4.1.1 实数指数幂及其运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教B版）

第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.1 指数与指数函数 4.1.1　 实数指数幂及其运算 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.理解n次方根、根式的概念.　　　　 2.能正确运用根式运算性质化简求值. 3.掌握根式与分数指数幂的互化. 4.掌握有理数指数幂的运算性质. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　根式 逐点清(二)　分数指数幂 逐点清(三)　指数幂的运算 4 逐点清(四)　指数幂运算中的条件求值 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　根式 01 多维理解 1.a的n次方根 一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得_____， 则x称为a的n次方根. 2.根式的意义和性质 (1)当有意义的时候，称为_____，__称为根指数，a称为_________. xn=a 根式 n 被开方数 (2)根式的性质： ①()n=__.② = a |微|点|助|解| (1)对于()n=a，若n为奇数，则a∈R；若n为偶数，则a≥0. (2)()n与意义不同，比如=-3， =3，而()4没有意义，故()n≠. (3)当a≥0时，()n=；当a<0且n为奇数时，()n=；当a<0且n为偶数时，对于要注意运算次序. 微点练明 1.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.=3 B.16的4次方根是±2 C.=±3 D.=|x+y| √ √ 解析：负数的3次方根是一个负数，=-3，故A错误；16的4次方根有两个，为±2，故B正确；=3，故C错误；是非负数，所以=|x+y|，故D正确. 2.已知a<b，且ab≠0，化简二次根式的正确结果是(　　) A.-a B.-a C.a D.a √ 解析：∵有意义，∴-a3b>0，∴a3b<0.又∵a<b，∴a<0，b>0，∴=-a. 3.已知a<1，则+=(　　) A.-1 B.1 C.2a-1 D.1-2a √ 解析：因为a<1，所以+=|a-1|+a=1-a+a=1. 4.若1<a<2，则+的化简结果是(　　) A.1 B.-1 C.3-2a D.2a-3 解析：由1<a<2，得2-a>0，所以+=1-a+|2-a|= 1-a+2-a=3-2a. √ 逐点清(二)　分数指数幂 02 多维理解 相关概念 正分数 指数幂 当a>0时，规定==()m= 负分数 指数幂 当a>0时，规定=(n，m∈N+) 0的分数 指数幂 0的正分数指数幂等于___，0的负分数指数幂___________ |微|点|助|解| (1)分数指数幂不可理解为个a相乘，它是根式的一种写法. (2)正数的负分数指数幂总表示正数，而不是负数. 微点练明 1.化简的结果是(　　) A. B. C. D.x6 解析：利用分数指数幂与根式的互化可得=. √ 2.若有意义，则x的取值范围是(　　) A.(-∞，+∞) B.∪ C. D. √ 解析：因为=，所以1-2x>0，解得x<. 3.(多选)下列根式与分数指数幂的互化正确的是 (　　) A.-= B.=(y>0) C.=(x>0) D.=(x<0) √ √ 解析：-=-，A错误；==(y>0)，B正确；==(x>0)，C正确； ==(x<0)，D错误.故选BC. 4.把根式化为分数指数幂，把分数指数幂化为根式(式中字母均为正实数). (1)； 解：=. (2)； 解：=2. (3)(a+b； 解：(a+b=. (4). 解：=(x3+y. 逐点清(三)　指数幂的运算 03 1.有理数指数幂的运算法则 (1)asat=____ (s，t∈Q)； (2)(as)t=____ (s，t∈Q)； (3)(ab)s=_____ (s∈Q). as+t ast asbs 2.实数指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的______.有理数指数幂的运算法则对于无理数指数幂同样适用.因此当a>0，t为任意实数时，实数指数幂at都有意义.对任意实数s和t，类似前述有理数指数幂的运算法则仍然成立. 实数 [例1]　计算与化简： (1)-++-3-1； 解：原式=(0.33+(44+-=-+43+2-=. (2)(a-2b-3)·(-4a-1b)÷(12a-4b-2c)； 解：原式=-4a-2-1b-3+1÷(12a-4b-2c) =-a-3-(-4)b-2-(-2)c-1=-ac-1=-. (3)2÷4 ×3； 解：原式=2÷(·)·(3) =·3=. (4)·(a>0，b>0). 解：原式=····=a0b0=. |思|维|建|模| 1.利用指数幂的运算法则化简求值的方法 (1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序. (2)在明确根指数的奇偶数(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算. (3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示. 2.化简指数幂常用技巧 (1)=(ab≠0). (2)a==(式子有意义). (3)1的代换，如1=a-1a，1=等. 针对训练 1.化简(a，b为正数)的结果是(　　) A. B.ab C. D.a2b √ 解析：原式==·=，故选C. 2.计算与化简： (1)+-10( -2)-1+(-)0； 解：原式=·+-+1=+-10(+2)+1 =+10-10-20+1=-. (2)(z-1)·(x>0，y>0，z>0). 解：原式=(z-1)·(z-1) =z-1=xz-2. 逐点清(四)　 指数幂运算中的条件求值 04 [例2]　已知+=3，求下列各式的值： (1)a+a-1； 解：将+=3两边平方， 得a+a-1+2=9，即a+a-1=7. (2)a2+a-2； 解：将a+a-1=7两边平方，可得a2+a-2+2=49，∴a2+a-2=47. (3). 解：∵+=()3+()3=(+)(a-·+a-1)=3(a+a-1-1)= 3(7-1)=18，而a2+a-2=47，∴原式===3. |思|维|建|模| (1)对于条件求值问题，一般先化简代数式，再将字母取值代入求值.但有时字母的取值不知道或不易求出，这时可将所求代数式进行适当变形，构造出能用已知条件表示的结构，从而通过“整体代入法”巧妙地求出代数式的值. (2)利用“整体代入法”求值常用的变形公式(其中a>0，b>0)： ①a±2+b=(±)2； ②(+)(-)=a-b； ③+=(+)(a-+b)； ④-=(-)(a++b). 针对训练 3.已知a2x=+1，则=(　　) A.2-1 B.2-2 C.2+1 D.+1 解析：令ax=t，则t2=+1，所以=== t2+t-2-1=+1+-1=+1+-1-1=2-1. √ 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.化简+的结果是(　　) A.0 B.2(b-a) C.0或2(b-a) D.2(a-b) √ 15 解析：+=+(b-a). 当a≥b时，原式=a-b+(b-a)=0； 当a<b时，原式=b-a+(b-a)=2(b-a). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.=-3 B.49的四次方根为7 C.当n为大于1的偶数时， 只有当a≥0时才有意义 D.当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义 √ 15 √ √ 解析：对于A，=-3，故A正确；对于B，49的四次方根为，B错误；根据指数幂的运算法则可知C、D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.化成分数指数幂为(　　) A. B. C. D. √ 15 解析：原式===(=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.化简(-3)÷的结果为(　　) A.-9 B.- C.-9 D.-9 √ 15 解析：÷=-9·= -9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)下列计算正确的是 (　　) A.×12= B.(=16 C.(×=12 D.2π×+×+=3 √ 15 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由×12=×(53=×=5-2=，知A正确；由(==42=16，知B正确； 由(×=(×=×=3-1×22=，知C错误；由2π×+×+=1+×+1=2+，知D错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若3m=5，3n=6，则下列式子值为的是(　　) A. B.325m-6n C.33m-2n D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为3m=5，3n=6，所以125=53=(3m)3=33m，36=62=(3n)2=32n， 所以==33m-2n. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.这三个数的大小关系为　(　　) A.<< B.<< C.<< D.<< 15 解析：=======.因为<<，所以<<. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.若0<a<1，b>0，且ab+a-b=2，则ab-a-b等于(　　) A. B.2或-2 C.-2 D.2 √ 15 解析：由ab+a-b=2，得(ab+a-b)2=a2b+a-2b+2=8.因此a2b+a-2b=6，所以(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4.由题意得0<ab<1，a-b>1，故ab-a-b<0，所以ab-a-b=-2.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.若5m=2，5n=3，则的值为(　　) A. B. C. D. √ 15 解析：因为5m=2，5n=3，则===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(多选)已知10a=2，102b=5，则下列结论正确的是 (　　) A.a+2b=1 B.ab< C.10a+b>4 D.a>b √ 15 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 15 解析：因为10a·102b=10a+2b=10，所以a+2b=1，故A正确；易知a>0，b>0，由基本不等式得a+2b≥2，所以ab≤，当且仅当a=2b=时取等号，又因为10a≠102b，即a≠2b，所以等号不成立，所以ab<，故B正确；10a+b=10a·10b=2×=2>4，故C正确；由(10a)2=102a= 4<5=102b，得a<b，故D错误.故选ABC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)将用有理数指数幂的形式表示为________.  15 解析：==2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知2x=8y+1，9y=3x-9，则x+y=______.  15 解析：由2x=8y+1，得2x=23y+3，所以x=3y+3. ① 由9y=3x-9，得32y=3x-9， 所以2y=x-9. ② 联立①②，解得x=21，y=6，所以x+y=27. 27 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(5分)若m>0，n>0，且2m·4n=2，则+的最小值等于____.  15 解析：由2m·4n=2可得2m·22n=2m+2n=21，因此m+2n=1.又m>0，n>0，所以+=·(m+2n)=2+++2≥4+2=8，当且仅当=，即m=，n=时等号成立.所以+的最小值等于8. 8 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)计算： (1)+(0.1)-2+-100π0；(3分) 15 解：原式=+102+-100=+100+-100=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)已知x+y=11，xy=9，求的值；(3分) 15 解：∵x+y=11，xy=9， ∴+==， x2+y2=(x+y)2-2xy=103， ∴原式=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)方程81×32x=的解.(4分) 15 解：∵81×32x=，∴32x+4=3-2(x+2)， ∴2x+4=-2(x+2)，解得x=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)对于正整数a，b，c(a≤b≤c)和非零实数x，y，z，ω，有ax=by=cz=70ω，=++，求a，b，c的值. 解：∵ax=70ω，且x，ω为非零实数，∴=7. 同理可得==. ∴··=7··7， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 即=7. 又++=，a，b，c为正整数， ∴abc=70=2×5×7. ∵a≤b≤c，∴a=2，b=5，c=7. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $