8.2 第1课时 一元线性回归模型及其应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦一元线性回归模型及其应用，通过“逐点清”结构从模型概念入手，结合财政收入与支出等实例导入，逐步展开最小二乘估计、残差分析，构建从概念理解到实际应用的学习支架。 亮点在于以“多维理解+微点练明”结合实例（如用电量与气温），培养学生用数学眼光抽象现实问题，通过推导公式和残差计算发展数学思维，用残差图、R²提升数学语言表达能力。学生能系统掌握知识，教师可高效开展概念教学与应用训练。

一元线性回归模型及其应用 8.2 一元线性回归模型及其应用 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.了解最小二乘原理，掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，建立一元线性回归模型进行预测. 2.了解随机误差、残差、残差图的概念. 3.会通过残差分析一元线性回归模型的拟合效果. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清（一）　一元线性回归模型 逐点清（二）　最小二乘法和经验 回归方程 逐点清（三）　线性回归分析 4 课时跟踪检测 逐点清（一）一元线性回归模型 01 　　我们称为Y关于x的______________模型.其中，Y称为_________或__________，x称为________或__________；a和b为模型的未知参数，a称为_______参数，b称为______参数；e是Y与bx+a之间的__________. 多维理解 一元线性回归 因变量 响应变量 自变量 解释变量 截距 斜率 随机误差 1.[多选]在线性回归模型Y=bx+a+e中，下列说法不正确的是 （　　） A.Y=bx+a+e是一次函数 B.响应变量Y是由解释变量x唯一确定的 C.响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生 D.随机误差e是由于计算不准确造成的，可通过精确计算避免随机误差e的产生 √ 微点练明 √ √ 解析：对于A，线性回归模型Y=bx+a+e中，方程表示的不是确定性关系，因此不是一次函数，所以A错误； 对于B，响应变量Y不是由解释变量x唯一确定的，所以B错误； 对于C，响应变量Y除了受解释变量x的影响外，可能还受到其他因素的影响，这些因素会导致随机误差e的产生，所以C正确； 对于D，随机误差是不能避免的，只能将误差缩小，所以D错误. 2.某地的财政收入x与支出y满足线性回归方程=bx+a+e（单位：亿元），其中b=0.8，a=2，|e|≤0.5，如果今年该地区财政收入10亿元，则今年支出预计不会超过_________亿.  10.5 解析：由题设，=0.8x+2+e，∴当x=10时，=10+e，又|e|≤0.5， 即-0.5≤e≤0.5，∴9.5≤≤10.5，故今年支出预计不会超过10.5亿. 3.判断下列变量间哪些能用函数模型刻画，哪些能用回归模型刻画? （1）某公司的销售收入和广告支出； （2）某城市写字楼的出租率和每平方米月租金； （3）航空公司的顾客投诉次数和航班正点率； （4）某地区的人均消费水平和人均国内生产总值（GDP）； （5）学生期末考试成绩和考前用于复习的时间； （6）一辆汽车在某段路程中的行驶速度和行驶时间； （7）正方形的面积与周长. 解：（1）（2）（3）（4）（5）属于回归模型，（6）（7）属于函数模型. 逐点清（二）　最小二乘法和 经验回归方程 02 我们将=x+称为Y关于x的______________，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为______________.这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计， 多维理解 经验回归方程 经验回归直线 |微|点|助|解| （1）经验回归直线过点（，）. （2）经验回归直线的截距和斜率都是通过样本估计而得的，存在着误差，这种误差可能导致预报结果的偏差. （3）经验回归方程=+x中的表示x增加1个单位时，y的平均变化量为，而表示y不随x的变化而变化的部分. 1.某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表： 微点练明 气温x/℃ 18 13 10 -1 用电量y/度 24 34 38 64 由表中数据得到经验回归方程=-2x+，则当气温为-3 ℃时，预测用电量为（　　） A.68度 B.66度 C.28度 D.12度 √ 解析：由表中数据可知==10，==40， 所以经验回归直线=-2x+过点（10，40），即40=-2×10+， 得=60，则经验回归方程为=-2x+60，当x=-3时，=-2×（-3）+60=66. 2.若根据变量x与y的对应关系（如表），求得y关于x的经验回归方程为=6.5x+17.5，则表中m的值为（　　） x 2 4 5 6 8 y 30 40 m 50 70 A.60 B.55 C.50 D.45 √ 解析：由表中数据，得=×（2+4+5+6+8）=5， =×（30+40+m+50+70）=38+， 因为经验回归直线=6.5x+17.5过点， 所以38+=6.5×5+17.5，解得m=60. 3.某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，该地一银行连续五年年底的储蓄存款情况如表所示. 年份x 2019 2020 2021 2022 2023 储蓄存款余额 y/千亿元 5 6 7 8 10 为了计算方便，工作人员将上表的数据进行了处理，令t=x-2 018，z=y-5，得到下表. t 1 2 3 4 5 z 0 1 2 3 5 （1）作z关于t的散点图，求z关于t的经验回归方程； 解：作散点图，直观看z与t具有线性相关关系. 根据z关于t的表格数据， 得=×（1+2+3+4+5）=3， =×（0+1+2+3+5）=2.2， 所以z关于t的经验回归方程为=1.2t-1.4. （2）通过（1）中的方程，求出y关于x的回归方程. 解：由（1）知=1.2t-1.4，代入t=x-2 018，z=y-5， 得-5=1.2（x-2 018）-1.4， 即=1.2x-2 418. 故y关于x的回归方程为=1.2x-2 418. 逐点清（三）　线性回归分析 03 1.残差与残差分析 （1）对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，观测值减去预测值所得到的差称为_______. 残差是随机误差的估计结果，通过对残差的分析可以判断模型刻画数据的效果，以及判断原始数据中是否存在可疑数据等，这方面工作称为__________. （2）残差图中，若残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，带状区域_______，则说明拟合效果越好. 多维理解 残差 残差分析 越窄 小 好 越小 越好 越差 1.[多选]对变量y和x的一组成对样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）进行回归分析，建立回归模型，则 （　　） A.残差平方和越大，模型的拟合效果越好 B.在做线性回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好 C.用决定系数R2来刻画回归效果，R2越小，说明模型的拟合效果越好 D.若y和x的样本相关系数r=-0.95，则y和x之间具有很强的负线性相关关系 √ 微点练明 √ 解析：因为残差平方和越小，模型的拟合效果越好，故A错误；在做线性回归分析时，残差图中残差点分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好，故B正确；因为决定系数R2越接近1，说明模型的拟合效果越好，故C错误；由样本相关系数为负且接近-1，可知y和x之间具有很强的负线性相关关系，故D正确. 2.对变量x，y进行回归分析时，依据得到的4个不同的回归模型画出残差图，则下列模型拟合精度最高的是 （　　） √ 解析：用残差图判断模型的拟合效果，残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，说明这样的模型比较合适，带状区域的宽度越窄，说明模型的拟合精度越高. 3.已知一系列样本点（xi，yi）（i=1，2，3，…，n）的经验回归方程为=2x+a，若样本点（r，1）与（1，s）的残差相同，则有（　　） A.r=s B.s=2r C.s=-2r+3 D.s=2r+1 √ 解析：样本点（r，1）的残差为1-2r-a，样本点（1，s）的残差为s-a-2.依题意得1-2r-a=s-a-2，故s=-2r+3. 4.假定小麦基本苗数x与成熟期有效穗y之间存在相关关系，今测得5组数据如下： x 15.0 25.8 30.0 36.6 44.4 y 39.4 42.9 42.9 43.1 49.2 若由最小二乘法计算得经验回归方程=0.29x+34.7. （1）计算各组残差，并计算残差平方和； （2）求R2，并说明回归模型拟合效果的好坏. 解：因为（yi-y）2=50.18， 所以回归模型的拟合效果较好. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.在两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，它们的R2如下，其中拟合效果最好的模型是 （　　） √ 模型 模型1 模型2 模型3 模型4 R2 0.98 0.80 0.50 0.25 A.模型1 B.模型2 C.模型3 D.模型4 解析：决定系数R2=0.98最大，拟合效果最好. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.在一次试验中，测得（x，y）的四组值分别是（1，2），（2，3），（3，4），（4，5），则y关于x的经验回归方程为 （　　） A.=x+1 B.=x+2 C.=2x+1 D.=x-1 √ 解析：易求=2.5，=3.5，且=1，所以=3.5-1×2.5=1，因此经验回归方程为=x+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.两个线性相关变量x与y的统计数据如表所示： x 9 9.5 10 10.5 11 y 11 10 8 6 5 其经验回归方程是=x+40，则相对应于点（11，5）的残差为（　　） A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由于=x+40过样本中心点（10，8），所以8=10+40， 则=-3.2，因此=-3.2x+40.当x=11时，=-3.2×11+40=4.8， 所以残差=5-=5-4.8=0.2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.根据变量Y和x的成对样本数据，由一元线性回归模型得到经验回归方程=x+，对应的残差如图所示，模型误差（　　） A.满足一元线性回归模型的所有假设 B.满足回归模型E（e）=0的假设 C.满足回归模型D（e）=σ2的假设 D.不满足回归模型E（e）=0和D（e）=σ2的假设 √ 解析：由残差图可以看出，图中的残差点不能拟合成一条直线，且不满足D（e）=σ2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.[多选]已知变量x，y之间的经验回归方程为=-0.7x+10.3，且变量x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（　　） A.变量x，y之间呈负相关关系 B.m=4 C.可以预测，当x=11时，y约为2.6 D.由表格数据知，该经验回归直线必过点（9，4） √ x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：由=-0.7x+10.3，得=-0.7，故x，y呈负相关关系， 则A正确.==9，=-0.7×9+10.3=4=，解得m=5， B错误.当x=11时，y的预测值为2.6，故C正确.=9，=4， 故经验回归直线必过点（9，4），则D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.[多选]设（x1，y1），（x2，y2），…， （x2 024，y2 024）是变量x和y的2 024个样本点， 直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的 经验回归直线，如图所示，下列结论正确的 是 （　　） A.直线l过点（，） B.直线l过点（x1 012，y1 012） C.x和y的样本相关系数在区间[-1，0）上 D.因为2 024是偶数，所以分布在直线l两侧的样本点的个数一定相同 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：经验回归直线一定过样本中心点，但不一定过某个样本点，故A正确，B错误；由题图可知x和y的样本相关系数在区间[-1，0）上，故C正确；不能因为2 024是偶数就断定分布在直线l两侧的样本点的个数相同，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.[多选]已知两个变量y与x线性相关，为研究其具体的线性关系进行了10次试验.试验中不慎丢失2个数据点，根据剩余的8个数据点求得的经验回归方程为=3x+4.5，且=4，又增加了2次试验，得到2个数据点（2，11），（6，22），根据这10个数据点重新求得经验回归方程为=mx+n（其中m，n∈R），则（　　） A.变量y与x正相关 B.m<3 C.n<4.5 D.经验回归直线=mx+n经过点（4，16.5） √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：设A（2，11），B（6，22），由kAB=<3， 而8个数据点的经验回归方程中=3，∴0<m<3，A、B正确； 而10个数据点的'==4，==16.5， ∴经验回归直线过定点（4，16.5），则16.5=4m+n，n=16.5-4m，0<m<3，0<4m<12，-12<-4m<0，4.5<16.5-4m<16.5， 即4.5<n<16.5.∴D正确，C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.（5分）为了解篮球爱好者小李的投篮命中率与打篮球时间之间的关系，下表记录了小李某月1号到5号每天打篮球时间x（单位：h）与当天投篮命中率y之间的关系： 时间x 1 2 3 4 5 命中率y 0.4 0.5 0.6 0.6 0.4 小李这5天的平均投篮命中率为_______，用线性回归分析的方法，预测小李该月6号打6 h篮球的投篮命中率为_______.  0.5 0.53 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：===0.5，==3. 由公式得=0.01，从而=-=0.5-0.01×3=0.47， 所以经验回归方程为=0.47+0.01x， 所以当x=6时，=0.47+0.01×6=0.53. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.（5分）某工厂为研究某种产品产量x（吨）与所需某种原料y（吨）的相关性，在生产过程中收集4组对应数据（x，y）如表所示： x 3 4 6 7 y 2.5 3 4 m 根据表中数据，得出y关于x的经验回归方程为=0.7x+.据此计算出在样本（4，3）处的残差为-0.15，则表中m的值为__________.  5.9 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析：根据样本（4，3）处的残差为-0.15， 即3-（0.7×4+）=-0.15，可得=0.35， 故经验回归方程为=0.7x+0.35，又由样本数据的平均数为==5，=，所以0.7×5+0.35=， 解得m=5.9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 （2）判断变量x与y之间是正相关还是负相关；（3分） 解：由于变量y的值随x值的增加而增加（=0.3>0），故x与y之间是正相关. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 （3）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.（3分） 解：将x=7代入经验回归方程可以预测该家庭的月储蓄为=0.3×7-0.4=1.7（千元）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.（15分）假设关于某设备的使用年限x（单位：年）和支出的维修费用y（单位：万元），有如表的统计资料： 使用年限x/年 2 3 4 5 6 维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 若由资料知y对x呈线性相关关系，试求： （1）经验回归方程=x+；（5分） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 （2）估计使用年限为10年时，维修费用是多少?（3分） 解：当x=10时，=1.23×10+0.08=12.38， 估计使用年限为10年时维修费用是12.38万元. （3）计算残差平方和；（4分） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解： 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn 且tizi=45，=55， 2.决定系数 （1）残差平方和（yi-）2越_____，模型的拟合效果越_____. 解：由=xi+，可以算得=yi-.分别为=0.35，=0.718，= -0.5，=-2.214，=1.624，所以残差平方和为（）2≈8.43. 6.为了研究某班学生的听力成绩x（单位：分）与笔试成绩y（单位：分）的关系，从该班随机抽取20名学生，根据散点图发现x与y之间有线性关系，设其经验回归方程为=x+，已知xi=400，yi= 1 580，=-1，若该班某学生的听力成绩为26，据此估计其笔试成绩 约为 （　　） A.99 B.101 C.103 D.105 解析：xi=400，故==20；yi=1 580，故==79，故点（20，79）在经验回归直线上，即79=20-1，得=4，即=4x-1，当x=26时，代入计算得到=103. 11.（10分）从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi（单位：千元）与月储蓄yi（单位：千元）的数据资料，算得 xi=80，yi=20，xiyi=184，=720. （1）求家庭的月储蓄y对月收入x的经验回归方程=x+；（4分） 解：由题意，知n=10，=xi==8， =yi==2， 又-10=720-10×82=80， xiyi-10　=184-10×8×2=24， 则==0.3，=-=2-0.3×8=-0.4， 故所求经验回归方程为=0.3x-0.4. 解：由统计表格，易知=4，=5，=90. 又xiyi=112.3.设经验回归方程为=x+， 解：因为=2.46+0.08=2.54， =3.77，=5，=6.23，=7.46， 所以残差平方和（yi-）2=0.651. （4）求R2并说明模型的拟合效果.（3分） 参考数据： xiyi=112.3，（yi-）2=15.78. $