8.2 一元线性回归模型及其应用-【精讲精练】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦“成对数据的统计分析”，核心内容包括一元线性回归模型构建、参数最小二乘估计及统计分析流程。通过“课前案自主学习-课堂案互动探究-课后案学业评价”的栏目设计，搭建“预习-探究-巩固”的学习支架，帮助学生衔接知识脉络。 其亮点在于以“散点图观察、拟合函数选择、变换求解与还原”的统计分析流程为主线，体现数学思维的逻辑性和数学眼光的直观性。课堂互动探究引导学生用数学语言表达数据关系，如通过实例分析回归模型应用，提升数据分析与建模能力。教师可借助结构化栏目高效教学，学生能在问题解决中发展理性思维与应用意识。

8.2　一元线性回归模型及其应用 8.2.1　一元线性回归模型 8.2.2　一元线性回归模型参数的最小二乘估计 第八章　成对数据的统计分析 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 课前案•自主学习 01 课堂案•互动探究 02 课后案•学业评价 03 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 课前案•自主学习 栏目导航 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 观测值 预测值 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 比较均匀地 越窄 好 差 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 课堂案•互动探究 栏目导航 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 课后案•学业评价 栏目导航 点击进入Word 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 谢谢观看 栏目导航 第八章　成对数据的统计分析 1 学业标准 素养目标 1．针对实际问题，会用一元线性回归模型进行预测．(重点) 2．掌握一元线性回归模型参数的最小二乘估计方法，会使用相关的统计软件．(难点) 1．通过对一元线性回归模型参数的计算，培养数学运算等核心素养． 2．根据一元线性回归模型进行预测，提升数学运算、数据分析等核心素养． [提示]　y＝kx＋b(k≠0)，要求其方程，需要求出k和b的值． 导学1　一元回归模型及参数的最小二乘估计 　(1)如果变量x与y线性相关，那么x与y的关系可以近似地用哪个函数来刻画？ [提示]　一次函数． (2)一次函数的解析式是什么？要求一次函数的方程，需要求出哪些参数？ ◎结论形成 1．一元线性回归模型 关系式称为Y关于x的一元线性回归模型．其中，Y称为因变量或响应变量，x称为自变量或解释变量；a和b为模型的未知参数，a称为截距参数，b称为斜率参数，e是Y与bx＋a之间的随机误差． 2．线性回归方程 我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，其中 3．最小二乘法 求经验回归方程的方法叫做最小二乘法，求得的，叫做b，a的最小二乘估计． [提示]　越小越好． 导学2　回归分析 　具有相关关系的两个变量的经验回归方程＝x＋. (1)预测值与真实值y一样吗？ [提示]　不一定． (2)预测值与真实值y之间误差大了好还是小了好？ ◎结论形成 1．残差平方和法 (1)残差：对于响应变量Y，通过观测得到的数据称为观测值，通过经验回归方程得到的称为预测值，__________减去__________所得的差称为残差，即＝yi－i＝_____________(i＝1，2，…，n)，称为相应于点(xi，yi)的残差． (2)残差平方和 (yi－i)2越小，模型拟合效果越好． yi－xi－ 2．残差图法 残差点______________落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，其中这样的带状区域宽度________，说明模型的精确度越高． 3．利用R2刻画回归效果 其计算公式为R2＝1－，其意义是R2越大，模型的拟合效果越______，R2越小，模型的拟合效果越______． 1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)求回归方程前可以不进行相关性检验．(　　) (2)经验回归直线过点(，).(　　) (3)残差的平方和越小，模型的拟合效果越好．(　　) (4)利用经验回归方程求出的值是准确值．(　　) 2．甲、乙、丙、丁四位同学在建立变量x，y的回归模型时，分别选择了4种不同模型，计算可得它们的R2分别如下表： 甲 乙 丙 丁 R2 0.98 0.78 0.50 0.85 哪位同学建立的回归模型拟合效果最好？(　　) A．甲　　　 B．乙　　　　 C．丙　　　 D．丁 解析　R2越大，表示回归模型的拟合效果越好． 答案　A 3．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其经验回归方程可能是(　　) A．＝－10x＋200 B．＝10x＋200 C．＝－10x－200 D．＝10x－200 解析　∵y与x负相关，∴排除B，D， 又∵C项中x>0时，<0不合题意， ∴C错误．故选A. 4．某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图： 由此散点图，在10 ℃至40 ℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是(　　) A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2 C．y＝a＋bex D．y＝a＋b ln x 解析　由散点图可以看出，这些点大致分布在对数型函数的图象附近．故选D. 答案　D 题型一　线性经验回归方程 　下表是某旅游区游客数量与平均气温的对比表： 平均气温/℃ －1 4 10 13 18 26 数量/万个 0.2 0.24 0.34 0.38 0.5 0.64 若已知游客数量与平均气温是线性相关的，求经验回归方程． [解析]　 ＝＝，＝，x＝1＋16＋100＋169＋324＋676＝1 286， xiyi＝－1×0.2＋4×0.24＋10×0.34＋13×0.38＋18×0.5＋26×0.64＝34.74. ＝＝≈0.02. ＝－≈0.15，即所求的经验回归方程为＝0.02x＋0.15. 求经验回归方程的步骤 (1)计算平均数，. (2)计算xi与yi的积，求xiyi. (3)计算x. (4)将结果代入公式＝，求. (5)用＝－ ，求. (6)写出经验回归方程． [触类旁通] 1．为了解儿子身高与其父亲身高的关系，随机抽取5对父子的身高数据如下： 父亲身高x/ cm 174 176 176 176 178 儿子身高y/ cm 175 175 176 177 177 则y对x的经验回归方程为(　　) A．＝x－1　　　　　 B．＝x＋1 C．＝88＋x D．＝176 解析　由题意得＝＝176(cm)， ＝＝176(cm)， 由于(，)一定满足经验回归方程，经验证知选C. 答案　C 题型二　非线性经验回归方程 　在一次抽样调查中测得样本的5个样本点，数值如下表： x 0.25 0.5 1 2 4 y 16 12 5 2 1 试建立y与x之间的经验回归方程． [解析]　作出变量y与x之间的散点图，如图所示． 由图可知变量y与x近似地呈反比例函数关系． 设y＝，令t＝，则y＝kt. 由y与x的数据表可得y与t的数据表： t 4 2 1 0.5 0.25 y 16 12 5 2 1 作出y与t的散点图，如图所示： 由图可知y与t近似地呈线性相关关系． 又＝1.55，＝7.2，tiyi＝94.25，t＝21.312 5， ＝＝≈4.134 4， ＝－ ＝7.2－4.134 4×1.55≈0.8， ∴＝4.134 4t＋0.8. 所以y与x的经验回归方程是＝＋0.8. 求非线性经验回归方程的步骤 非线性回归问题有时并不给出经验公式．这时我们可以画出已知数据的散点图，把它与学过的各种函数(幂函数、指数函数、对数函数等)图象作比较，挑选一种跟这些散点拟合得最好的函数，然后采用适当的变量变换，借助于一元线性回归模型，使之得到解决．其一般步骤为 [触类旁通] 2．某电容器充电后，电压达到100 V，然后开始放电，由经验知道，此后电压U随时间t变化的规律用公式U＝Aebt(b＜0)表示，现测得时间t(s)时的电压U(V)如下表： t/s 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 U/V 100 75 55 40 30 20 15 10 10 5 5 试求：电压U对时间t的经验回归方程．(提示：对公式两边取自然对数，把问题转化为经验回归函数问题) 解析　对U＝Aebt两边取对数得ln U＝ln A＋bt，令y＝ln U，a＝ln A，x＝t，则y＝a＋bx，y与x的数据如下表： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y 4.6 4.3 4.0 3.7 3.4 3.0 2.7 2.3 2.3 1.6 1.6 根据表中数据画出散点图，如图所示，从图中可以看出，y与x具有较好的线性相关关系，由表中数据求得＝5， ≈3.045，由公式计算得≈－0.313，＝－ ＝4.61， 所以y对x的经验回归方程为＝－0.313x＋4.61. 所以ln ＝－0.313t＋4.61， 即＝e-0.313t+4.61＝e-0.313t·e4.61， 因此电压U对时间t的经验回归方程为＝e-0.313t·e4.61. 题型三　回归分析 　已知某种商品的价格x(元)与需求量y(件)之间的关系有如下一组数据． x/元 14 16 18 20 22 y/件 12 10 7 5 3 求y对x的经验回归方程，并说明回归模型拟合效果的好坏． [解析]　＝×(14＋16＋18＋20＋22)＝18， ＝×(12＋10＋7＋5＋3)＝7.4， x＝142＋162＋182＋202＋222＝1 660， xiyi＝14×12＋16×10＋18×7＋20×5＋22×3＝620， ∴＝＝＝－1.15， ＝－ ＝7.4＋1.15×18＝28.1， ∴所求经验回归方程为＝－1.15x＋28.1. 列出残差表 yi－i 0 0.3 －0.4 －0.1 0.2 yi－ 4.6 2.6 －0.4 －2.4 －4.4 ∴ (yi－i)2＝0.3， (yi－)2＝53.2， R2＝1－≈0.994， 故回归模型的拟合效果很好． [素养聚焦]　解决此类问题的难点是对数据的处理和计算，应避免运算失误，提升数学运算素养． 在进行回归分析时，要按回归分析步骤进行．在求R2时，通常采用分步计算的方法，R2越大，模型的拟合效果越好． [触类旁通] 3．关于x与y有如下数据： x 2 4 5 6 8 y 30 40 60 50 70 有如下的两个经验回归方程： (1)＝6.5x＋17.5； (2)＝7x＋17. 试比较哪一个拟合效果更好． 解析　由(1)可得yi－i与yi－的关系如下表： yi－i －0.5 －3.5 10 －6.5 0.5 yi－ －20 －10 10 0 20 ∴ (yi－i)2＝(－0.5)2＋(－3.5)2＋102＋(－6.5)2＋0.52＝155， (yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. ∴R＝1－＝1－＝0.845. 由(2)可得yi－i与yi－的关系如下表： yi－i －1 －5 8 －9 －3 yi－ －20 －10 10 0 20 ∴ (yi－i)2＝(－1)2＋(－5)2＋82＋(－9)2＋(－3)2＝180， (yi－)2＝(－20)2＋(－10)2＋102＋02＋202＝1 000. ∴R＝1－＝1－＝0.82. 由于R＝0.845，R＝0.82，0.845＞0.82，∴R＞R. ∴(1)的拟合效果好于(2)的拟合效果． 知识落实 技法强化 1．一元线性回归模型． 2．最小二乘法、经验回归方程的求法． 3．对模型刻画数据效果的分析：残差图法、残差平方和法和R2法． 解题时常出现不判断变量间是否具有线性相关关系，盲目求解经验回归方程致误． $