：至少有一件次品，即事件C，所以A正确；事件D＋B：至少有两件次品或至多有一件次品，包括了所有情况，所以B正确；事件AB＝∅，C不正确；事件AD：恰有一件次品，即事件A，所以D不正确．故选AB. 随堂水平达标 1 2 3 4 5 34 4．口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.34，那么摸出黑球的概率是______． 解析： 摸出黑球的概率是1－0.38－0.34＝0.28. 0.28 随堂水平达标 1 2 3 4 5 35 5．某人去旅游，他乘火车、轮船、汽车的概率分别为0.3，0.6，0.1，则他乘火车或汽车的概率为______，他不乘火车的概率为______． 0.4 0.7 随堂水平达标 1 2 3 4 5 36 课后课时精练 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★ 对点 和事件的含义 事件的关系；和、积事件的含义 对立事件的 判断 对立事件；互斥事件求概率 对立事件求概率 事件的关系与运算 互斥事件、对立事件的判断 互斥不对立事件的 判断 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 对点 对立事件求 概率 互斥事件、对立事件的概率 公式 事件的运算 互斥事件、对立事件求概率 利用互斥事件的概率求参数范围 互斥事件的概率应用 互斥事件、对立事件求概率 互斥事件概率的应用 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 一、单选题 1．打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0，1，2，3，则事件A＝A1＋A2＋A3表示(　　) A．全部未击中 B．至少有一次击中 C．全部击中 D．至多有一次击中 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 2．掷一个骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 解析：设A＝{1，2}，B＝{2，3}，则AB＝{2}，A＋B＝{1，2，3}，所以AB表示向上的点数是2，A＋B表示向上的点数是1或2或3.故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 3．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是(　　) A．① B．②④ C．③ D．①③ 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 解析：根据题意，从1，2，3，…，9中任取两数，其中可能的情况有“两个奇数”“两个偶数”“一个奇数与一个偶数”三种情况，依次分析所给的4个事件可得：①“恰有一个偶数”和“恰有一个奇数”都是“一个奇数与一个偶数”一种情况，不是对立事件；②“至少有一个奇数”包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是奇数”不是对立事件；③“至少有一个奇数”包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，和“两个都是偶数”是对立事件；④“至少有一个奇数”包括“两个奇数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，“至少有一个偶数”包括“两个偶数”与“一个奇数与一个偶数”两种情况，不是对立事件．故选C. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 二、多选题 6．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设事件A＝{两弹都击中飞机}，事件B＝{两弹都没击中飞机}，事件C＝{恰有一弹击中飞机}，事件D＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系正确的是(　　) A．A⊆D B．BD＝∅ C．A＋C＝D D．A＋B＝B＋D 解析： “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没击中或第一枚没击中第二枚击中，“至少有一弹击中”包含两种情况：一种是恰有一弹击中，一种是两弹都击中，∴A⊆D，BD＝∅，A＋C＝D，A＋B≠B＋D.故选ABC. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 三、填空题 8．掷一个骰子，记事件A为“落地时向上的点数是奇数”，事件B为“落地时向上的点数是偶数”，事件C为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D为“落地时向上的点数是2或4”，则下列各对事件：①事件A与D，②事件A与B，③事件B与C，④事件B与D.其中是互斥事件但不是对立事件的是______． 解析： 事件A与D不能同时发生，是互斥事件，但不是对立事件；事件A与B是对立事件；事件B与C可能同时发生，不是互斥事件；事件B与D可能同时发生，不是互斥事件．故答案是①. ① 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 9．为维护世界经济秩序，我国在亚洲经济论坛期间积极倡导反对地方贸易保护主义，并承诺包括汽车在内的进口商品将最多在5年内把关税全部降低到世贸组织所要求的水平，其中21%的进口商品恰好5年关税达到要求，18%的进口商品恰好4年关税达到要求，其余进口商品将在3年或3年内达到要求，则包括汽车在内的进口商品不超过4年的时间关税达到要求的概率为______． 解析：设“包括汽车在内的进口商品恰好5年关税达到要求”为事件A，“包括汽车在内的进口商品在不超过4年的时间关税达到要求”为事件B，A，B对立，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.21＝0.79. 0.79 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 10．给出下列命题：①若A，B为两个事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)；②若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；③若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件．其中错误命题的个数是______． 解析：只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，故①错误；只有事件A，B，C两两互斥，且A＋B＋C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故②错误；由对立事件的定义可知，事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且AB＝∅时，A，B才互为对立事件，故③错误． 3 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 12．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下： (1)至多2人排队等候的概率是多少？ (2)至少3人排队等候的概率是多少？ 排队人数 0 1 2 3 4 5人及5人以上 概率 0.1 0.16 0.3 0.3 0.1 0.04 解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F两两互斥． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 (1)记“至多2人排队等候”为事件G， 则G＝A＋B＋C， 所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56. 故至多2人排队等候的概率是0.56. (2)解法一：记“至少3人排队等候”为事件H， 则H＝D＋E＋F， 所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44. 故至少3人排队等候的概率是0.44. 解法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝1－0.56＝0.44. 故至少3人排队等候的概率是0.44. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 56 14．某购物网站开展一种商品的预约购买，规定每个手机号只能预约一次，预约后通过摇号的方式决定能否成功购买到该商品，规则如下：(1)摇号的初始中签率为0.18；(2)当中签率不超过1时，可借助“好友助力”活动增加中签率，每邀请到一位好友参与“好友助力”活动可使中签率增加0.06.为了使中签率超过0.88，则至少需要邀请_____位好友参与到“好友助力”活动． 12 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 15．在数学考试中(满分为100分，且分数均为整数)，小明的成绩不低于90分的概率是0.18，在[80，89]分的概率是0.51，在[70，79]分的概率是0.15，在[60，69]分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算： (1)小明在数学考试中成绩不低于70分的概率； (2)小明数学考试及格(60分及以上)的概率． 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 解：分别记小明的成绩“不低于90分”“在[80，89]分”“在[70，79]分”“在[60，69]分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，这五个事件两两互斥． (1)记“小明的成绩不低于70分”为事件M，则M＝A＋B＋C，所以P(M)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＋0.15＝0.84. (2)解法一：记“小明数学考试及格”为事件N，则N＝A＋B＋C＋D，所以P(N)＝P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93. 解法二：记“小明数学考试及格”为事件N，则其对立事件为事件E，所以P(N)＝1－P(E)＝1－0.07＝0.93. 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 课后课时精练 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 　　　　　　　　　　　　　 R 知识点六　事件的对立 (1)给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的_______事件，记作____，用集合的观点来看，____是A在Ω中的____集，如图所示． (2)如果B＝eq \o(A,\s\up12(－))，则称A与B__________． (3)按照定义可知，每次随机试验，在事件A与eq \o(A,\s\up15(－))中，有一个发生，而且_______________．又由于必然事件的概率为1，因此P(A)＋P(eq \o(A,\s\up15(－)))＝1. eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(A,\s\up12(－)) [拓展]　设A，B，C为三个随机事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件： (1)A，B，C都发生．　ABC. (2)A发生，B与C都不发生．　Aeq \o(B,\s\up12(－)) eq \o(C,\s\up12(－)). (3)A，B，C至少有一个发生．　A＋B＋C. (4)A，B，C都不发生．　eq \o(A,\s\up12(－))eq \o(B,\s\up12(－)) eq \o(C,\s\up12(－)). (5)A，B，C至多有一个发生． eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(B,\s\up12(－)) eq \o(C,\s\up12(－))＋Aeq \o(B,\s\up12(－)) eq \o(C,\s\up12(－))＋eq \o(A,\s\up12(－))Beq \o(C,\s\up12(－))＋eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(B,\s\up12(－))C. (6)A，B，C至多有两个发生． eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(B,\s\up12(－)) eq \o(C,\s\up12(－))＋Aeq \o(B,\s\up12(－)) eq \o(C,\s\up12(－))＋eq \o(A,\s\up12(－))Beq \o(C,\s\up12(－))＋eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(B,\s\up12(－))C＋ABeq \o(C,\s\up12(－))＋Aeq \o(B,\s\up12(－))C＋eq \o(A,\s\up12(－))BC＝eq \o(A,\s\up12(－))＋eq \o(B,\s\up12(－))＋eq \o(C,\s\up12(－)). (7)A，B，C至少有两个发生． ABeq \o(C,\s\up12(－))＋Aeq \o(B,\s\up12(－))C＋eq \o(A,\s\up12(－))BC＋ABC＝AB＋AC＋BC. 【感悟提升】互斥事件、对立事件概率公式的应用 (1)直接用：首先要分清事件间是否互斥，同时要把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，直接应用互斥事件的概率加法公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)得出结果． (2)间接用：当直接计算符合条件的事件个数比较烦琐时，可间接地先计算出其对立事件的个数，求得对立事件的概率，然后利用对立事件的概率公式P(A)＝1－P(eq \o(A,\s\up12(－)))得出结果． 【跟踪训练】 3．玻璃盒里装有红球、黑球、白球、绿球共12个，从中任取1球，设事件A为“取出1个红球”，事件B为“取出1个黑球”，事件C为“取出1个白球”，事件D为“取出1个绿球”．已知P(A)＝eq \f(5,12)，P(B)＝eq \f(1,3)，P(C)＝eq \f(1,6)，P(D)＝eq \f(1,12). (1)求“取出1个球为红球或黑球”的概率； (2)求“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率． 解：(1)因为事件A，B，C，D彼此为互斥事件， 所以“取出1个球为红球或黑球”的概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,3)＝eq \f(3,4). (2)解法一：“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝eq \f(5,12)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,6)＝eq \f(11,12). 解法二：“取出1个球为红球或黑球或白球”的对立事件为“取出1个球为绿球”，即A＋B＋C的对立事件为D， 所以P(A＋B＋C)＝1－P(D)＝1－eq \f(1,12)＝eq \f(11,12)， 即“取出1个球为红球或黑球或白球”的概率为eq \f(11,12). 解析：记“乘火车”为事件A，“乘汽车”为事件B，这两个事件是互斥事件，故所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.3＋0.1＝0.4，所以他乘火车或汽车的概率为0.4.记“乘火车”为事件A，则“不乘火车”为事件eq \o(A,\s\up12(－))，P(A)＋P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝1，又P(A)＝0.3，故P(eq \o(A,\s\up12(－)))＝1－0.3＝0.7，所以他不乘火车的概率为0.7. 解析：事件A0，A1，A2，A3彼此互斥，且eq \o(A,\s\up12(－))0＝A1＋A2＋A3＝A，故事件A表示至少有一次击中． 4．掷一个骰子的试验中，出现各点的概率为eq \f(1,6).事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋eq \o(B,\s\up12(－))(eq \o(B,\s\up12(－))表示事件B的对立事件)发生的概率为(　　) A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(2,3) D.eq \f(5,6) 解析：由题意知，事件eq \o(B,\s\up12(－))表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件eq \o(B,\s\up12(－))互斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋eq \o(B,\s\up12(－)))＝P(A)＋P(eq \o(B,\s\up12(－)))＝eq \f(2,6)＋eq \f(2,6)＝eq \f(4,6)＝eq \f(2,3). 5．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知eq \f(1,P1)，eq \f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋eq \f(1,4)＝0.则下列说法正确的是(　　) A．甲射击一次中靶的概率为eq \f(1,3) B．乙射击一次中靶的概率为eq \f(1,2) C．甲射击一次不中靶的概率为eq \f(3,4) D．乙射击一次不中靶的概率为eq \f(2,3) 解析：由P1满足方程x2－x＋eq \f(1,4)＝0知，Peq \o\al(2,1)－P1＋eq \f(1,4)＝0，解得P1＝eq \f(1,2).因为eq \f(1,P1)，eq \f(1,P2)是方程x2－5x＋6＝0的根，所以eq \f(1,P1)·eq \f(1,P2)＝6，所以P2＝eq \f(1,3)，因此，甲射击一次，中靶的概率为eq \f(1,2)，不中靶的概率为1－eq \f(1,2)＝eq \f(1,2)，乙射击一次，中靶的概率为eq \f(1,3)，不中靶的概率为1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).故选D. 7．甲、乙两人参加某商场举行的抽奖活动，中奖名额不限，设事件A为“甲中奖”，事件B为“乙中奖”，事件C为“甲、乙中至少有一人中奖”，则(　　) A．A与B为互斥事件 B.eq \o(B,\s\up12(－))与C为对立事件 C．AB与eq \o(C,\s\up12(－))为互斥事件 D.eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(B,\s\up12(－))与C为对立事件 解析：因为当A发生时，B也可能发生，所以A与B不为互斥事件，故A错误；当eq \o(B,\s\up12(－))发生时，若甲中奖，则C也可能发生，所以eq \o(B,\s\up12 (－))与C不为对立事件，故B错误；AB与eq \o(C,\s\up12(－))不可能同时发生，所以AB与eq \o(C,\s\up12(－))为互斥事件，故C正确；eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(B,\s\up12(－))与C不可能同时发生，且eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(B,\s\up12(－))＋C为必然事件，所以eq \o(A,\s\up12(－)) eq \o(B,\s\up12(－))与C为对立事件，故D正确．故选CD. 四、解答题 11．掷一个骰子，有下列事件： A＝{出现奇数点}，B＝{出现偶数点}，C＝{出现点数小于3}，D＝{出现点数大于2}，E＝{出现点数是3的倍数}． 求：(1)AB，BC； (2)A＋B，B＋C； (3)eq \o(D,\s\up12(－))，eq \o(A,\s\up12(－))C，eq \o(B,\s\up12(－))＋C，eq \o(D,\s\up12(－))＋eq \o(E,\s\up12(－)). 解：(1)AB＝∅，BC＝{出现2点}． (2)A＋B＝{出现1，2，3，4，5或6点}，B＋C＝{出现1，2，4或6点}． (3)eq \o(D,\s\up12(－))＝{出现点数小于或等于2}＝{出现1或2点}， eq \o(A,\s\up12(－))C＝BC＝{出现2点}， eq \o(B,\s\up12(－))＋C＝A＋C＝{出现1，2，3或5点}， eq \o(D,\s\up12(－))＋eq \o(E,\s\up12(－))＝{出现1，2，4或5点}． 13．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　) A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，2)) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(3,2))) 解析：因为随机事件A，B互斥，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝3a－3，依题意及概率的性质，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<P（A）≤1，,0<P（B）≤1，,0<P（A＋B）≤1，))即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0<2－a≤1，,0<4a－5≤1，,0<3a－3≤1，))解得eq \f(5,4)<a≤eq \f(4,3)，所以实数a的取值范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(5,4)，\f(4,3))).故选C. 解析：根据题意，设至少需要邀请x位好友参与到“好友助力”活动，则有0.18＋0.06x>0.88，解得x>eq \f(35,3)，故至少需要邀请12位好友参与到“好友助力”活动． 16．袋中装有红球、黑球、黄球、绿球共12个．从中任取一球，取到红球的概率是eq \f(1,3)，取到黑球或黄球的概率是eq \f(5,12)，取到黄球或绿球的概率是eq \f(5,12).试求取到黑球、黄球、绿球的概率各是多少． 解：从袋中任取一球，记“取到红球”“取到黑球”“取到黄球”“取到绿球”分别为事件A，B，C，D，则事件A，B，C，D显然是两两互斥的． 由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（A）＝\f(1,3)，,P（B＋C）＝\f(5,12)，,P（C＋D）＝\f(5,12)，,P（A＋B＋C＋D）＝1，)) 即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（B）＋P（C）＝\f(5,12)，,P（C）＋P（D）＝\f(5,12)，,\f(1,3)＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝1，)) 解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(P（B）＝\f(1,4)，,P（C）＝\f(1,6)，,P（D）＝\f(1,4).)) 故取到黑球的概率是eq \f(1,4)，取到黄球的概率是eq \f(1,6)，取到绿球的概率是eq \f(1,4). $