阶段质量评价 第六章 计数原理 A卷——基本知能盘查-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

阶段质量评价 第六章　计数原理 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.现有甲部门的员工2人，乙部门的员工4人，丙部门的员工3人，从这三个部门的员工中任选1人参加接待客户的活动，不同的选法种数为 （　　） A.9 B.24 C.16 D.36 √ A卷——基本知能盘查 （时间：120分钟　满分：150分） 解析：由题意结合分类加法计数原理，可得共有++=9种不同的选法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 2.已知-+2!=5，则m等于（　　） A.0 B.2或3 C.1或3 D.3 √ 解析：由-+2!=5，得=5+-2!=5+3-2=6， 而m∈N*，m≤3，有=3，=6，=6，所以m=2或m=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 3.在的展开式中，常数项为（　　） A.10 B.20 C.40 D.80 解析：选C　二项式展开式的通项为Tr+1==2rx10-5r，令10-5r=0，得r=2， 所以T3=22·=40，即二项式展开式的常数项为40. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 4.已知的展开式中第3项与第4项的系数之比为，则其展开式中二项式系数最大的项为（　　） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析：二项式展开式的系数即为其二项式系数，所以第3项的系数为，第4项的系数为，所以=，即=，解得n=8，所以展开式一共有9项，其第5项的二项式系数最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 5.A，B，C，D，E五名学生按任意次序站成一排，其中A和B不相邻，则不同的排法种数为 （　　） A.72 B.36 C.18 D.64 解析：先将其余三人全排列，共有种情况，再将A和B插空，共有种情况，所以共有=12×6=72种情况. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 6.某校组织一次认识大自然的活动，有5名同学参加，其中有3名男生、2名女生，现要从这5名同学中随机抽取3名同学去采集自然标本，抽取的同学中既有男生又有女生的方法共有 （　　） A.10种 B.12种 C.6种 D.9种 解析：抽到1男2女的方法有=3种，抽到2男1女的方法有=6种，共9种方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 7.学校环保节活动期间，某班有甲、乙、丙、丁四名学生参加了志愿者工作.将这四名学生分配到A，B，C三个不同的环保岗位，每个岗位至少分配一名学生，若甲要求不分配到B岗位，则不同的分配方案的种数为 （　　） A.30 B.24 C.20 D.18 解析：由题意可得有两种情况：①有一个人与甲在同一个岗位， 则有=12种分配方案；②没有人与甲在同一个岗位， 则有=12种分配方案，所以由分类加法计数原理可知共有12+12=24种不同的分配方案，故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 8.展开式中含x2项的系数为（　　） A.-120 B.-115 C.5 D.125 解析：法一　是5个之积，展开后得到x2有两种可能：1个取x2，4个取-1，得到含有x2的项为x2（-1）4 =5x2.2个取x2，2个取-，1个取-1，得到含有x2的项为（x2）2 （-1）1=-120x2.因此含x2项的系数为-120+5=-115. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 法二　=， 二项展开得（-1）5-k（k=0，1，2，3，4，5）. （-1）5-k二项展开得（-1）5-k+r2rx2k-3r（0≤r≤k）. 由2k-3r=2得3r=2（k-1），或 因此含x2项的系数为（-1）4×20+（-1）3×22=-115. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（　　） A.n=6 B.展开式中所有奇数项的二项式系数和为32 C.展开式中的常数项为540 D.展开式中二项式系数最大的项是第4项 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：令x=1，得2n=64，得n=6，故A正确；展开式中所有奇数项的二项式系数和为25=32，故B正确；由上得二项式为， 常数项为（3x）3·=-540，故C错误；最大的二项式系数为 ，即第4项的二项式系数最大，故D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.已知（1-2x）5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则下列说法正确的是 （　　） A.a0=1 B.a3=-80 C.a1+a2+a3+a4+a5=-1 D.a0+a2+a4=121 √ √ √ 解析：取x=0，则a0=1，故A正确；（1-2x）5的展开式通项为 15-r（-2x）r，即（-2）rxr，其中0≤r≤5，r∈N， 所以a3=（-2）3=-80，故B正确；取x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1，则a1+a2+a3+a4+a5=-1-a0=-2，故C错误；取x=-1，则a0-a1+a2-a3+ a4-a5=35=243，将其与a0+a1+a2+a3+a4+a5=-1作和得2（a0+a2+a4）=242，所以a0+a2+a4=121，故D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.若一个三位数中十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都大，则称这个数为“凸数”，如231，354等都是“凸数”，用1，2，3，4，5这五个数字组成无重复数字的三位数，则 （　　） A.组成的三位数的个数为30 B.在组成的三位数中，奇数的个数为36 C.在组成的三位数中，“凸数”的个数为24 D.在组成的三位数中，“凸数”的个数为20 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：5个数组成无重复数字的三位数的个数为=60，故A错误；奇数为个位数是1，3，5的三位数，个数为3=36，故B正确；“凸数”分为3类，①十位数为5，则有=12个；②十位数为4，则有=6个；③十位数为3，则有=2个，所以共有20个，故C错误，D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.（5分）+=________.  31 解析：由题意，得 解得≤n≤，又n∈N*，所以n=6， 所以+=+=+=31. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.（5分）（2025·天津高考）在（x-1）6的展开式中，x3项的系数为________.  -20 解析：（x-1）6展开式的通项为Tr+1=x6-r·（-1）r， 当r=3时，T4=x3·（-1）3=-20x3， 即（x-1）6的展开式中x3项的系数为-20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.（5分）临近春节，某校书法爱好小组书写了若干副春联，准备赠送给四户孤寡老人.春联分为长联和短联两种，无论是长联或短联，内容均不相同.经过调查，四户老人各户需要1副长联，其中乙户老人需要1副短联，其余三户各要2副短联.书法爱好小组按要求选出11副春联，则不同的赠送方法种数为________.  15 120 解析：4副长联内容不同，赠送方法有=24种；从剩余的7副短联中选出1副赠送给乙户老人，有=7种方法；再将剩余的6副短联平均分为3组，最后将这3组赠送给三户老人，方法种数为·=90. 所以所求方法种数为24×7×90=15 120. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.（13分）在二项式的展开式中，二项式系数最大的项只有一项，且是第4项. （1）求n的值；（2分） 解：由题意知+1=4，所以n=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）求展开式中所有有理项的系数之和；（6分） 解：二项式的展开式的通项为Tk+1= =.当k=0，2，4，6时，x的次数为整数，对应的项为有理项.于是展开式中有理项共有四项，分别为第1项、第3项、第5项、第7项.所以展开式中所有有理项的系数之和为 +++=1+15+15+1=32. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （3）把展开式中的项重新排列，求有理项互不相邻的排法种数.（5分） 解：展开式共有7项，其中4项为有理项，3项为无理项.将无理项排列，有种排法，将有理项插空排列，有种排法，故有理项互不相邻的排法共有=144（种）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.（15分）已知=56，且（1-2x）n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn. （1）求n的值；（7分） 解：由=56，得n（n-1）（n-2）（n-3）（n-4） =56×， 即（n-5）（n-6）=90， 解得n=15或n=-4（舍去）.所以n=15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）求a1+a2+a3+…+an的值.（8分） 解：由（1）得（1-2x）15=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a15x15. 令x=1，得a0+a1+a2+…+a15=-1. 令x=0，得a0=1. 所以a1+a2+a3+…+a15=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.（15分）从4名男生和3名女生中各选2人. （1）共有多少种不同的选法?（5分） 解：根据题意，从4名男生和3名女生中各选2人，男生有种选法，女生有种选法，故选法共有=18种. （2）如果男生甲与女生乙至少要有1人被选中，那么有多少种不同选法?（5分） 解：根据题意，分3种情况讨论：男生甲被选中，女生乙没有被选中，有=3种.男生甲没有被选中，女生乙被选中，有=6种， 男生甲和女生乙都被选中，有=6种，则共有3+6+6=15种选法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （3）选出的4人参加百米接力赛，男生甲和女生乙同时被选中参赛，且甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒，有多少种不同的安排方法?（用数字作答）（5分） 解：男生甲和女生乙同时被选中的选法有=6种，4人参加百米接力赛的总安排方法有=24种，甲跑第一棒的安排方法有=6种， 乙跑最后一棒的安排方法有=6种，甲跑第一棒且乙跑最后一棒的安排方法有=2种，故甲不能跑第一棒，乙不能跑最后一棒的安排方法有6×（24-6-6+2）=84种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.（17分）甲、乙、丙、丁四名同学报名参加A，B，C三个智力竞赛项目，每个人都要报名且只能参加一个项目. （1）共有多少种不同的报名方法?（2分） 解：每个同学都有3种选择，则甲、乙、丙、丁四名同学的报名方法种数为34=81. （2）甲必须报A项目，乙必须报B项目，那么有多少种不同的报名方法? （3分） 解：甲必须报A项目，乙必须报B项目，则丙、丁各有3种选择，所以不同的报名方法种数为32=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （3）甲、乙报同一项目，丙不报A项目，那么有多少种不同的报名方法?（3分） 解：甲、乙报同一项目，则甲、乙报名的方法种数为3.丙不报A项目，则丙有2种选择.而丁有3种选择，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为3×2×3=18. （4）每个项目都有人报名，那么有多少种不同的报名方法?（3分） 解：将甲、乙、丙、丁四名同学分为三组，每组人数分别为2，1，1， 然后再将这三组同学分配给A，B，C三个智力竞赛项目， 所以不同的报名方法种数为=6×6=36. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （5）甲不报A项目，且B，C项目报名的人数相同，那么有多少种不同的报名方法?（6分） 解：分两种情况讨论： ①A项目没人报，且B，C项目的报名人数均为2，此时不同的报名方法种数为=6； ②A项目有人报，且甲不报A项目，B，C项目报名的人数相同，则B，C项目报名的人数均为1，则甲报B项目或C项目，则报名A项目的有2人，剩余1个项目只有一人报名，由分步乘法计数原理可知，不同的报名方法种数为2×=6.综上所述，不同的报名方法种数为6+6=12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.（17分）在二项式的展开式中，第3项和第4项的系数比为. （1）求n的值及展开式中的常数项是第几项；（9分） 解：二项式展开式的通项为Tr+1=xn-r=. 因为第3项和第4项的系数比为，所以=，化简得6=，解得n=20.所以Tr+1=.令20-r=0，得r=16，所以常数项为第17项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）展开式中系数最大的项是第几项?（8分） 解：设展开式中系数最大的项是第（r+1）项， 则⇒ 解得6≤r≤7.因为r∈N，所以r=6或r=7，所以展开式中系数最大的项是第7项和第8项. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $