6.3.1 二项式定理-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

6.3 二项式定理 6.3.1 二项式定理 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.二项式定理 二项式 定理 （a+b）n= （n∈N*） 展开式 右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式，展开式中共有项 二项式 系数 各项的系数 通项 （a+b）n展开式的第项叫做二项展开式的通项，记作Tk+1= an+an-1b1+…+an-kbk+…+bn n+1 （k=0，1，2，…，n） k+1 an-kbk |微|点|助|解| （1）二项展开式共有n+1项，各项中a，b的指数和都是n. （2）a按降幂排列，指数由n逐项减1直到0；b按升幂排列，指数由0逐项加1直到n. （3）a与b的位置不能交换. （4）对于任意的实数a，b，该等式都成立，若a=1，b=x， 则有（1+x）n=+x+x2+…+xk+…+xn. 2.二项式系数和项的系数的区别 （1）二项展开式中的二项式系数是指，，…，这些组合数，与a，b无关. （2）展开式中项的系数则是展开式中关于某一个（或两个）字母的系数，与a，b有关，项的系数未必是正数. 1.若（2x-3）n+3的展开式中共有15项，则自然数n的值为（　　） A.11 B.12 C.13 D.14 基础落实训练 √ 解析：因为（2x-3）n+3的展开式中共n+4项，所以n+4=15，即n=11. 2.展开式中的常数项为（　　） A.80 B.-80 C.40 D.-40 √ 3.（1+2x）5的展开式的第三项的系数为_______，第三项的二项式系数为_______.  　 40 10 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　二项式定理的正用、逆用 [例1]　（1）求的展开式. 解：=（3）4+（3）3+（3）2 +（3）+=81x2+108x+54++. （2）化简：（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5（x-1）. 解：因为[（x-1）+1]5=（x-1）5+（x-1）4+（x-1）3+（x-1）2 +（x-1）+1=（x-1）5+5（x-1）4+10（x-1）3+10（x-1）2+5（x-1）+1，所以（x-1）5+5（x-1）4+…+5（x-1）=x5-1. 　　|思|维|建|模|　运用二项式定理的解题策略 （1）正用：求形式简单的二项展开式时可直接由二项式定理展开，展开时注意二项展开式的特点：前一个字母是降幂，后一个字母是升幂.形如（a-b）n的展开式中会出现正负交替的情况.对较繁杂的式子，需先化简再用二项式定理展开. （2）逆用：逆用二项式定理可将多项式化简，对于这类问题的求解，要熟悉公式的特点、项数、各项幂指数的规律以及各项的系数. [注意]　逆用二项式定理时如果各项的系数是正负相间的，则结果是（a-b）n的形式. 针对训练 1.若（1+）4=a+b（a，b均为有理数），则a+b=（　　） A.33 B.29 C.23 D.19 √ 解析：∵（1+）4=×（）0+×（）1+×（）2+×（）3+×（）4=17+12=a+b，∴a=17，b=12，∴a+b=29，故选B. 2.已知0<p<1. （1）写出[p+（1-p）]n的展开式； 解：由0<p<1，得0<1-p<1，所以[p+（1-p）]n=pn+pn-1（1-p）+pn-2（1-p）2+…+p（1-p）n-1+（1-p）n. （2）化简：p3+p2（1-p）+p（1-p）2+（1-p）3. 解：二项式定理逆向使用，将展开式进行合并， 原式=[p+（1-p）]3=（p+1-p）3=13=1. 题型（二）　二项式系数和项的系数 [例2]　（1）求的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数； 解：由已知得展开式通项为Tk+1=（2）6-k· =26-k·（-1）k·，∴T6=26-5·（-1）5·=-12. ∴第6项的二项式系数为=6，第6项的系数为-12. （2）求的展开式中x3的系数. 解：设展开式中的第（k+1）项为含x3的项， 则Tk+1=x9-k·=（-1）k··， 令9-2k=3，得k=3，即展开式中第4项含x3， 其系数为（-1）3·=-84. 　　|思|维|建|模| 正确区分二项式系数与项的系数 　　二项式系数与项的系数是两个不同的概念，前者仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，后者与二项式、二项式的指数及项数均有关. 针对训练 3.（2024·北京高考）在（x-）4的展开式中，x3的系数为（　　） A.6 B.-6 C.12 D.-12 √ 解析：（x-）4的展开式的通项Tr+1=x4-r（-）r =（-1）r（r=0，1，2，3，4）.由4-=3，得r=2， 所以（x-）4的展开式中x3的系数为（-1）2=6. 4.已知的展开式中，第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3. （1）求n的值； 解：因为二项式的展开式中第2项、第3项的二项式系数分别为，，所以=，即=，解得n=7. （2）求展开式中含项的系数. 解：因为展开式的通项为Tk+1=（3）7-k·=37-k， 当=-1时，k=3， 所以展开式中含项的系数为34=2 835. 题型（三）　二项展开式的特定项 [例3]　已知展开式中第三项的系数比第二项的系数大162，求： （1）n的值； 解：因为T3=（）n-2=4， T2=（）n-1=-2， 依题意得4+2=162，所以n2=81. 因为n∈N*，所以n=9. （2）展开式中含x3的项. 解：设第r+1项含x3，则Tr+1=（）9-r =（-2）r，所以=3，解得r=1， 所以第二项为含x3的项，T2=-2x3=-18x3. 　　[变式拓展] 1.在本例条件下，求二项展开式中的常数项. 解：因为Tr+1=（-2）r，若Tr+1为常数项，则9-3r=0，所以r=3，因此常数项为第4项，即（-2）3=-672. 2.在本例条件下，求二项展开式中的所有有理项. 解：因为Tr+1=（-2）r，若Tr+1为有理项，当且仅当为整数.因为0≤r≤9，r∈N，所以r=1，3，5，7，9，即展开式中的有理项共5项，它们分别是T2=-18x3，T4=-672，T6=-，T8=-，T10=-. 　　|思|维|建|模| 求二项展开式中特定项的步骤 针对训练 √ 5.若的展开式的常数项为60，则实数a的值为（　　） A.4 B.2 C.8 D.6 解析：的展开式的通项为Tr+1=x6-r =（-1）rx6-3r.令6-3r=0，解得r=2， 则常数项为（-1）2a=60，解得a=4. √ 6.在的展开式中，系数为有理数的项是（　　） A.第3项 B.第4项 C.第5项 D.第6项 解析：在的展开式中， 根据通项Tk+1=（x2）7-k可知， k=4时系数为有理数，即第5项的系数为有理数. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.（x-1）12的展开式的第8项的系数是 （　　） A.- B. C.- D. √ 解析：由题意得Tk+1=x12-k（-1）k（k=0，1，2，…，12），令k=7，得T8=x5（-1）7=-x5，所以（x-1）12的展开式的第8项的系数是 -.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在的二项展开式中，x的系数为（　　） A.10 B.-10 C.40 D.-40 √ 解析：Tr+1=（2x2）5-r=（-1）r·25-rx10-3r，令10-3r=1， 得r=3.所以x的系数为（-1）325-3=-40. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.在的展开式中，x的幂指数是整数的项共有（　　） A.3项 B.4项 C.5项 D.6项 √ 解析：Tk+1=··=·，则k=0，6，12，18，24时，x的幂指数为整数，所以x的幂指数是整数的项共有5项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.的展开式中含x3的项的系数为（　　） A.20 B.-20 C.40 D.-40 √ 解析：的展开式的通项为Tk+1=（4x2）5-k= 45-k，令10-k=3，解得k=3，则含x3的项的系数为45-3=-20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在的展开式中含有常数项，则正整数n的最小值为（　　） A.4 B.5 C.6 D.7 √ 解析：Tk+1=（3x2）n-k=3n-k·x2n-5k，令2n-5k=0，∴n=k.∴正整数n的最小值为5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知（其中a>0）的展开式中的第7项为7，则展开式中的有理项共有（　　） A.6项 B.5项 C.4项 D.3项 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：展开式的第7项为T7=（x2）n-6·=（-a）6x2n-14，由题意，得2n-14=0，（-a）6=7（a>0），所以n=7，a=1，则展开式的通项为Tk+1=（-1）kx14-2k=（-1）k，k=0，1，2，…，7，令∈Z，则k=0，3，6，所以展开式中的有理项共有3项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知的展开式中x2的系数为15，则x7的系数为（　　） A.420 B.640 C.720 D.960 √ 解析：由展开式的通项为Tk+1=（ax2）6-k= （-1）k·a6-k·2-k，令12-=2，解得k=4， 则x2的系数（-1）4·a2·2-4=a2=15，所以a2=16.令12-=7， 解得k=2，则x7项的系数为（-1）2·a4·2-2=960. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.对任意实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a2的值为 （　　） A.3 B.6 C.9 D.21 √ 解析：∵x3=（x-2+2）3=（x-2）3+（x-2）2×2+（x-2）×22+×23=8+12（x-2）+6（x-2）2+（x-2）3，∴a2=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.[多选]已知在的二项展开式中，第6项为常数项，则（　　） A.n=10 B.展开式中项数共有13项 C.含x2的项的系数为 D.展开式中有理项的项数为3 √ √ √ 解析：依题意，展开式的通项为Tr+1=·· =··，因为第6项为常数项，所以当r=5时， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 有=0，解得n=10，故A正确；由n=10，得展开式中项数共有10+1=11项，故B错误；令=2，得r=（n-6）=×（10-6）=2，所求含x2项的系数为×=，故C正确；由令=k，则10-2r=3k，即r=5-k.因为r∈N，所以k应为偶数，所以k可取2，0，-2，即r可以取2，5，8，所以第3项、第6项、第9项为有理项，即展开式中有理项的项数为3，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.在二项式的展开式中，二项式系数的和为64，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：在二项式展开式中，二项式系数的和为2n=64=26，所以n=6.则即，通项为Tr+1=··，r=0，1，2，…，6，故展开式共有7项，当r=0，4时，展开式为有理项，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻，即把其他的5个无理项先任意排，再把这两个有理项插入其中的6个空中，方法共有种，故有理项都互不相邻的概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）+2+22+…+2n=_________.  3n 解析：原式=20+21+22+…+2n=（1+2）n=3n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）（2024·天津高考）在的展开式中，常数项为_______.  20 解析：展开式的通项Tk+1==·36-2k·x6k-18.令6k-18=0，则k=3，所以常数项为T4=·30·x0=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（5分）“算两次”是一种重要的数学方法，也称作富比尼（G.Fubini）原理.“为了得到一个方程，我们必须把同一个量以两种不同的方法表示出来”（波利亚著《数学的发现》第一卷），即将一个量“算两次”.由等式（1+x）2n=（1+x）n（x+1）n，n∈N*，n≥2，利用“算两次”原理可得（）2+（）2+（）2+…+（）2+（）2=________.（结果用组合数表示）  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为（1+x）n（x+1）n =（+x+x2+…+xn）（xn+xn-1+xn-2+…+）， 因此（）2+（）2+（）2+…+（）2+（）2 是展开式中xn项的系数，而（1+x）2n的展开式中xn项的系数为，所以（）2+（）2+（）2+…+（）2+（）2=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）已知（n∈N*）的展开式中前3项的二项式系数之和等于29. （1）求n的值；（5分） 解：由题设，++=29，即1+n+=29，整理得n2+n-56=0， 解得n=-8或n=7， 因为n∈N*，所以n=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若展开式中x4的系数为56，求实数a的值.（5分） 解：由（1）知，二项展开式通项为Tr+1=（ax-2）7-rxr=a7-rx-14+3r. 令-14+3r=4，得r=6，则T7=ax4=7ax4， 又展开式中x4的系数为56，则7a=56，得a=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（10分）已知二项式. （1）求展开式的第4项；（3分） 解：的二项展开式通项是Tk+1= =36-kx-k=36-k（k=0，1，2，…，6）. 当k=3时，展开式的第4项为T4==-160. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）求展开式中的有理项；（4分） 解：由（1）知 的二项展开式通项是 36-k，有理项是使变量的指数为整数的项，故只需3-∈Z，且k=0，1，2，…，6，解得k=0，2，4，6，因此有理项分别为T1=36=729x3，T3=x0 =540，T5=32x-3=，T7=30x-6=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （3）求展开式中的常数项.（3分） 解：由（1）知 的二项展开式通项是36-k（k=0，1，2 6），常数项即为变量的指数为0的项，令3-=0，解得k=2，因此常数项为T3=34x0=540. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $