7.1.2 全概率公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦全概率公式与贝叶斯公式，通过“课前预知教材·自主落实基础”导入，先关联条件概率、乘法公式，再推导全概率公式，构建从基础概念到综合应用的学习支架。 其亮点是梯度进阶式教学，以“课前基础训练-课堂题型研究-课时跟踪检测”推进，结合“思维建模”总结解题策略，如手机优质品概率计算实例，培养学生数学思维（推理、运算）与数学语言表达，助力学生深化理解，教师可高效开展教学。

7.1.2 全概率公式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式. 2.理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率. 3.了解贝叶斯公式，并会利用贝叶斯公式计算概率. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.全概率公式 （1）定义：一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P（Ai）>0，i=1，2，…，n，则对任意的事 件B⊆Ω，有___________________________. （2）全概率公式实质上是条件概率性质的推广形式：P（B）= P（A1B）+P（A2B）+…+P（AnB）=P（A1）P（B|A1）+P（A2） P（B|A2）+…+P（An）P（B|An）. 2.贝叶斯公式* 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1,2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝ ，i＝1，2，…，n. |微|点|助|解| 条件概率、全概率公式、贝叶斯公式之间的关系 条件概率P（B|A）= 乘法公式P（AB）=P（A）P（B|A） 　　　　　　全概率公式 　　　 P（B）= P（Ai）P（B|Ai） 贝叶斯公式 1.判断正误（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）全概率公式为概率论中的重要公式，它将对一个复杂事件A的概率求解问题，转化为在不同情况下发生的简单事件的概率的求和问题. （　　） （2）所研究的事件试验前提或前一步骤有多种可能，在这多种可能中，均有所研究的事件发生，这时要求所研究事件的概率就可用全概率公式. （　　） 基础落实训练 √ √ （3）全概率公式用于求复杂事件的概率，是求最后结果的概率. （　　） （4）全概率公式中样本空间Ω中的事件Ai需满足的条件为 Ai=Ω.（　　） （5）若P（A）>0，P（）>0，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（） P（B|）. （　　） √ × √ 2.已知某手机专卖店只售卖甲、乙两种品牌的智能手机，其占有率和优质率的信息如表所示. 品牌 甲 乙 占有率 60% 40% 优质率 95% 90% 从该专卖店中随机购买一部智能手机，则买到的是优质品的概率是 （　　） A.93% B.94% C.95% D.96% √ 解析：买到的是优质品的概率是0.6×0.95+0.4×0.9=0.93=93%. 3.一电器商店出售两家工厂生产的平板电脑，甲厂的平板电脑占70%，乙厂的平板电脑占30%.甲厂平板电脑的合格率为95%，乙厂平板电脑的合格率为80%，则该商店所售平板电脑的合格率为__________.  解析：设事件A=“合格平板电脑”，事件B=“甲厂平板电脑”，事件C=“乙厂平板电脑”，则P（B）=70%=0.7，P（A|B）=95%=0.95，P（C）=30%=0.3，P（A|C）=80%=0.8，P（A）=P（B）P（A|B）+P（C）P（A|C）=0.7×0.95+0.3×0.8=0.905.故该商店所售平板电脑的合格率为90.5%. 90.5% 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　全概率公式 [例1]　长假期间，某人从甲地到乙地驾车出行.已知共有3条路可选，第一条路堵车的概率为，第二条路堵车的概率为，第三条路堵车的概率为.求从甲地到乙地堵车的概率. 解：设事件Bi（i=1，2，3）表示“走第i条路”，事件A表示“堵车”. 则P（B1）=P（B2）=P（B3）=，P（A|B1）=，P（A|B2）=， P（A|B3）=，所以P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）+ P（B3）P（A|B3）=×+×+×=.所以从甲地到乙地堵车的概率为. 　　|思|维|建|模| 两个事件的全概率问题求解策略 （1）拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分，如A1，A2（或A与）. （2）计算：利用乘法公式计算每一部分的概率. （3）求和：所求事件的概率P（B）=P（A1）P（B|A1）+ P（A2）P（B|A2）. 针对训练 1.已知A，B为两个随机事件，0<P（B）<1，若P（B）=0.4，P（B|A）=0.7，P（B|）=0.3，则P（A）=（　　） A. B. C. D. √ 解析：由题意可得P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）= 0.7P（A）+0.3P（）=0.7P（A）+0.3[1-P（A）]，即0.4=0.4P（A）+0.3，解得P（A）=. 2.某批麦种中，一等麦种占80%，二等麦种占20%，等麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率分别为0.6，0.2，则这批麦种种植后所结麦穗含有50粒以上麦粒的概率为 （　　） A.0.48 B.0.52 C.0.56 D.0.65 √ 解析：设“种植一等麦种和二等麦种”的事件分别为A1，A2，“所结麦穗含有50粒以上麦粒”为事件B，依题意，得P（A1）=0.8，P（A2）=0.2，P（B|A1）=0.6，P（B|A2）=0.2，由全概率公式，得P（B）= P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=0.8×0.6+0.2×0.2=0.52.故选B. 题型（二）　全概率公式的实际应用 [例2]　为了考查学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱.其中，甲箱中有2道概念叙述题，2道计算题；乙箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）.现有A，B两个同学来抽题回答，每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答.每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）.两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱. （1）如果A同学从甲箱中抽取两道题，求第二题抽到的是概念叙述题的概率； 解：设Ai表示“第i次从甲箱中抽到概念叙述题”，i=1，2， 则P（A1）=，P（A2|A1）=，P（A2|）=， 所以第二题抽到的是概念叙述题的概率 P（A2）=P（A1）P（A2|A1）+P（）P（A2|）=×+×=. （2）如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中.B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率. 解：设事件B1表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是概念叙述题”，事件B2表示“A同学从甲箱中取出的两道题都是计算题”，事件B3表示“A同学从甲箱中取出1道概念叙述题、1道计算题”，事件C表示“B同学从乙箱中抽取两道题目，第一个题目抽取概念叙述题”， 则P（B1）==，P（B2）==， P（B3）===，P（C|B1）==， P（C|B2）==， P（C|B3）==， 所以P（C）=P（B1）P（C|B1）+P（B2）P（C|B2）+ P（B3）P（C|B3）=×+×+×=. 　　|思|维|建|模| 　　当直接求事件A发生的概率不易求出时，可以采用化整为零的方式，即把事件A分解，然后借助全概率公式间接求出事件A发生的概率. 针对训练 3.设甲袋中有4个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球（每个球除颜色以外均相同）. （1）从甲袋中取4个球，求这4个球中恰好有3个红球的概率； 解：依题意知，从甲袋8个球中取4个球有种取法，其中4个球中恰好有3个红球， 即恰好有3个红球、1个白球，有种取法， 所以4个球中恰好有3个红球的概率P==. （2）先从乙袋中取2个球放入甲袋，再从甲袋中取2个球，求从甲袋中取出的是2个红球的概率. 解：记A1为“从乙袋中取出1个红球、1个白球”，A2为“从乙袋中取出2个红球”，B为“从甲袋中取出2个红球”，则P（A1）==， P（A2）==，P（B|A1）==，P（B|A2）==，所以P（B）= P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=×+×=. 题型（三）　贝叶斯公式* [例3]　玻璃杯整箱出售，共3箱，每箱20只.假设各箱含有0，1，2只残次品的概率对应为0.8，0.1和0.1.一顾客欲购买一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客随机查看4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯；否则不买.设事件A表示“顾客买下所查看的一箱玻璃杯”，事件Bi表示“箱中恰好有i（i=0，1，2）只残次品”，求： （1）顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率P（A）； 解：由题设可知，P（B0）=0.8，P（B1）=0.1，P（B2）=0.1， 且P（A|B0）=1， P（A|B1）==，P（A|B2）==， 所以P（A）=P（B0）P（A|B0）+P（B1）P（A|B1）+ P（B2）P（A|B2）=0.8×1+0.1×+0.1×=. 即顾客买下所查看的一箱玻璃杯的概率为. （2）在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率P（B0|A）. 解：因为P（B0|A）===， 所以在顾客买下的一箱中，没有残次品的概率是. 　　|思|维|建|模| 　　若随机试验可以看成分两个阶段进行，且第一阶段的各试验具体结果怎样未知，那么：（1）如果要求的是第二阶段某一个结果发生的概率，则用全概率公式；（2）如果第二个阶段的某一个结果是已知的，要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率，一般用贝叶斯公式，要熟记这个特征. 针对训练 4.某一地区患有癌症的人占0.005，患者对一种试验反应是阳性的概率为0.95，正常人对这种试验反应是阳性的概率为0.04.现抽查了一个人，试验反应是阳性，则此人是癌症患者的概率有多大? 解：设“抽查的人患有癌症”为事件C，“试验反应为阳性”为事件A，则“抽查的人不患癌症”为事件，已知P（C）=0.005，P（）=0.995， P（A|C）=0.95，P（A|）=0.04，由贝叶斯公式得P（C|A）= =≈0.106 6.所以此人是癌症患者的概率约为0.106 6. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在3张彩票中有2张有奖，甲、乙两人先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 解析：设“甲中奖”为A事件，“乙中奖”为B事件，则P（B）= P（B|A）P（A）+P（B|）P（）=×+×=，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知P（A）=，P（）=，P（B|A）=0，P（B）=，则P（B|）=（　　） A. B. C. D. √ 解析：由全概率公式得P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）=×0+×P（B|）=，解得P（B|）=，故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.“布朗运动”是指微小颗粒永不停息的 无规则随机运动，在如图所示的试验容器 中，容器由两个仓组成，某粒子作布朗运 动时，每次会从所在仓的通道口中随机选择一个到达相邻仓或者容器外，一旦粒子到达容器外就会被外部捕获装置所捕获，此时试验结束.已知该粒子初始位置在1号仓，则试验结束时该粒子是从1号仓到达容器外的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：选C　设从i号仓出发最终从1号仓出的概率为Pi， 所以解得P1=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.某陶瓷厂上釉车间有A，B两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检A生产线的产品的概率为，抽检B生产线的产品的概率为.经过大量数据分析得A生产线的次品率为12%，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为10%，据此估计B生产线的次品率为（　　） A.9% B.8.67% C.8% D.6% √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设事件N为“抽检得到的产品为次品”，事件M1，M2分别表示抽检A，B两条生产线的产品，则P（M1）=，P（M2）=，P（N|M1）=0.12，设P（N|M2）=p，因此P（N）=P（N|M1）P（M1）+ P（N|M2）P（M2）=0.12×+p×=0.1， 解得p=0.06，所以估计B生产线的次品率为6%. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]若0<P（A）<1，0<P（B）<1，则下列式子成立的是 （　　） A.P（A|B）= B.P（AB）=P（A）P（B|A） C.P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|） D.P（A|B）= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由条件概率的计算公式知A错误，B、C显然正确. 因为P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）， 所以P（A|B）==，知D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.盒中有a个红球，b个黑球，现随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球c个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑球的概率是 （　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设事件A=“第一次抽出的是黑球”，事件B=“第二次抽出的是黑球”，则B=AB+B，由全概率公式得P（B）=P（A）P（B|A）+P（）P（B|）.由题意P（A）=，P（B|A）=，P（）=，P（B|）=，所以P（B）=+ =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]有3台车床加工同一型号的零件. 第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床的零件数分别占总数的25%，30%，45%. 则下列结论正确的是 （　　） A.任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率为0.06 B.任取一个零件，它是次品的概率为0.052 5 C.如果取到的零件是次品，它是第2台车床加工的概率为 D.如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：根据题意，设任取一个零件，由第1，2，3台车床加工为事件A，B，C，该零件为次品为事件D，则P（A）=0.25，P（B）=0.3，P（C）=0.45，P（D|A）=0.06，P（D|B）=P（D|C）=0.05，对于A，任取一个零件，它是第1台车床加工的次品的概率P（AD）=P（A）P（D|A）=0.06×0.25=0.015，故A错误；对于B，任取一个零件是次品的概率 P（D）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）+P（C）P（D|C）=0.06×0.25+0.05×0.3+0.05×0.45=0.052 5，故B正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 对于C，如果取到的零件是次品，且是第2台车床加工的概率P（B|D）====，故C正确；对于D，记取到的零件不是第3台车床加工的为事件E，则P（E）=0.25+0.3=0.55，则 P（DE）=P（A）P（D|A）+P（B）P（D|B）=0.06×0.25+0.05× 0.3=0.03，所以P（D|E）===，即如果取到的零件不是第3台车床加工的，它是次品的概率为，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.（5分）现有分别来自三个地区的10名、15名和25名考生的报名表，其中女生报名表分别为3份、7份和5份，随机地取一个地区的报名表，则所取到的是女生报名表的概率为________.  解析：依题意，随机地取一个地区的报名表选到每个地区的概率为，所以取到的是女生报名表的概率为×+×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）某初级中学初一、初二、初三的学生人数比例为2∶1∶1，假设该中学初一、初二、初三的学生阅读完《三国演义》的概率分别为0.2，0.3，p（0<p<1），若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率不大于0.275，已知该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，则p的取值范围是__________.  [0.3，0.4] 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：若从该中学三个年级的学生中随机选取1名学生，则这名学生阅读完《三国演义》的概率为0.2×+0.3×+p× =0.175+0.25p≤0.275，解得p≤0.4，因为该中学初三的学生阅读完《三国演义》的概率不低于初二的学生阅读完《三国演义》的概率，所以p≥0.3，故p的取值范围是[0.3，0.4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）甲袋中有3个白球，2个黑球，乙袋中有4个白球，4个黑球，今从甲袋中任取2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，则该球是白球 的概率为_____.  解析：设事件A表示“从乙袋中取出的是白球”，事件Bi表示“从甲袋中取出的两球恰有i个白球”，i=0，1，2.由全概率公式得P（A）=P（B0）P（A|B0）+P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=·+·+·=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）若甲盒中有5个红球、3个白球、2个黑球，乙盒中有x个红球、2个白球、3个黑球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，设B= “从乙盒中取出的球是红球”，若P（B）≤， 则x的最大值为_______.   7 解析：设A=从甲盒中取出的球是红球，则P（A）==，P（）=， P（B|A）=，P（B|）=，则P（B）=P（A）P（B|A）+ P（）P（B|）=×+×=.所以≤， 即x≤.因为x是正整数，所以x≤7.所以x的最大值为7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）甲、乙两名同学分别与同一台智能机器人进行象棋比赛.在一轮比赛中，如果甲单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为；如果乙单独与机器人比赛，战胜机器人的概率为. （1）甲单独与机器人进行三轮比赛，求甲至少有两轮获胜的概率；（4分） 解：设“甲至少有两轮获胜”为事件A， 则P（A）=3××+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）在甲、乙两人中任选一人与机器人进行一轮比赛，求战胜机器人的概率.（6分） 解：设“选中甲与机器人比赛”为事件A1，“选中乙与机器人比赛”为事件A2，“战胜机器人”为事件B，根据题意得P（A1）=P（A2）=，P（B|A1）=，P（B|A2）=， 由全概率公式得P（B）=P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）=×+×=.所以战胜机器人的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）有两个箱子，其中1号箱装有1个红球和4个白球，2号箱装有2个红球和3个白球，这些球除颜色外完全相同，求某人从中随机取一箱，再从中任意取出一球，若取出的是红球，则此球来自1号箱的概率为多少? 解：设事件Bi表示“球取自i号箱”（i=1，2）， 事件A表示“取得红球”，其中B1，B2互斥，A发生总是伴随着B1，B2之一同时发生， 即A=B1A∪B2A，且B1A，B2A互斥， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 P（A）=P（B1A）+P（B2A）， 所以P（A）=P（B1）P（A|B1）+P（B2）P（A|B2）=×+×=. P（A）=，P（AB1）=P（B1）P（A|B1）=×=， P（B1|A）===， 即此球来自1号箱的概率为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（15分）某学习小组设计了如下问题进行探究：甲和乙两个箱子中各装有5个大小相同的小球，其中甲箱中有3个红球、2个白球，乙箱中有4个红球、1个白球. （1）从甲箱中随机抽出2个球，在已知抽到红球的条件下，求2个球都是红球的概率；（5分） 解：记事件A表示“抽出的2个球中有红球”，事件B表示“两个球都是红球”，则P（A）=1-=，P（AB）==， 故P（B|A）===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）抛一枚质地均匀的骰子，如果点数小于等于4，从甲箱中随机抽出1个球；如果点数大于等于5，从乙箱中随机抽出1个球.求抽到的球是红球的概率；（6分） 解：设事件C表示“从乙箱中抽球”，则事件表示“从甲箱中抽球”， 事件D表示“抽到红球”，则P（C）==，P（）==，P（D|C）=， P（D|）=，可得P（D）=P（CD）+P（D）=P（C）P（D|C）+P（）P（D|）=×+×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （3）在（2）的条件下，若抽到的是红球，求它是来自乙箱的概率. （4分） 解：在（2）的条件下P（C|D） ===. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn P（B）=P（Ai）P（B|Ai） $