6.2.2 第2课时 排列、排列数的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第三册配套课件PPT（人教A版）

排列、排列数的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步学习排列数及排列数公式，掌握几种有限制条件的排列，能应用排列数公式解决简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　元素（位置）有限制 的排列问题 题型（二）　元素“相邻”与“不 相邻”的排列问题　　 题型（三）　定序问题 4 课时跟踪检测 题型（一）　元素（位置）有 限制的排列问题 01 [例1]　从包括甲、乙两名同学在内的7名同学中选出5名同学排成一列，求解下列问题. （1）甲不在首位的排法有多少种? 解：法一　把元素作为研究对象 第一类，不含甲，此时只需从甲以外的其他6名同学中选出5名排在5个位置上，有种排法；第二类，含有甲，甲不在首位，先从除首位以外的其他4个位置中选出1个排甲，再从甲以外的6名同学中选出4名排在另外4个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，有4×种排法.由分类加法计数原理知，共有+4×=2 160（种）排法. 法二　把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的6名同学中选1名排在首位，有种排法；第二步，从占据首位以外的6名同学中选4名排在除首位以外的其他4个位置上，有种排法.由分步乘法计数原理知，共有=2 160（种）排法. 法三　间接法　先不考虑限制条件，从7人中选出5人进行排列，然后把不满足条件的排列去掉. 不考虑甲不在首位的要求，总的可能情况有种，甲在首位的情况有种，所以符合要求的排法有-=2 160（种）. （2）甲既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解：把位置作为研究对象 第一步，从甲以外的6名同学中选2名排在首末2个位置上，有种排法；第二步，从剩下的5名同学中选3名排在中间3个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，共有=1 800（种）排法. [变式拓展] 1.本例条件不变，甲与乙既不在首位也不在末位的排法有多少种? 解：把位置作为研究对象 第一步，从甲、乙以外的5名同学中选2名排在首末2个位置，有种排法；第二步，从剩下的5名同学中选出3名排在中间3个位置上，有种排法.根据分步乘法计数原理，共有=1 200（种）排法. 2.本例条件不变，甲不在首位，同时乙不在末位的排法有多少种? 解：间接法　总的可能情况有种，减去甲在首位的种排法， 再减去乙在末位的种排法，注意到甲在首位，同时乙在末位的排法数被减去了两次，所以还需补回一次种排法，所以共有-2+=1 860（种）排法. 　　|思|维|建|模| 特殊元素、特殊位置问题的解题思路 此类问题的解题原则是谁“特殊”谁优先. 直接法 元素分析法 以元素为主，优先考虑特殊元素 位置分析法 以位置为主，优先考虑特殊位置 间接法 若解题时分类太多，用直接法求解较为麻烦，往往采用间接法 针对训练 1.从六人（含甲）中选四人完成四项不同的工作（含翻译），则甲被选中且甲不参加翻译工作的不同选法共有 （　　） A.120种 B.150种 C.180种 D.210种 √ 解析：依题意可得，甲需从除翻译外的其他三项工作中任选一项，有3种选法，再从其余五人中选三人参加剩下的三项工作，有=60种选法，所以满足条件的不同选法共有3=180种. 2.某班一天上午有4节课，下午有2节课，现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、美术6堂课的课程表，要求数学课不排在下午，体育课不排在上午第1节，则不同的排法总数是__________.（用数字作答）  解析：①若数学在第一节，则有=120种排法； ②若数学不在第一节，则数学有种排法，再排体育有种排法，最后将其余四个科目全排列有种排法，按照分步乘法计数原理可得有=288种排法.综上一共有120+288=408种排法. 408 题型（二）元素“相邻”与“不 相邻”的排列问题　　 02 [例2]　有3名男生（甲、乙、丙）和4名女生相约一起去观看某影片，他们的座位在同一排且连在一起.（列出算式，并计算出结果） （1）女生必须坐在一起的坐法有多少种? 解：先将4名女生排在一起，有种排法，将排好的女生视为一个整体，再与3名男生进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有×=24×24=576种排法. （2）男生甲坐第一个，女生都不坐最后一个的坐法有多少种? 解：从剩下的2名男生中选一位坐在最后一个座位，有2种排法，因为男生甲坐第一个，则剩下的5人进行全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理，共有2×=2×120=240种排法. （3）甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有多少种? 解：7个人全排列，有种排法，甲坐第一个有种排法，乙坐第三个有种排法，甲坐第一个且乙坐第三个有种排法，所以甲不坐第一个，乙不坐第三个的坐法有-2+=5 040-1 440+120=3 720种排法. 　　[变式拓展] 本例条件不变，男生有两人相邻且都不与第三位男生相邻的坐法有多少种? 解：先排4名女生，有种排法，从3名男生中选出2名男生相邻并看成一个整体，有种选法，4名女生排好后产生5个空位，把男生整体和另一名男生插入5个空位中，有种排法，根据分步乘法计数原理，共有××=24×6×20=2 880种坐法. 　　|思|维|建|模| 　　处理元素“相邻”“不相邻”问题应遵循“先整体，后局部”的 原则. （1）元素相邻问题，一般用“捆绑法”，先把相邻的若干个元素“捆绑”为一个大元素与其余元素全排列，然后再松绑，将这若干个元素内部全排列. （2）元素不相邻问题，一般用“插空法”，先将不相邻元素以外的“普通”元素全排列，然后在“普通”元素之间及两端插入不相邻元素. 针对训练 3.某博物馆新增包括A，B在内的8件文物，其中5件是清朝的，3件是唐朝的，且A，B都是清朝的.现将这些文物摆成一排，要求A，B必须相邻，但唐朝的文物不得相邻，则所有不同的摆法种数为 （　　） A.1 440 B.2 160 C.2 880 D.3 050 √ 解析：先排列5件清朝的，由于A，B必须相邻，用捆绑法得排列数有=48；由于唐朝的3件文物不得相邻，用插空法得排列数有=60；由分步乘法计数原理得所有不同的摆法种数为48×60=2 880. 4.为积极落实“双减”政策，丰富学生的课外活动，某校开设了陶艺、剪纸、插花等5门课程.分别安排在周一到周五，每天一节，其中陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方案种数为 （　　） A.18 B.24 C.36 D.42 √ 解析：剪纸和插花课相邻的安排方法有=48种，剪纸和插花课相邻且陶艺课排在周一的安排方法有=12种，故陶艺课不排在周一，剪纸和插花课相邻的课程安排方法种数为48-12=36. 题型（三）　定序问题 03 [例3]　将A，B，C，D，E这5个字母排成一列，要求A，B，C在排列中的顺序为“A，B，C”或“C，B，A”（可以不相邻），则有多少种不同的排列方法? 解：5个不同元素中部分元素A，B，C的排列顺序已定，这种问题有以下两种常用的解法. 法一　整体法　5个元素无约束条件的全排列有种，由于字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”或“C，B，A”，因此在上述的全排列中恰好符合“A，B，C”或“C，B，A”排列方式的排列有×2=40（种）. 法二　插空法　若字母A，B，C的排列顺序为“A，B，C”，将字母D，E插入形成的4个空中，分两类： 第一类，若字母D，E相邻，则有种排法； 第二类，若字母D，E不相邻，则有种排法. 所以有+=20（种）不同的排列方法. 同理，若字母A，B，C的排列顺序为“C，B，A”，也有20种不同的排列方法. 因此满足条件的排列有20+20=40（种）. 　　|思|维|建|模| 　　在有些排列问题中，某些元素的前后顺序是确定的（不一定相邻）.解决这类问题的基本方法有两个： （1）整体法：若有（m+n）个元素排成一列，其中m个元素之间的先后顺序确定不变，将这（m+n）个元素排成一列，有种不同的排法；然后任取一个排列，固定其他n个元素的位置不动，把这m个元素交换顺序，有种排法，其中只有一个排列是我们需要的，因此共有种满足条件的不同排法. （2）插空法：m个元素之间的先后顺序确定不变，因此先排这m个元素，只有一种排法，然后把剩下的n个元素分类或分步插入由以上m个元素形成的空中. 针对训练 5.某电视节目的主持人邀请年龄互不相同的5位嘉宾逐个出场亮相. （1）其中有3位老者要按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种? 解：5位嘉宾无约束条件的全排列有种，由于3位老者的排列顺序 已定，因此满足3位老者按年龄从大到小的顺序出场，出场顺序有=20（种）. （2）3位老者与2位年轻人都要分别按从大到小的顺序出场，出场顺序有多少种? 解：5位嘉宾无约束条件的全排列有种， 由于3位老者的排列顺序已定，2位年轻人的排列顺序已定， 所以出场顺序有=10（种）. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.某天上午要排语文、数学、体育、计算机四节课，其中体育不排在第一节，那么这天上午课程表的不同排法共有 （　　） A.6种 B.9种 C.18种 D.24种 √ 解析：先排体育有种，再排其他的三科有种， 共有=18（种）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.4名男生2名女生排成一排，要求两名女生排在一起的排法总数为 （　　） A.48 B.96 C.120 D.240 √ 解析：第一步将两名女生看作一个整体与4名男生全排列，第二步将两名女生内部排列，即=240. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.某班级从A，B，C，D，E，F六名学生中选四人参加4×100 m接力比赛，其中第一棒只能在A，B中选一人，第四棒只能在A，C中选一人，则不同的选派方法共有 （　　） A.24种 B.36种 C.48种 D.72种 √ 解析：若第一棒选A，则有种选派方法；若第一棒选B，则有2种选派方法.由分类加法计数原理知，共有3=36（种）选派方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为 （　　） A.3×3! B.3×（3!）3 C.（3!）4 D.9! √ 解析：利用“捆绑法”求解，满足题意的坐法种数为·（）3 =（3!）4.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.某道菜的制作需要用到鸡汤、鸡脯肉、香菌、新笋、豆腐干、果干、茄子净肉共七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，鸡汤最后下锅，则制作这道菜时不同的下锅顺序共有 （　　） A.12种 B.16种 C.24种 D.28种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为鸡汤最后下锅，所以将鸡脯肉、（香菌、新笋、豆腐干）、果干、茄子净肉四个元素进行全排列.因为结果包含两种情况：茄子净肉在鸡脯肉前下锅、茄子净肉在鸡脯肉后下锅，所以茄子净肉在鸡脯肉后下锅的情况有=12种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知某停车场一排有10个停车位，已经有一辆停在左边第二个位置，现又有3辆汽车需要停放，停放之后要求这3辆汽车的两边都有空位，则停放的方法有 （　　） A.4种 B.20种 C.24种 D.120种 √ 解析：假设车位是可以移动的，先把三辆车分别放在8，9，10车位上，然后把这三个车位移出来，再放到第3，4，5，6，7车位之间产生的空位上，则停放的方法有=24种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，每名员工最多值班一天.已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有 （　　） A.184种 B.196种 C.252种 D.268种 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人安排到假期的四天值班，一共有=360种方法；甲在第一天值班有=60种方法；乙在第四天值班有=60种方法；甲在第一天值班且乙在第四天值班有=12种方法；因此从甲、乙、丙、丁、戊、己六人中选出四人值班，甲在第一天不值班，乙在第四天不值班共有360-60-60+12=252种方法. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.某演出有3个舞蹈、2个歌曲、1个语言类共6个节目，要求语言类节目不能第一个出场，歌曲类节目不能相邻出场，则不同的出场方式共有 （　　） A.480种 B.444种 C.408种 D.360种 √ 解析：依题意，因语言类节目不能第一个出场，可以考虑间接法： 即先将1个语言类与3个舞蹈节目全排列，再将2个歌曲节目在留下的5个空中插空，有·种方法，减去这个语言类节目排在第一个出场时的方法数，即先将3个舞蹈节目全排列，再将2个歌曲节目在除去第一个节目前的空留下的4个空中插空，有·种方法，故不同的出场方式共有·-·=480-72=408种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.某校开展“迎奥运阳光体育”活动，共设踢毽、跳绳、拔河、推火车、多人多足五个集体比赛项目，各比赛项目逐一进行.为了增强比赛的趣味性，在安排比赛顺序时，多人多足不排在第一场，拔河排在最后一场，踢毽在跳绳的前面，则不同的安排方案种数为 （　　） A.9 B.18 C.21 D.24 √ 解析：因为拔河排在最后一场，且多人多足不排在第一场，先排第一场，有=3种，再排剩余三场，有=6种，共有3×6=18种，又因为踢毽在跳绳的前面，根据对称性可知不同的安排方案种数为=9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.将0，1，2，9，19，20六个数按任意次序排成一行，拼成一个8位数，则产生的不同的8位数的个数是 （　　） A.498 B.516 C.534 D.546 √ 解析：将0，1，2，9，19，20六个数按任意次序排成一行，拼成一个8位数，由于首位不能为0，则有5×=600（个），其中“20”出现2次，即“2”与“0”相邻且“2”在“0”前的排法有=60（种），“19”出现2次，即“1”与“9”相邻且“1”在“9”前的排法有=48（种），“20”和“19”都出现2次的排法有=6（种），因此满足条件的8位数的个数为600-60-48+6=498. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.（5分）五位同学站成一排合影，甲站在最右边，乙、丙相邻，则不同的站法种数为________.  12 解析：由乙、丙相邻，将两人视为一个整体，可看作共四位同学，又甲站在最右边，只有1种情况，所以不同站法种数为1××=12. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.（5分）书架上某层有6本不同的书，新买了3本不同的书插进去，要保持原来6本书的原有顺序，则不同的插法共有________种.  504 解析：把书架上这一层欲排的9本书看成9个位置，将新买的3本书放入这9个位置中的3个，其余的6本书按着原来顺序依次放入，因此不同的插法种数为=504. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.（5分）将1盆红花，2盆黄花，3盆紫花摆放在如图所示的花坛里，每格放置1盆.要求相邻的两格颜色不相同，则不同的放法共有________种.  10             解析：将花坛格子从左到右，用1，2，3，4，5，6进行标记，先放紫花. （1）当3盆紫花中间均间隔一格时，有两种摆放方式，紫花所在格为1，3，5或2，4，6，此时，红花可以从剩余的3个格子中任意选择位置进行摆放，即有种，剩余的2个格子摆放黄花，故共有2=6种摆放方式. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）当有两盆紫花中间间隔二格时，有两种摆放方式，即紫花所在格为1，3，6或1，4，6，此时红花必须从紫花间隔的两格中选择一个，即有种，剩余的两个摆放黄花即可，故共有2=4种摆放方式；综上，不同的放法有6+4=10种. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.（10分）有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数. （1）排成前后两排，前排3人，后排4人；（2分） 解：分两步完成，先选3人站前排，有种方法，余下4人站后排，有种方法，共有=5 040（种）. （2）全体排成一排，其中甲不站最左边，也不站最右边；（2分） 解：法一　特殊元素优先法　先排甲，有5种方法，其余6人有种排列方法，共有5×=3 600（种）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　特殊位置优先法　左右两边位置可安排另6人中的两人，有种排法，其余5人有种排法，共有=3 600（种）. （3）全体排成一排，其中甲不站最左边，乙不站最右边；（3分） 解：法一　特殊元素优先法　甲在最右边时，其他的可全排，有种方法；甲不在最右边时，可从余下的5个位置任选一个，有种，而乙可排在除去最右边的位置后剩下的5个中任选一个有种，其余人全排列，有种不同排法，共有+=3 720（种）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　间接法　7个人全排列，有种方法，其中甲在最左边时，有种方法，乙在最右边时，有种方法，其中都包含了甲在最左边且乙在最右边的情形，有种方法，故共有-2+=3 720（种）. （4）甲、乙、丙三人从左到右顺序一定.（3分） 解：由于甲、乙、丙的顺序一定，则满足条件的站法共有=840（种）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.（15分）某同学每天需完成语文、数学、英语、物理、化学、政治六门作业，现需制定晚自习作业完成顺序计划，请回答以下问题.（请写出计算过程，最终答案用数字表示） （1）若语文和化学必须连续完成（两科作业完成顺序不限），共有多少种不同的作业完成顺序?（3分） 解：由捆绑法可得，=2×120=240种， 即共有240种不同的作业完成顺序. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （2）若文科作业（语文、英语、政治）和理科作业（数学、物理、化学）必须交替完成，共有多少种不同的作业完成顺序?（3分） 解：先安排理科学科有=6种，再安排文科学科有=12种，根据分步乘法计数原理可得6×12=72种，即共有72种不同的作业完成顺序. （3）若语文作业必须在数学作业之前完成，且化学作业必须在物理作业之后完成，共有多少种不同的作业完成顺序?（4分） 解：语文作业必须在数学作业之前完成的有=360种，其中满足化学作业必须在物理作业之后完成的有=180种，即共有180种不同的作业完成顺序. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 （4）若数学和语文作业必须连续完成（两科作业完成顺序不限），且数学和物理作业不得连续完成，共有多少种不同的作业完成顺序?（5分） 解：先捆绑法让数学和语文作业必须连续完成，再与除物理之外的学科全排列， 除去与数学相邻的4个位置中任选一个排上物理即可， 所以共有=2×24×4=192种，即共有192种不同的作业完成 顺序. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $