8.2 第2课时 一元线性回归模型的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型，涵盖经验回归方程求解、线性回归分析及非线性回归转化，通过机器转速与缺陷零件数等实例导入，以“思维建模”总结步骤作为学习支架，衔接线性到非线性的知识脉络。 其亮点在于结合昼夜温差与发芽数、扫码支付人次等现实案例，通过残差分析、R²计算培养数学思维，用散点图和回归方程等数学语言表达，采用习题讲评式教学。学生能提升解决实际问题能力，教师可借助系统题型与训练资源高效教学，助力核心素养培养。

一元线性回归模型的综合问题 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步学习一元线性回归分析，能用拟合效果分析非线性回归问题，掌握非线性回归模型的求解过程. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　经验回归方程 题型（二）　线性回归分析 题型（三）　非线性回归分析 4 课时跟踪检测 题型（一）　经验回归方程 01 [例1]　一台还可以用的机器由于使用的时间较长，按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的数量随机器转速的变化而变化，下表为抽样试验结果： 转速x/（转/秒） 16 14 12 8 每小时生产有缺陷 零件的数量y/个 11 9 8 5 （1）画出散点图； 解：画出散点图，如图所示. （2）如果变量x和y线性相关，求y关于x的经验回归方程=x+； （3）若实际生产中，允许每小时生产的产品中有缺陷的零件最多有10个，机器的转速应控制在什么范围内? 解：由题意得0.728 6x-0.857 5≤10，即x≤≈14.9. 故机器的转速应不超过14.9转/秒. 针对训练 1.某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，2024年12月1日至12月5日的昼夜温差与实验室每天每100颗种子中的发芽数如下表所示： 日期 12月 1日 12月 2日 12月 3日 12月 4日 12月 5日 温差x/℃ 10 11 13 12 8 发芽数y 23 25 30 26 16 该农科所确定的研究方案如下：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求经验回归方程，再用被选取的2组数据进行检验. （1）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据求y关于x的经验回归方程=x+； （2）若由经验回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差的绝对值不超过2，则认为得到的经验回归方程是可靠的，问（1）中所得到的经验回归方程是否可靠? 解：当x=10时，=×10-3=22，|22-23|<2，当x=8时，=×8-3=17，|17-16|<2，所以（1）中所得到的经验回归方程是可靠的. （3）请预测温差为14 ℃时的发芽率. 解：当x=14时，=×14-3=32， 所以预测温差为14 ℃时的发芽率为32%. 题型（二）　线性回归分析 02 [例2]　为研究物体质量x（单位：g）对弹簧长度y（单位：cm）的影响，对不同质量的6个物体进行测量，数据如表所示： x 5 10 15 20 25 30 y 7.25 8.12 8.95 9.90 10.9 11.8 （1）作出散点图，并求经验回归方程； 解：散点图如图所示， （2）求出R2； 解：列表如下： yi- 0.05 0.005 -0.08 -0.045 0.04 0.025 yi- -2.24 -1.37 -0.54 0.41 1.41 2.31 （3）进行残差分析. 解：由残差表中的数值可以看出第3个样本点的残差比较大，需要确认在采集这个数据的时候是否有人为的错误，如果有的话，需要纠正数据，重新建立回归模型；由表中数据可以看出残差点比较均匀地落在不超过0.15的狭窄的水平带状区域中，说明选用的回归模型的精度较高，由以上分析可知，弹簧长度与物体质量呈线性关系. 　　|思|维|建|模| 对回归模型进行回归分析的方法 （1）残差平方和越小，模型的拟合效果越好. （2）决定系数R2越大，说明模型的拟合效果越好. 需要注意的是：若题中给出了检验回归方程是否理想的条件，则根据题意进行分析检验即可. 针对训练 2.关于x与y有以下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 已知x与y线性相关，由最小二乘法得=6.5， （1）求y与x的经验回归方程； 解：依题意设y与x的经验回归方程为=6.5x+. ==5，==50， ∵=6.5x+经过（，），∴50=6.5×5+，∴=17.5， ∴y与x的经验回归方程为=6.5x+17.5. （2）现有第二个线性模型：=7x+17，且R2=0.82. 若与（1）的线性模型比较，哪一个线性模型拟合效果比较好，请说明理由. 解：由（1）的线性模型得yi-与yi-的关系如表： yi- -0.5 -3.5 10 -6.5 0.5 yi- -20 -10 10 0 20 题型（三）　非线性回归分析 03 [例3]　某地今年上半年患某种传染病的人数y（人）与月份x（月）之间满足函数关系，模型为y=aebx，确定这个函数解析式. 月份x/月 1 2 3 4 5 6 人数y/人 52 61 68 74 78 83 解：设u=ln y，c=ln a，得=+x， 则u与x的数据关系如下表： x 1 2 3 4 5 6 u=ln y 3.951 2 4.110 9 4.219 5 4.304 1 4.356 7 4.418 8 =-=4.226 9-0.090 2×3.5=3.911 2， 所以=3.911 2+0.090 2x.所以y=e3.911 2·e0.090 2x. 　　|思|维|建|模|　解决非线性回归问题的步骤 针对训练 3.某公交公司推出扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y（单位：十）表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表所示： x 1 2 3 4 5 6 7 y 6 11 21 34 66 101 196 根据以上数据，绘制了如下散点图. （1）根据散点图判断，在推广期内，y=a+bx与y=c·dx（c，d均为大于零的常数）哪一个更适合作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出的天数x的回归方程类型（给出判断结果即可，不必说明理由）； 解：根据题中散点图可知，y=c·dx更适合作为每天使用扫码支付的人次y关于活动推出的天数x的回归方程类型. （2）根据（1）中的判断结果及表中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天时使用扫码支付的人次. 参考数据： 参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其经验回归方程=u+中， 解：对y=c·dx两边同时取常用对数， 得lg y=lg（c·dx）=lg c+xlg d. 设lg y=v，则v=lg c+xlg d， ∴=0.54+0.25x，∴lg =0.54+0.25x，∴y关于x的回归方程为=100.54+0.25x=3.47×100.25x.把x=8代入上式，得=3.47×102=347， ∴预测活动推出第8天时使用扫码支付的人次为3 470. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 2 √ 1 5 6 7 8 2 3 4 2.据统计，某产品的市场销售量y（万台）与广告费用投入x（万元）之间的对应数据的散点图如图所示，由图可知y与x之间有较强的线性相关关系，其经验回归方程是=0.3x+，则的值是（　　） A.2.5 B.3 C.3.5 D.4 √ 1 5 6 7 8 2 3 4 解析：由题可知==5，==4，将，代入经验回归方程可得4=0.3×5+⇒=2.5. 1 5 6 7 8 3 4 2 3.[多选]对于变量x和变量y，数据（-1，-1），（1，1），（x1，y1），（x2，y2），…，（x18，y18）的样本点的中心为（4.5，9），其经验回归方程为=x，若去除前两个已知样本点后得到的新的经验回归方程为=x+，则对于新的样本数据，下列说法正确的是（　　） A.新的样本点的中心为（5，10） B.x与y具有正相关的关系 C.新的经验回归方程=x+与经验回归方程=x是相同的 D.随着变量x的增加，变量y的增加速度增大 √ √ 1 5 6 7 8 3 4 2 解析：对于A，由题意得-1+1+x1+x2+…+x18=4.5×20， -1+1+y1+y2+…+y18=9×20， 所以x1+x2+…+x18=90，y1+y2+…+y18=180， 所以=5，=10， 所以新的样本点的中心为（5，10），故A正确. 对于B，易知=x过点（4.5，9），所以9=4.5×，解得=2， 所以x与y具有正相关的关系，故B正确. 1 5 6 7 8 3 4 2 对于C，根据最小二乘估计可得 1 5 6 7 8 3 4 2 所以新的经验回归方程=x+与经验回归方程=x不相同， 故C错误. 对于D，因为经验回归方程为直线方程， 所以随着变量x的增加，变量y的增加速度不变，故D错误.故选AB. 1 5 6 7 8 3 4 2 4.（5分）2025年9月1日至23日（日期代码分别为1，2，…，23），某餐馆在区域M内投放广告单数量y（万张）与日期代码x满足经验回归方程=，则=_______（精确到小数点后两位）.   参考数据：y1y2y3…y23=e89.7，=12. 0.29 解析：对=的两边取自然对数，得ln =x+0.38， 所以ln y与x具有线性相关关系.因为ln（y1y2y3…y23）=ln e89.7=89.7，所以=3.9，所以3.9=12+0.38，所以≈0.29. 1 5 6 7 8 3 4 2 5.（5分）某学校为了解学生中男生的体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）是否存在线性相关关系，搜集了7位男生的数据，得到如下表格： 序号 1 2 3 4 5 6 7 身高x/cm 166 173 174 178 180 183 185 体重y/kg 57 62 59 71 67 75 78 根据表中数据计算得到y关于x的经验回归方程为=x-136.55. （1）=_________；   1.15 1 5 6 7 8 3 4 2 解析：由题表中数据可得， ==177， ==67， 所以67=×177-136.55，解得=1.15. 1 5 6 7 8 3 4 2 良好 1 5 6 7 8 3 4 2 1 5 6 7 8 3 4 2 6.（10分）高考复习经过二轮“见多识广”之后，为了研究考前“限时抢分”强化训练次数x与答题正确率y（%）的关系，对某校高三某班学生进行了关注统计，得到如下表所示数据： x 1 2 3 4 y 20 30 50 60 （1）求y关于x的经验回归方程，并预测答题正确率是100%的强化训练次数（保留整数）；（5分） 1 5 6 7 8 3 4 2 所以=-=40-14×2.5=5， 所以所求经验回归方程是=14x+5.令100=14x+5， 解得x≈7.所以预测答题正确率是100%的强化训练次数为7. 1 5 6 7 8 3 4 2 （2）现用（i=1，2，3，4）表示统计数据的“强化均值”（保留整数），若“强化均值”的标准差在区间[0，2）内，则强化训练有效，请问这个班的强化训练是否有效?（5分） 1 5 6 7 8 3 4 2 解：经计算知，这四组数据的“强化均值”分别为5，6，8，9， 其平均数是7，所以“强化均值”的标准差是s==<2， 所以这个班的强化训练有效. 1 5 6 7 8 3 4 2 7.（10分）某乡政府为提高当地农民的收入，指导农民种植药材，并取得了较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 年份代码x 1 2 3 4 5 平均收入 y/千元 59 61 64 68 73 （1）根据表中数据，现有y=a+bx与y=c+dx2两种模型可以拟合y与x之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）（5分） 1 5 6 7 8 3 4 2 =-=65-3.5×3=54.5. 设t=x2，则y=c+dx2=c+dt， 1 5 6 7 8 3 4 2 易得=×（12+22+32+42+52）=11， 所以=-≈65-0.6×11=58.4. 所以两种模型的回归方程分别为=3.5x+54.5，=0.6x2+58.4. 1 5 6 7 8 3 4 2 解：对于=3.5x+54.5， 其残差平方和为（59-58）2+（61-61.5）2+（64-65）2 +（68-68.5）2+（73-72）2=3.5. 1 5 6 7 8 3 4 2 对于=0.6x2+58.4，其残差平方和为（59-59）2+（61-60.8）2+ （64-63.8）2+（68-68）2+（73-73.4）2=0.24. 因为0.24<3.5，所以模型=0.6x2+58.4的拟合效果更好. 当x=7时，=0.6×72+58.4=87.8，故预测2025年该农户种植药材的平均收入为87.8千元，即8.78万元. 1 5 6 7 8 3 4 2 8.（10分）大气污染物PM2.5（大气中直径小于或等于2.5 μm的颗粒物）的浓度超过一定的限度会影响人的身体健康.为了研究PM2.5的浓度受车流量影响的程度，某校数学建模社团选择了学校附近5个监测点，统计每个监测点24 h内的车流量x（单位：千辆），同时在低空相同的高度测定每个监测点该时间段内的PM2.5的平均浓度y（单位：μg/m3），得到的数据如表所示： 监测点编号 1 2 3 4 5 车流量x/千辆 1.3 1.2 1.6 1.0 0.9 PM2.5的平均浓度y/（μg/m3） 66 72 113 34 35 1 5 6 7 8 3 4 2 （1）建立y关于x的一元线性回归模型，并用样本相关系数加以说明（一般地，样本相关系数的绝对值在0.75以上（含0.75）认为线性相关性较强，否则认为线性相关性较弱）；（8分） 解：由题表得==1.2，==64， 1 5 6 7 8 3 4 2 所以=115x-74. 因为|0.97|>0.75，所以y与x的线性相关性较强. 1 5 6 7 8 3 4 2 （2）我国规定空气中PM2.5的浓度安全标准为24 h平均浓度为75 μg/m3，该地为使PM2.5 24 h平均浓度不超过68.6 μg/m3，拟对车流量作适当控制，请你根据本题数据估计车流量控制的最大值.（2分） 解：令115x-74≤68.6，得x≤1.24， 故估计车流量控制的最大值为1.24千辆. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 解：由题表中数据易得=12.5，=8.25，xiyi=438，=660， =-=8.25-0.728 6×12.5=-0.857 5. 故经验回归方程为=0.728 6x-0.857 5. 　　|思|维|建|模| 求经验回归方程的步骤 （1）计算平均数，. （2）计算xi与yi的积，求xiyi. （3）计算. （5）用=-，求. （6）写出经验回归方程. 解：利用12月2日至12月4日的数据， 求得=×（11+13+12）=12，=×（25+30+26）=27， （xi-）（yi-）=（-1）×（-2）+1×3+0×（-1）=5， （xi-）2=（-1）2+12+02=2， =-=27-×12=-3. 所以y关于x的经验回归方程为=x-3. 因为=×（5+10+15+20+25+30）=17.5， =×（7.25+8.12+8.95+9.90+10.9+11.8）≈9.487， =2 275，xiyi=1 076.2. 计算得≈0.183，≈6.285， 所以所求经验回归方程为=6.285+0.183x. 所以（yi-）2≈0.013 18， （yi-）2=14.678 4.所以R2=1-≈0.999 1. ∴（yi-）2=（-0.5）2+（-3.5）2+102+（-6.5）2+0.52=155， （yi-）2=（-20）2+（-10）2+102+02+202=1 000. 由于=0.845，R2=0.82知>R2， ∴（1）的一元线性回归模型拟合效果比较好. 由上表，得xi=21， ui=25.361 2，=91， xiui=90.344 2，=3.5，≈4.226 9， xivi 100.54 62.14 1.54 50.12 3.47 其中vi=lg yi，=vi. 由题表知=4，=140， 1.已知变量x，y之间具有线性相关关系，其经验回归方程为=-3+x，若xi=20， yi=30，则的值为 （　　） A.1 B.3 C.-3 D.-1 解析：因为xi=20，所以==2，因为yi=30，所以==3.又因为样本点中心（，）在回归直线=-3+x上，所以=-3+，即3=-3+2，解得=3，故选B. 化简得xiyi=2+2， 解析：由（1）知=67，故（yi-）2=（-10）2+（-5）2+ （-8）2+42+02+82+112=390，则有R2=1-≈0.87， 因为0.8<0.87<0.9， 所以该经验回归方程对应模型的拟合效果良好. 解：由所给数据计算得=2.5，=40， xiyi-4　=70，-4=5， 解：由题表得=×（1+2+3+4+5）=3，=×（59+61+64+68+73）=65， 所以（xi-）（yi-）=35，（xi-）2=10， （2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个模型哪一个的拟合效果更好，并据此预测2025年该农户种植药材的平均收入.（5分） 参考数据：（ti-）（yi-）=217，（ti-）2=374，其中ti=. xiyi=1.3×66+1.2×72+1.6×113+1.0×34+0.9×35=418.5， =1.32+1.22+1.62+1.02+0.92=7.5， =662+722+1132+342+352=24 690， $