6.2.3-6.2.4 第1课时 组合与组合数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

6.2.3 组合 6.2.4 组合数 组合与组合数 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.通过实例理解组合的概念，知道组合与排列的区别与联系. 2.能利用计数原理推导组合数公式，并会应用公式解决简单的组合 问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.组合的概念 （1）组合的定义 一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素_________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. （2）组合相同 两个组合只要_________相同，不论元素的顺序如何，都是相同的. 作为一组 元素 |微|点|助|解| 排列与组合的相同点与不同点 （1）相同点：都是从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素. （2）不同点：排列与元素的顺序有关，组合与元素的顺序无关. 2.组合数的概念、公式、性质 组合数 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的___________ _________，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数 符号表示 ___________ 组合 数公式 乘积式 =________________________ 阶乘式 =__________ 性质 =，=+ 规定 =_____ 所有不同组 合的个数 = 1 |微|点|助|解| （1）m≤n，m，n∈N*； （2）==常用于计算；=常用于证明. （3）性质1（互补性质）多用于当m≥时的化简求值；性质2（组合恒等式）的特征为下标相同而上标差1的两个组合数之和，等于下标比原下标多1而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数，多用于恒等变形，简化运算. 1.[多选]下列问题属于组合问题的是 （　　） A.由1，2，3，4构成双元素集合 B.5支球队进行单循环足球比赛的分组情况 C.由1，2，3构成两位数的方法 D.由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法 √ 基础落实训练 √ 解析：由集合元素的无序性可知A属于组合问题；因为每两个球队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，故B是组合问题；C、D中两位数顺序不同数字不同，为排列问题. 2.下列计算结果为21的是 （　　） A.+ B. C. D. √ 解析：==21. 3.若=10，则n=______.  5 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　组合概念的理解 [例1]　判断下列问题是组合问题还是排列问题. （1）a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需比赛多少场? 解：单循环比赛要求两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题. （2）a，b，c，d四支足球队争夺冠、亚军，有多少种不同的结果? 解：冠、亚军是有顺序的，是排列问题. （3）从全班40人中选出3人分别担任班长、副班长、学习委员三个职务，有多少种不同的选法? 解：3人分别担任三个不同职务，有顺序，是排列问题. （4）从全班40人中选出3人参加某项活动，有多少种不同的选法? 解：3人参加某项相同活动，没有顺序，是组合问题. 　　|思|维|建|模| （1）组合的特点是只选不排，组合只是从n个不同的元素中取出m（m≤n）个不同的元素即可，与顺序无关. （2）判断是否与元素的顺序有关.把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；否则，则无顺序，是组合问题. 针对训练 1.以下四个问题，属于组合问题的是 （　　） A.从3个不同的小球中，取出2个排成一列 B.老师在排座次时将甲、乙两位同学安排为同桌 C.在电视节目中，主持人从100位幸运观众中选出2名幸运之星 D.从13位司机中任选出两位开同一辆车往返甲、乙两地 √ 解析：只有从100位幸运观众中选出2名幸运之星，与顺序无关，是组合问题. 2.写出从A，B，C，D，E 5个元素中，依次取3个元素的所有组合. 解：含A的三个元素有ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，不含A含B的三个元素有BCD，BCE，BDE，不含A，B的三个元素有CDE，所以取3个元素的所有组合是ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE. 题型（二）　组合数与组合数公式的应用 [例2]　（1）求值：+++…+； 解：+++…+ =+++…+ =+++…+ =++…+= ==5 985. （2）解不等式：2<3. 解：因为2<3，所以2<3，即<. 又因为所以x≥2.所以<.所以2≤x<，且x∈N*， 所以x=2，3，4，5.所以不等式的解集为{2，3，4，5}. 　　|思|维|建|模| 关于组合数公式的选取技巧 （1）涉及具体数字的可以直接用=·==进行计算. （2）涉及字母的可以用阶乘式=计算. （3）计算时应注意利用组合数的性质=简化运算. 针对训练 3.若=，则+++…+的值为（　　） A.45 B.55 C.120 D.165 √ 解析：因为=，则m+m+2=22，解得m=10， 故+++…+=+++…+ =++…+=++…+=…=+==165. 4.若>，则n的取值集合是（　　） A.{6，7，8，9} B.{6，7，8} C.{n|n≥6，n∈N*} D.{7，8，9} √ 解析：∵>，∴ 即解得6≤n<10.∵n∈N*，∴n=6，7，8，9. ∴n的取值集合为{6，7，8，9}. 5.证明下列各等式. （1）=； 证明：∵右边 =· =·===左边，∴原式成立. （2）+++…+=. 证明：∵左边=（+）+++…+ =（+）++…+ =（+）+…+=（+）+…+ =…=+==右边，∴原式成立. 题型（三）　简单的组合问题 [例3]　一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛.按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人. （1）这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案? 解：从这17名学员中选11人，没有限制条件，则有===12 376种学员上场方案. （2）如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情? 解：在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，则有·=12 376×11=136 136种方式. 　　|思|维|建|模| 解简单的组合应用题的策略 （1）解简单的组合应用题时，首先要判断它是不是组合问题，组合问题与排列问题的根本区别在于：排列问题与取出元素之间的顺序有关，而组合问题与取出元素的顺序无关. （2）要注意两个计数原理的运用，即分类与分步的灵活运用. [注意]　在分类和分步时，一定注意有无重复或遗漏. 针对训练 6.某地环保部门召集6家企业的负责人座谈，其中甲企业有2人到会，其余5家企业各有1人到会，会上有3人发言，则发言的3人来自3家不同企业的可能情况的种数为 （　　） A.15 B.30 C.35 D.42 √ 解析：由于甲有两个人参加会议需要分两类：含有甲的选法有种，不含有甲的选法有种，共有+=30种. 7.袋中装有大小相同、标号不同的白球4个，黑球5个，从中任取3个球. （1）共有多少种不同结果? 解：从4个白球，5个黑球中任取3个球有=84个不同结果. （2）取出的3个球中有2个白球，1个黑球的结果有几个? 解：设“取出的3个球中有2个白球，1个黑球”的所有结果组成的集合为A，A所包含的种数为. 所以共有=30种不同的结果. （3）取出的3个球中至少有2个白球的结果有几个? 解：设“取出的3个球中至少有2个白球”的所有结果组成的集合为B，B所包含的结果数为+. 所以共有+=34种不同的结果. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列四个问题属于组合问题的是 （　　） A.从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作 B.从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数 C.从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式 D.从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长 √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 解析：对于A，从4名志愿者中选出2人分别参加导游和翻译的工作，将2人选出后，还要安排导游和翻译的工作，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于B，从1，2，3，4这4个数字中选取3个不同的数字排成一个三位数，选出三个数字之后，还要将这三个数安排至个位、十位、百位这三个数位，与顺序有关，这个问题为排列问题；对于C，从全班同学中选出3名同学参加学校运动会开幕式，只需将三名同学选出，与顺序无关，这个问题为组合问题；对于D，从全班同学中选出2名同学分别担任班长、副班长，将2人选出后，还要安排班长、副班长两个职务，与顺序有关，这个问题为排列问题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.计算2+的值是（　　） A.62 B.102 C.152 D.540 √ 解析：2+=2+=2×+5×4=62，故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.把三张游园票分给10个人中的3人，分法有 （　　） A.种 B.种 C.种 D.30种 √ 解析：三张票没区别，从10人中选3人即可，即种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.（2023·新课标Ⅱ卷）某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400名和200名学生，则不同的抽样结果共有 （　　） A.·种 B.·种 C.·种 D.·种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题意，初中部和高中部学生人数之比为=，所以抽取的60名学生中初中部应有60×=40（人），高中部应有60×=20（人），所以不同的抽样结果共有·种，故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.某班从包括甲、乙在内的7名学生中，选择4人参加植树活动，则甲、乙两人至多一人参加的方法数有 （　　） A.32 B.30 C.25 D.20 解析：根据题意，7名学生中，选择4人参加植树活动共有=35种 方法， 而甲、乙都参加的情况有=10种方法，则甲、乙两人至多一人参加的方法数有35-10=25. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在10件产品中，有8件合格品，2件次品.从这10件产品中任意抽取3件，则抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是 （　　） A.56 B.64 C.72 D.120 √ 解析：根据题意，抽出的3件产品中至少有1件是次品包含1件次品、2件正品和2件次品、1件正品两个事件，当抽取的为1件次品、2件正品时，抽法有=2×28=56种；当抽取的为2件次品、1件正品时，抽法有=1×8=8种，所以抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法种数是56+8=64. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]下列结论正确的是 （　　） A.= B.=m C.÷= D.= √ √ √ 解析：由组合数性质，知A正确.B中，=n（n-1）（n-2）…（n-m+1），=（n-1）（n-2）…（n-m+1），所以=n，故B错误.对于C，÷===，故C正确.对于D，===，故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.在100，101，102，…，999这些数中，各位数字按严格递增（如“145”）或严格递减（如“321”）顺序排列的数的个数是 （　　） A.120 B.204 C.168 D.216 √ 解析：分两类，第一类不含数字“0”，从1到9的自然数中任意取出 3个，都可以得到严格递增或严格递减顺序排列的三位数，共有2=168个；第二类含有数字“0”，从1到9的自然数中任意取出2个，三个数只能排出严格递减顺序的三位数，共有=36个，根据分类加法计数原理，所以共有168+36=204个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.有四对双胞胎共8人，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为 （　　） A.48 B.72 C.96 D.192 √ 解析：第一步：选一对双胞胎有=4种；第二步：再选两对双胞胎，并从每对双胞胎中各选一人共有×2×2=12种；利用分步乘法计数原理可知，从中随机选4人，则其中恰有一对双胞胎的选法种数为4×12=48. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）不等式-n<5的解集为_________.  {2，3，4} 解析：由-n<5，得-n<5，所以n2-3n-10<0， 解得-2<n<5.由题设条件知n≥2，且n∈N*， 所以n=2，3，4，故原不等式的解集为{2，3，4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）将5个数字5、3个数字3排成一列，组成八位数，共有______个（用数字作答）.  56 解析：数字个数相当于从8位数字中选3个作为3，其余数字都是5， 即共有==56个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（5分）已知-=，则++++的值为_________（用数字作答）.  462 解析：由-=可得-=， 即-=， 化简得1-=，整理得m2-23m+42=0，解得m=2或m=21， 因为0≤m≤5，所以m=2，所以++++=+++ =++=+====462. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）（1）求值：+；（5分） 解：由+可得 解得n=10，则+=+=+=466. （2）若+++…+=55，求正整数n.（5分） 解：+++…+=++++…+-1=+++… +-1=++…+-1=-1=55，故=56=，解得n=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（10分）现有10名教师，其中男教师6名，女教师4名. （1）现要从中选出2名去参加会议，有多少种不同的选法?（5分） 解：从10名教师中选2名去参加会议的选法数，就是从10个不同元素中取出2个元素的组合数，即==45. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有多少种不同的选法?（5分） 解：从6名男教师中选2名的选法有种， 从4名女教师中选2名的选法有种， 根据分步乘法计数原理， 因此共有不同的选法=×=90（种）. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $