6.3.2 第2课时 二项式定理的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

二项式定理的综合应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步理解二项式定理及其性质，能够利用二项式定理解决两个多项式乘积的特定项问题.能利用二项式定理解决整除（余数）问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　两个二项式乘积的问题 题型（二）　三项式的展开问题 题型（三）　二项式定理的整除、 余数问题 4 课时跟踪检测 题型（一）两个二项式乘积的 问题 01 [例1]　（1）（1+2x）3（1-x）4的展开式中，含x项的系数为 （　　） A.10 B.-10 C.2 D.-2 √ 解析：（1+2x）3（1-x）4的展开式中含x项是由第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，然后相加.因此，含x项为（2x）0··（-x）1+·（2x）1··（-x）0，所以含x项的系数为××（-1）+×2×=-4+6=2. √ （2）已知（x2+a）的展开式中所有项的系数和为192，则展开式中的常数项为（　　） A.8 B.6 C.4 D.2 解析：令x=1，得（1+a）（1+1）6=192，所以a=2. 因为的展开式的通项Tr+1==x-2r， 又（x2+2）=x2+2.令-2r=-2，得r=1； 令-2r=0，得r=0.所以展开式中的常数项为x2x-2+2=8. 　　|思|维|建|模| 两个二项式乘积的展开式中特定项问题 （1）分别对每个二项展开式进行分析，发现它们各自项的特点. （2）找到构成展开式中特定项的组成部分. （3）分别求解再相乘，求和可得. 针对训练 1.已知（1+ax）（1+x）5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a= （　　） A.-4 B.-3 C.-2 D.-1 √ 解析：∵（1+ax）（1+x）5=（1+x）5+ax·（1+x）5，又（1+x）5展开式的通项Tk+1=·xk，所以（1+ax）（1+x）5的展开式中含x2的项的系数为+·a=5，所以a=-1. 2.已知多项式（x+2）（x-1）4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a2=_________，a1+a2+a3+a4+a5=_________.  8 -2 解析：∵（x-1）4=x4-4x3+6x2-4x+1， ∴（x+2）（x-1）4的展开式中含x2的项为x·（-4x）+2×6x2=8x2. 因此a2=8. 令x=0，则a0=2.令x=1，则a0+a1+a2+a3+a4+a5=0. 所以a1+a2+a3+a4+a5=-a0=-2. 题型（二）三项式的展开问题 02 [例2]　（1）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为 （　　） A.10 B.20 C.30 D.60 √ 解析：法一　（x2+x+y）5=[（x2+x）+y]5，含y2的项为 T3=（x2+x）3·y2.其中（x2+x）3中含x5的项为x4·x=x5. 所以x5y2的系数为=30.故选C. 法二　（x2+x+y）5为5个x2+x+y之积，其中有两个取y，两个取x2，一个取x即可，所以x5y2的系数为=30.故选C. （2）的展开式中整理后的常数项为____________.  解析：法一　由=， 通项为Tr+1==x5-r， 据题意令5-r=0，即r=5.故常数项为T6=. 法二　原式==·[（x+）2]5=·（x+）10. 求原展开式中的常数项， 转化为求（x+）10的展开式中含x5的项的系数， 即·（）5.所以原展开式中的常数项为=. 　　|思|维|建|模| （1）三项式的展开问题，可以利用二项式定理的推导方法来解决问题，其本质是计数原理的运用，用这种方法可以直接求展开式中的某特定项. （2）三项或三项以上的式子的展开问题，应根据式子的特点，转化为二项式来解决，转化的方法通常为因式分解、项与项结合，项与项结合时，要注意合理性和简捷性. 针对训练 3.的展开式中，x5项的系数为（　　） A.160 B.210 C.120 D.252 √ 解析：因为=， 所以通项Tr+1=（x2）10-r=x20-3r.令20-3r=5，得r=5， 所以T6=x5=252x5.故选D. 4.（3x3-5x2+1）5的展开式中，除含x5的项之外，剩下所有项的系数和为 （　　） A.-299 B.299 C.-301 D.301 √ 解析：令x=1得（3-5+1）5=-1，所以（3x3-5x2+1）5的展开式中所有项的系数和为-1，由（3x3-5x2+1）5为5个因式（3x3-5x2+1）相乘， 要得到x5项，则五个因式中有一个因式取3x3，一个因式取-5x2， 其余三个因式取1，然后相乘而得，所以（3x3-5x2+1）5的展开式中含x5的项为（3x3）1·（-5x2）1=-300x5，所以（3x3-5x2+1）5的展开式中，除含x5的项之外，剩下所有项的系数和为-1-（-300）=299. 题型（三）二项式定理的整除、 余数问题 03 [例3]　（1）试求2 02710除以8的余数； 解：2 02710=（8×253+3）10. ∵其展开式中除末项为310外，其余的各项均含有8这个因数， ∴2 02710除以8的余数与310除以8的余数相同. 又∵310=95=（8+1）5， 其展开式中除末项为1外，其余的各项均含有8这个因数， ∴310除以8的余数为1， 即2 02710除以8的余数也为1. （2）求证：32n+2-8n-9（n∈N*）能被64整除. 解：证明：32n+2-8n-9 =（8+1）n+1-8n-9 =8n+1+8n+…+-8n-9 =8n+1+8n+…+82+（n+1）×8+1-8n-9 =8n+1+8n+…+82.① ①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除. 　　|思|维|建|模| （1）利用二项式定理可以解决求整除和余数的问题，常用的变形是拆数，通常需将数化成两数的和与差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系. （2）用二项式定理展开，展开后的大部分项是除数的倍数，进而可证明或判断被除数能否被除数整除，若不能整除，则可求出余数. 针对训练 5.1.026的近似值（精确到0.01）为 （　　） A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.20 √ 解析：选B　1.026=（1+0.02）6 =1+×0.02+×0.022+×0.023+×0.024+×0.025+0.026 ≈1+0.12+0.006≈1.13.故选B. 6.S=++…+除以9的余数为_____.  解析：依题意S=++…+=227-1=89-1=（9-1）9-1 =×99-×98+…+×9--1=9×（×98-×97+…+）-2. 因为×98-×97+…+是正整数，所以S被9除的余数为7. 7 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.（x2+2）展开式中的常数项是（　　） A.-3 B.-2 C.2 D.3 √ 解析：展开式的通项为Tk+1=（-1）k=（-1）k. 令10-2k=2或10-2k=0，解得k=4或k=5.故（x2+2）·展开式中的常数项是（-1）4×+2×（-1）5×=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.（1-x）4（1-）3展开式中x2的系数是（　　） A.-6 B.-3 C.0 D.3 √ 解析：（1-x）4展开式的通项为Tk+1=（-1）kxk，（1-）3展开式的通项为Tr+1=（-1）r，当k=0时，=2，即r=4>3，不符合题意；当k=1时，=1，即r=2，此时x2的系数为（-1）·（-1）2=-12； 当k=2时，=0，即r=0，此时x2的系数为·（-1）2·1=6，所以x2的系数是-12+6=-6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.今天是星期三，经过7天后还是星期三，那么经过82 025天后是 （　　） A.星期二 B.星期三 C.星期四 D.星期五 √ 解析：因为82 025=（1+7）2 025 =+×7+×72+…+×72 025， 所以82 025被7除的余数为1，故经过82 025天后是星期四，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.[多选]（1+x2）（2+x）4的展开式中 （　　） A.x3的系数为40 B.x3的系数为32 C.常数项为16 D.常数项为8 √ √ 解析：（1+x2）（2+x）4=（2+x）4+x2（2+x）4，展开式中x3的系数分为两部分，一部分是（2+x）4中x3的系数·2=8，另一部分是（2+x）4中x的系数·23=32，所以x3的系数是8+32=40；展开式中常数项只有（2+x）4展开式中的常数项，为24=16. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若（x2-a）的展开式中x6的系数为30，则a=（　　） A. B. C.1 D.2 √ 解析：展开式的通项是Tk+1=·x10-k·=·x10-2k，的展开式中含x4，x6项的系数分别为，.因为（x2-a）的展开式中含x6的项由x2与展开式中含x4的项的乘积以及-a与展开式中含x6的项的乘积两部分构成，得-a=120-45a=30，解得a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.定义：两个正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余，记作a≡b（mod m），比如：35≡25（mod 10）.已知：n=-10+102-103+…+1010，满足n≡p（mod 7），则p可以是（　　） A.44 B.32 C.35 D.29 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：n=-10+102-103+…+1010=（1-10）10=910， 910=（7+2）10=710+79×2+×78×22+…+×7×29 +×210，所以n除以7的余数是210=1 024，1 024除以7的余数是2，选项中44除以7的余数是2，32除以7的余数是4，35除以7的余数是0，29除以7的余数是1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.记M=“720的不同正因数的个数”，N=“（1+x-y）5的展开式中x2y2项的系数”，则 （　　） A.2M-N=0 B.M-N=0 C.M-N>0 D.M+N<0 √ 解析：因为720=24×32×5，所以720的正因数有5×3×2=30个， 即M=30，又（1+x-y）5展开式的项可以看作从5个盒子中各取出一个元素相乘，每个盒子中均有1，x，-y，要得到x2y2，需从2个盒子中取出x，2个盒子中取出-y，1个盒子中取出1，所以N==30，所以M=N，即M-N=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.[多选]（a-x）（1+x）6的展开式中，x的奇数次幂项的系数之和为64，则下列结论正确的是 （　　） A.a=3 B.展开式中常数项为3 C.展开式中x4的系数为30 D.展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设（a-x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7， 令x=1，得a0+a1+a2+…+a7=64（a-1），① 令x=-1，得a0-a1+a2-…-a7=0，② ①-②，得2（a1+a3+a5+a7）=64（a-1），因为展开式中x的奇数次幂项的系数之和为64，即a1+a3+a5+a7=64，所以2×64=64（a-1）， 解得a=3，即（3-x）（1+x）6=a0+a1x+a2x2+…+a7x7.令x=0，得a0=3， 即展开式中常数项为3.①+②，得2（a0+a2+a4+a6）=64×2， 所以a0+a2+a4+a6=64，即展开式中x的偶数次幂项的系数之和为64. （3-x）（1+x）6的展开式中x4的系数为3×-1×=25.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.（a+y）6的展开式中，含x-1y4项的系数为-15，则a=（　　） A.-2 B.-1 C.±1 D.±2 √ 解析：（a+y）6的展开式的通项为a6-r·yr，令r=4， 可得a6-ryr=15a2y4，所以含x-1y4项的系数为-15a2，即-15a2=-15， 解得a=±1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.[多选]对于二项式（n∈N*），以下判断正确的有（　　） A.存在n∈N*，使展开式中有常数项 B.对任意n∈N*，展开式中没有常数项 C.对任意n∈N*，展开式中没有x的一次项 D.存在n∈N*，使展开式中有x的一次项 √ √ 解析：的展开式的通项为=·3r·，r=0，1， 2，…，n，的展开式的通项为=·，k=0，1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 2，…，n.则二项式（n∈N*）的展开式的通项为·3r···，未知数x的次数为+4k-n=--+4k，令--+4k=0，即3r+n=8k，r=1，k=1，n=5是其中一组解，此时，·3r· ··=×3×=75，故展开式中有常数项，且常数项不为0，故A正确，B错误；令--+4k=1，即3r+n+2=8k，r=0，k=1，n=6是其中一组解，此时，·3r···=×30×x3××x-2=6x，故展开式中有x的一次项，且一次项的系数不为0，故D正确，C错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）在（2x-1）6的展开式中，x3的系数是__________.（用数字作答）  -180 解析：由题意得，（2x-1）6的展开式中含x3的项为 x（2x）2（-1）4+（2x）4（-1）2=-180x3， 所以展开式中x3的系数为-180. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）在（ax-y+z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n，k），若f（3，2，2）=，则a的值为________.  解析：因为在（ax-y+z）7的展开式中，记xmynzk项的系数为f（m，n， k），所以xmynzk项的系数f（m，n，k）=am·（-1）n， 即f（m，n，k）=（-1）nam·，由f（3，2，2）=， 可得（-1）2a3=，即35×6a3=，所以a=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（5分）已知（2-）n（n∈N*，n<10）的展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，则（x2-x+y）n的展开式中x5y2的系数为________.  -21 解析：由题意得+=2，即n2-21n+98=0，因为n∈N*，n<10， 所以n=7，所以（x2-x+y）n=（x2-x+y）7.（x2-x+y）7的展开式中含x5y2的项为（x2-x）5y2，因为（x2-x）5的展开式中x5的系数为-， 所以（x2-x+y）7的展开式中x5y2的系数为×（-）=-21. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）在（1+x+x2）n（n∈N）的展开式中，把xk的系数记作，称为三项式系数.数列，，…，称为三项式n次系数列，如三项式0次系数列为1，三项式1次系数列为1，1，1. （1）试写出三项式的2次和3次系数列；（3分） 解：由题意（1+x+x2）2=（x+x2）2+2（x+x2）+1=1+2x+3x2+2x3+x4，三项式的2次系数列为1，2，3，2，1；（1+x+x2）3=（1+2x+3x2+2x3+x4）（1+x+x2）=1+3x+6x2+7x3+6x4+3x5+x6， 三项式的3次系数列为1，3，6，7，6，3，1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）类比杨辉三角中的规律，探究三项式系数的规律（不需要给出证明）；（3分） 解：1 1 1 1 1 2 3 2 1 1 3 6 7 6 3 1 1 4 10 16 19 16 10 4 1 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1 1 6 21 50 90 126 141 126 90 50 21 6 1 规律：每一个数等于它上面一行三个数的和. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （3）写出两个三项式n次系数列的性质（不需要给出证明）.（4分） 解：性质1：在（1+x+x2）n中， 令x=1，可得+++…+=3n， 性质2：在（1+x+x2）n中， 令x=-1，可得-+-…+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知（mx-1）（x-1）11+2x12=a0+a1x+a2x2+…+a10x10 +a11x11. （1）求m的值；（5分） 解：由（mx-1）（x-1）11+2x12的展开式中x12的系数为m+2， 所以m+2=0，即m+2=0，解得m=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求a1+a3+a5+a7+a9+a11的值；（5分） 解：由（-2x-1）（x-1）11+2x12=a0+a1x+a2x2+…+a10x10+a11x11， 令x=1，得a0+a1+a2+…+a10+a11=2， 令x=-1，得（2-1）×（-1-1）11+2=a0-a1+a2-a3+…+a10-a11=-2 046， 两式相减得a1+a3+a5+a7+a9+a11==1 024. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （3）证明：a0+2a1+4a2+…+210a10+211a11能被3整除.（5分） 解：证明：令x=2，可得a0+2a1+4a2+…+210a10+211a11=-5×111+2×212=213-5 =（3-1）13-5=×313-×312+…+×3--5=3×（×312-×311+…+）-6，所以a0+2a1+4a2+…+210a10+211a11能被3整除. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $