6.3.2二项式系数的性质课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第六章 计数原理 §6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 §6.2 排列与组合 §6.3 二项式定理 索引 选择性必修 第三册 1 6.3.2 二项式系数的性质 观察(a+b)n的系数，有很多有趣的性质，而且我们可以从不同角度进行研究。 观察上面各式的系数，你有什么发现？ 系数 1 系数 1 1 系数 1 2 1 系数 1 3 3 1 你能根据这个规律写出(a+b)4的系数吗？ 索引 §6.3 二项式定理 ………… 索引 §6.3 二项式定理 杨辉，字谦光，汉族，钱塘（今浙江省杭州）人，南宋杰出的数学家。他是世界上第一个排出丰富的纵横图和讨论其构成规律的数学家。与秦九韶、李冶、朱世杰并称“宋元数学四大家”。 杨辉三角是由排列成三角形的数码、中国古代数学的名词术语和横线下方的五句歌决构成的数表。杨辉三角是中国古代数学的杰出研究成果之一，把组合数内在的一些代数性质直观地从图形中体现出来，是一种离散型的数与形的结合。若将顶层称为第0层，则杨辉三角的第n层正好对应二项式(a+b)n展开的系数。 索引 §6.3 二项式定理 1. 对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等。 直线 将函数 的图象分成对称的两部分它是图象的对称轴。 当n=6时 索引 §6.3 二项式定理 2. 增减性与最大值 当 ，即 时， 随k的增加而增大； 由对称性知，当 ， 随k的增加而减小。 当n是偶数时，中间的一项 取得最大值；当n是奇数时，中间的两项 与 相等，且同时取得最大值。 索引 §6.3 二项式定理 3. 各二项式系数的和 法一： 令 x=1 这就是说，(a+b)n的展开式的各二项式系数的和等于2n 法二：设集合{ a1，a2，a3，…，an } 集合的子集个数为2n 集合的子集又可以表示成 索引 §6.3 二项式定理 推论：在(a+b)n的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 令 a=1，b=-1 索引 §6.3 二项式定理 【例4】（多选）我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中展示了二 项式系数表,即杨辉三角，如图所示,数学爱好者对杨辉三角做了广泛的研究.则下列结论 正确的是( ) ABD A.第6行、第7行、第8行的第7个数之和为 第9行的第8个数 B. C.第2 024行的第1 012个数最大 D.第12行中从左到右第2个数与第3个数之 比为 索引 §6.3 二项式定理 9 【解析】 题图中杨辉三角的第6行、第7行、第8行的第7 个数分别为1,7,28,其和为 ，而第9行第8个数 就是36. 因为 , ,所以 . 由题图可知第行有个数,如果是偶数,则第 （最中间的）个数最大； 如果是奇数,则第和第 个数最大,并且这两个数一样大,所以第2 024行的第 1 013个数最大. 依题意，第12行从左到右第2个数为,第12行从左到右第3个数为 , 所以第12行中从左到右第2个数与第3个数之比为 . 索引 §6.3 二项式定理 10 【例5】已知 的展开式的二项式系数和为256,则展开式中系数最大的项为( ) C A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 【解析】 已知,故,所以 的展开式的通项为 ,故奇数项的系数为正数,偶数项 的系数为负数.因为,,,所以 , ，故 最大,因此展开式中第7项的系数最大. 索引 §6.3 二项式定理 11 【例6】（多选）若 的展开式中第5项的二项式系数最大,则 的取值可 能为( ) AB A.8 B.9 C.10 D.11 【解析】 当时，此时展开式有9项,第5项二次项系数 最大,故满足题意； 当时，此时展开式有10项,第5项二次项系数与第6项二次项系数 相等且最 大,故满足题意； 当时，此时展开式有11项,第6项二次项系数 最大,不满足题意； 当时，此时展开式有12项,第6项二次项系数与第7项二次项系数 相等 且最大,不满足题意. 索引 §6.3 二项式定理 12 【例7】在展开式中, 的奇数次幂的项的系数和为( ) A A. B.64 C. D.32 【解析】 设 , 令，可得 , 令，可得 , 所以两式相减可得 , 即在展开式中,的奇数次幂的项的系数和为 . 索引 §6.3 二项式定理 13 $$