6.2.3-6.2.4 第2课时 组合的综合应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

组合的综合应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步加深对组合概念的理解.掌握几种有限制条件的排列，能应用组合数公式解决简单的实际问题. 2.正确识别排列组合中的分组、分配问题，与几何图形有关的组合问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　有限制条件的组合问题 题型（二） 与几何有关的组合问题 题型（三）　分组、分配问题 4 课时跟踪检测 题型（一）有限制条件的组合 问题 01 [例1]　从5名男生和4名女生中选出4人去参加一项创新大赛. （1）如果4人中男生、女生各选2人，那么有多少种选法? 解：4人中男生和女生各选2人，共有×=10×6=60（种）选法. （2）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，那么有多少种选法? 解：除去甲、乙之外，其余2人可以从剩下的7人中任意选择，则男生中的甲和女生中的乙必须在内共有=21（种）选法. （3）如果男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，那么有多少种选法? 解：法一　直接法　男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内，包含两种情况，第一种情况：甲和乙都在内，有=21（种）选法，第二种情况：甲、乙只有1人在内，有=70（种）选法，则男生中的甲和女生中的乙至少要有1人在内共有21+70=91（种）选法. 法二　间接法　男生中的甲和女生中的乙都不在内，共有=35（种）选法，则可得男生中的甲和女生中的乙至少有1人在内共有-= 126-35=91（种）选法. （4）如果4人中必须既有男生又有女生，那么有多少种选法? 解：法一　直接法　如果4人中必须既有男生又有女生，可以按含有女生的人数分成三类：1男3女；2男2女；3男1女.则4人中必须既有男生又有女生共有++=20+60+40=120（种）选法. 法二　间接法　如果4人中必须既有男生又有女生，先从所有9人中选4人，再去掉只有男生和只有女生的情况，故共有--=120（种）选法. 　　|思|维|建|模| 有限制条件的组合问题的解题策略 有限制条件的抽（选）取问题，主要有两类： 一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的可把所指元素去掉再取，分步计数； 二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏. 针对训练 1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务活动，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 （　　） A.24 B.14 C.28 D.48 √ 解析：法一　分两类完成：第1类，选派1名女生、3名男生，有种选派方案；第2类，选派2名女生、2名男生，有种选派方案. 故共有+=14（种）不同的选派方案. 法二　6人中选派4人的组合数为，其中都选男生的组合数为，所以至少有1名女生的选派方案有-=14（种）. 2.20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有 （　　） A.120种 B.240种 C.360种 D.720种 √ 解析：先在编号为2号，3号的盒内分别放入1个球和2个球，还剩17个小球，三个盒内每个至少再放入1个，将17个球排成一排，有16个空隙，插入2块隔板分为三堆放入三个盒中即可，共有=120（种）放法. 3.（2023·新课标Ⅰ卷）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）.  64 解析：由题意，可分三类：第一类，体育类选修课和艺术类选修课各选修1门，有种方案；第二类，在体育类选修课中选修1门，在艺术类选修课中选修2门，有种方案；第三类，在体育类选修课中选修2门，在艺术类选修课中选修1门，有种方案.综上，不同的选课方案共有++=64（种）. 题型（二）与几何有关的组合 问题 02 [例2]　平面上有9个点，其中有4个点共线，除此外无3点共线. （1）这9个点，可确定多少条不同的直线? 解：法一　直接法　共线的4点记为A，B，C，D. 第一类：A，B，C，D确定1条直线；第二类：A，B，C，D以外的5个点可确定条直线； 第三类：从A，B，C，D中任取1点，其余5点中任取1点可确定条直线.根据分类加法计数原理，共有不同直线1++=1+10+20=31（条）. 法二　间接法　9个点取2个点共有种，4个共线点取2个共有种，以上均表示同一条直线，则可确定不同的直线-+1=31（条）. （2）以这9个点中的3个点为顶点，可以确定多少个三角形? 解：法一　直接法　第一类：从A，B，C，D中取2个点，其余5点中任取1点，可得个三角形； 第二类：从A，B，C，D中取1个点，其余5点中任取2点，可得个三角形； 第三类：从其余5个点中任取3点，可得个三角形. 共有++=80（个）三角形. 法二　间接法　9个点取3个点共有种，其中不能构成三角形的是在4个共线点取3个共有种，可确定三角形-=80（个）. （3）以这9个点中的4个点为顶点，可以确定多少个四边形? 解：法一　直接法　分三类：从其余不共线的5个点中任取4个、3个、2个点共得++=105（个）四边形. 法二　间接法　9个点取4个点共有种，其中不能构成四边形的分为两类：第一类：4个点共线则有种，第二类其中3点来自于共线的4点，第4点来自于其余的5个点，则有种，故可确定四边形--=105（个）. 　　|思|维|建|模| 解答几何图形组合问题的策略 （1）解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理. （2）图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算.常用直接法，也可采用间接法. 针对训练 4.（1）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四面体? 解：正方体8个顶点可构成个四点组，其中四点共面的情况为正方体的6个表面及正方体6组相对棱分别所在的6个平面， 所以可确定四面体有-12=58个. （2）以正方体的顶点为顶点，可以确定多少个四棱锥? 解：由（1）知，正方体中共面的四点组有12个，以这每一个四点组构成的四边形为底面，以正方体其余的四个顶点中任一点为顶点都可以确定一个四棱锥，所以可确定四棱锥有12=48个. 题型（三）　分组、分配问题 03 角度1　不同元素分组、分配问题 [例3]　6本不同的书，分为3组，在下列条件下各有多少种不同的分配方法? （1）每组2本（平均分组）； 解：每组2本，均分为3组的分组种数为==15. （2）一组1本，一组2本，一组3本（不平均分组）； 解：一组1本，一组2本，一组3本的分组种数为=20×3=60. （3）一组4本，另外两组各1本（局部平均分组）. 解：一组4本，另外两组各1本的分组种数为==15. 　　|思|维|建|模| “分组”与“分配”问题的解法 （1）分组问题属于“组合”问题，常见的分组问题有三种： ①完全均匀分组，每组的元素个数均相等，均匀分成n组，最后必须除以n!； ②部分均匀分组，应注意不要重复，有n组均匀，最后必须除以n!； ③完全非均匀分组，这种分组不考虑重复现象. （2）分配问题属于“排列”问题，可以按要求逐个分配，也可以分组后再分配. 角度2　相同元素分配问题 [例4]　将6个相同的小球放入4个编号为1，2，3，4的盒子，求下列方法的种数. （1）每个盒子都不空； 解：先把6个相同的小球排成一行，然后在小球之间5个空隙中任选3个空隙各插一块隔板，故共有=10（种）放法. （2）恰有一个空盒子. 解：恰有一个空盒子，第一步先选出一个盒子，有种选法，第二步在小球之间5个空隙中任选2个空隙各插一块隔板，由分步乘法计数原理得，共有·=40（种）放法. 　　|思|维|建|模| 相同元素分配问题的处理策略 （1）隔板法：如果将放有小球的盒子紧挨着成一行放置，便可看作排成一行的小球的空隙中插入了若干隔板，相邻两块隔板形成一个“盒”.每一种插入隔板的方法对应着小球放入盒子的一种方法，此方法称之为隔板法.隔板法专门解决相同元素的分配问题. （2）将n个相同的元素分给m个不同的对象（n≥m），有种方法.可描述为（n-1）个空中插入（m-1）块隔板. 针对训练 5.某体育赛事组委会需从甲、乙、丙、丁4位志愿者中选3位安排到物资分发、路线指引、医疗协助三个不同服务点，每个服务点1人.已知甲不能安排在物资分发服务点，且乙不能在路线指引服务点，则不同的安排方法共有 （　　） A.8种 B.10种 C.12种 D.14种 √ 解析：若甲不入选，则有=4种安排方法；若乙不入选，则有=4种安排方法；若甲、乙同时入选，则有=6种安排方法；综上所述，共有4+4+6=14种安排方法. 6.在某地“村超”总决赛阶段，某校足球社的5名学生准备分成三组前往村超球队所在的平地村、口寨村、忠诚村3个村寨进行调研，每组至少1人，其中甲、乙2人不能分在同一组，每个村各有一组来调研，则不同的安排方法种数是 （　　） A.114 B.120 C.150 D.180 √ 解析：根据题意，5名学生分成三组，分组方法分为两种：①3∶1∶1分组：总分组方式为=10种，其中甲、乙同在三人组的方式有=3种，故符合条件的为10-3=7种；②2∶2∶1分组：总分组方式为=15种，其中甲、乙同在两人组的方式为=3种，故符合条件的为15-3=12种.由分类加法计数原理，总分组方式为7+12=19种，三组对应三个村寨的排列方式为=6种，故最终总方法数为19×6=114种. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.（2023·全国乙卷）甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有 （　　） A.30种 B.60种 C.120种 D.240种 √ 解析：甲、乙二人先选1种相同的课外读物，有C1 6=6（种）情况，再从剩下的5种课外读物中各自选1本不同的读物，有=20（种）情况，由分步乘法计数原理可得共有6×20=120（种）选法，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.某班计划从3位男生和4位女生中选出2人参加辩论赛，并且至少1位女生入选，则不同的选法的种数为 （　　） A.12 B.18 C.21 D.24 √ 解析：可分两种情况：第一种情况，只有一位女生入选，不同的选法有=12种，第二种情况，有2位女生入选，不同的选法有=6种，根据分类加法计数原理知，至少1位女生入选的不同的选法的种数为12+6=18. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.将5名医生分配到三个社区协助开展社区老年人体检活动，每个社区至少1人，则不同的分配方法有 （　　） A.50种 B.150种 C.240种 D.300种 √ 解析：可以分组为1，1，3或1，2，2两种情况，若分组为1，1，3，则有2=60；若分组为1，2，2，则有=90.则不同分法为60+90=150种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.班会课上搞活动，18个同学被平均分成了6组，现从中选5位同学，要求这5人由其中1组的3人与其他两组的各1人组成，那么不同的选取方案有 （　　） A.90种 B.180种 C.270种 D.540种 √ 解析：由题意可知，18个同学被平均分成了6组，每组3人，由题意，先从这6组中指定1组，从这组抽取3人，然后从剩余的5组中指定2组，每组抽1人，由分步乘法计数原理可知，不同的选取方案种数为···=6×10×3×3=540. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.“142857”这一串数字被称为走马灯数，是世界上著名的几个数之一，当142857与1至6中任意1个数字相乘时，乘积仍然由1，4，2，8，5，7这6个数字组成.若从1，4，2，8，5，7这6个数字中任选4个数字组成无重复数字的四位数，则在这些组成的四位数中，大于5 200的偶数个数是 （　　） A.87 B.129 C.132 D.138 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：若千位数字是5，则百位数字不能是1，故共有= 27（个）；若千位数字是7，则共有=36（个）；若千位数字 是8，则共有=24（个）.故符合条件的四位数共有27+36+24= 87（个）.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是 （　　） A.24 B.48 C.72 D.96 √ 解析：根据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，此时共有种摆放方法；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有种摆放方法.由分类加法计数原理，得共有+=48种摆放方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题的概率为 （　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取两个不同主题准备作文，共有=15种，所以甲、乙两位参赛同学抽取两个不同主题准备作文，共有=225种，两位参赛同学抽到一个相同主题准备作文，有=120种，则甲、乙两位参赛同学抽到一个相同主题准备作文的概率为P==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.社火，又称“演社火”，是指在传统节日里扮演的各种杂戏，属于民间的一种自演自娱活动，也是国家级非物质文化遗产的代表性项目.某地举行的一次社火活动一共持续了三天，5名小朋友希望参加该活动，每天从中任选2名小朋友参加，则这5人中恰有1人连续参加三天的选法有 （　　） A.210种 B.300种 C.360种 D.480种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：从5个人中任选一个人连续参加三天的活动，有5种选择， 若剩下的4个人中有2人参加了此项活动，则有一个人参加了其中两天的活动，有种方法；若剩下的4个人中有3人参加了此项活动， 则这三个人每人参加其中一天的活动，有种方法，因此共有5（+）=300种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.某户外探险俱乐部组织10名成员（6名男性，4名女性）前往某无人岛进行野外生存挑战.为了便于管理和保障安全，需将这10人平均分成两组（不区分两组的顺序），且4名女性不能在同一组，则不同的分组方法共有 （　　） A.60种 B.120种 C.180种 D.720种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由题意可知分两种情况：一种是2名女性和3名男性一组，剩下5人一组，则有=60种方法；一种情况是1名女性和4名男性一组，剩下5人一组，则有=60种方法，由分类加法计数原理可知共有60+60=120种不同的分组方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.用4种不同的颜色为一个固定位置的正方体的六个面着色，要求相邻的两个面颜色不同，则不同的着色方法有 （　　） A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：法一　若正方体的上、下面同色，则有（3×2×2×2-）=72种； 若正方体的上、下面不同色，则有2=24种.可得（3×2×2×2-）+2=96，即不同的着色方法有96种. 法二　若上、下面同色，前、后面同色，则有22种；若上、下面同色，前、后面异色，则有12×种；若上、下面异色，前、后面同色，则有12×种.可得22×+12×+12×=96，即不同的着色方法有96种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）某果农计划在A，B，C，D这4个地块上种植2种不同的果树，每个地块只种植一种果树，有苹果、梨、桃子、杏4种果树可供选择，则不同的种植方案数为_________.（用数字作答）  96 解析：先选两种果树有=6种方案，然后每块地有2种选择，所以不同的种植方案有×24=96种种植方案. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）甲、乙、丙3人站到共有7级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是___________.（用数字作答）  336 解析：当每个台阶上各站1人时有种站法； 当两个人站在同一个台阶上时有种站法. 因此不同的站法种数为+=210+126=336. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（5分）有两条平行直线a和b，在直线a上取4个点，直线b上取5个点，以这些点为顶点作三角形，这样的三角形共有_____个.  70 解析：分两类，第一类：从直线a上任取一个点，从直线b上任取两个点，共有种方法；第二类：从直线a上任取两个点，从直线b上任取一个点，共有种方法.所以满足条件的三角形共有+=70（个）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（15分）已知平面α∥平面β，在α内有4个点，在β内有6个点. （1）过这10个点中的3点作一平面，最多可作多少个不同的平面? （5分） 解：所作出的平面有三类. ①α内1点，β内2点确定的平面，最多有个.②α内2点，β内1点确定的平面，最多有个.③α，β本身，有2个.故所作的平面最多有++2=98（个）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）以这些点为顶点，最多可作多少个三棱锥?（5分） 解：所作的三棱锥有三类.①α内1点，β内3点确定的三棱锥，最多有个.②α内2点，β内2点确定的三棱锥，最多有个.③α内3点，β内1点确定的三棱锥，最多有个.故最多可作的三棱锥有++=194（个）. （3）（2）中的三棱锥最多可以有多少个不同体积?（5分） 解：当等底面积、等高时，三棱锥的体积相等，所以体积不相同的三棱锥最多有++=114（个）.故最多有114个体积不同的三棱锥. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）已知一个宿舍有8名同学（包括甲、乙、丙、丁）. （1）若将8名同学分成两组，且两组人数之差的绝对值大于2，则有多少种不同的分法?（6分） 解：由题意可知，两组的人数分别为1，7或2，6，所以分组种数为+=36. （2）若甲和乙不参与分组，其他6位同学分成三组参加活动，且丙、丁在同一组，则有多少种不同的分法?（9分） 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解：由题意可知，分组的人数分别为1，2，3或2，2，2或1，1，4，①1，2，3的分组情况，因为丙和丁在同一组，若丙和丁在2人的组里，共有=4种情况，若丙和丁在3人组里，有=12种情况，②2，2，2的分组情况，丙和丁在同一组，另外4人均分为2组，共有=3种情况，③1，1，4的分组情况，丙和丁在4人的一组，共有×=6种情况，所以一共有4+12+3+6=25种情况. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $