5.3.2 第3课时 函数的极值与最值的综合问题-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

函数的极值与最值的综合问题 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 利用导数会求解含参函数的极值、最值问题,进一步掌握函数的极值、最值问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　含参数的极值问题 题型(二)　含参数的最值问题 题型(三)　利用最值证明不等式 课时跟踪检测 4 题型(四)　导数在解决实际问题 中的应用 5 题型(一)　含参数的极值问题 01 [例1]　(2024·新课标Ⅱ卷)已知函数f(x)=ex-ax-a3. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; 解:当a=1时,则f(x)=ex-x-1,f'(x)=ex-1,可得f(1)=e-2,f'(1)=e-1, 即切点坐标为(1,e-2),切线斜率k=e-1, 所以切线方程为y-(e-2)=(e-1)(x-1), 即(e-1)x-y-1=0. (2)若f(x)有极小值,且极小值小于0,求a的取值范围. 解:法一　因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-a, 若a≤0,则f'(x)>0对任意x∈R恒成立, 可知f(x)在R上单调递增,无极值,不合题意; 若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a;令f'(x)<0,解得x<ln a; 可知f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值,由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0, 即a2+ln a-1>0,令g(a)=a2+ln a-1,a>0,则g'(a)=2a+>0, 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范围为(1,+∞). 法二　因为f(x)的定义域为R,且f'(x)=ex-a, 若f(x)有极小值,则f'(x)=ex-a有零点,令f'(x)=ex-a=0,可得ex=a, 可知y=ex与y=a有交点,则a>0,若a>0,令f'(x)>0,解得x>ln a; 令f'(x)<0,解得x<ln a;可知f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增,则f(x)有极小值f(ln a)=a-aln a-a3,无极大值,符合题意, 由题意可得f(ln a)=a-aln a-a3<0,即a2+ln a-1>0,令g(a)=a2+ln a-1,a> 0,因为y=a2,y=ln a-1在(0,+∞)上单调递增, 可知g(a)在(0,+∞)上单调递增,且g(1)=0,不等式a2+ln a-1>0等价于g(a)>g(1),解得a>1,所以a的取值范围为(1,+∞). |思|维|建|模| 　　求含参函数极值的步骤与求不含参数函数极值的步骤相同,但要注意有时需要对参数进行分类讨论. 针对训练 1.已知函数f(x)=(x2-ax)ln x-x2+ax,求函数f(x)的极值点. 解:令f'(x)=(2x-a)ln x=0,解得x=1或x=,当0<a<2时,0<<1. 当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表: x 1 (1,+∞) f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)在和(1,+∞)上单调递增,在内单调递减, 所以f(x)的极大值点为x=,极小值点为x=1; 当a=2时,f'(x)=2(x-1)ln x≥0恒成立, 所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增,函数无极值,即不存在极值点; 当a>2时,>1. 当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表: x (0,1) 1 f'(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)在(0,1)和上单调递增,在内单调递减, 所以f(x)的极大值点为x=1,极小值点为x=;当a≤0时, 当x变化时,f'(x),f(x)变化情况如下表: x (0,1) 1 (1,+∞) f'(x) - 0 + f(x) 单调递减 极小值 单调递增 所以函数f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以f(x)的极小值点为x=1,无极大值点. 综上可得,当0<a<2时极大值点为x=,极小值点为x=1; 当a=2时不存在极值点;当a>2时极大值点为x=1,极小值点为x=; 当a≤0时极小值点为x=1,无极大值点. 题型(二)　含参数的最值问题 02 [例2]　已知函数f(x)=x2-aln x+1,a∈R.当a>0时,若函数f(x)有最小值2,求a的值. 解:f(x)=x2-aln x+1,a∈R的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-=, 当a>0时,令f'(x)>0,解得x>;令f'(x)<0,解得0<x< , 所以f(x)在内单调递减,在上单调递增, 所以f(x)min=f=-aln+1=2,即-ln-1=0, 则令t=>0,设g(t)=t-tln t-1,g'(t)=-ln t, 令g'(t)<0,解得t>1;令g'(t)>0,解得0<t<1, 所以g(t)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以g(t)≤g(1)=1-ln 1-1=0, 所以t==1,解得a=2.故a的值为2. |思|维|建|模| 　　对参数进行讨论,其实质是讨论导函数大于0,等于0,小于0三种情况.若导函数恒大于0或小于0,则函数在已知闭区间上是单调函数,最值在端点处取得;若导函数可能等于0,则求出极值点后求极值,再与端点值比较后确定最值. 针对训练 2.已知函数f(x)=x3-3ax+1. (1)若函数f(x)在x=-1处取得极值,求实数a的值; 解:由题意可知f'(x)=3x2-3a,所以f'(-1)=0,即3-3a=0,解得a=1, 经检验a=1,符合题意.所以实数a的值为1. (2)当x∈[-2,1]时,求函数f(x)的最大值. 解:由(1)知f'(x)=3x2-3a,令f'(x)=0,x=±,当<<1即<a<1时, f(x)和f'(x)随x的变化情况如下表. x -2 (-2,-) - (-,) (,1) 1 f'(x)   + 0 - 0 +   f(x) -7+6a 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 2-3a f(-)=2a+1>2-3a,由表可知,所以f(x)的最大值为2a+1. 当1≤<2即1≤a<4时,f(x)和f'(x)随x的变化情况如下表. x -2 (-2,-) - (-,1) 1 f'(x)   + 0 -   f(x) -7+6a 单调递增 极大值 单调递减 2-3a f(-)=2a+1,由表可知,所以f(x)的最大值为2a+1. 当≥2即a≥4时,f'(x)=3x2-3a≤0恒成立,即f(x)在[-2,1]内单调递减,所以f(x)的最大值为f(-2)=-7+6a. 综上所述,当<a<4时,f(x)的最大值为2a+1; 当a≥4时,f(x)的最大值为-7+6a. 题型(三)　利用最值证明不等式 03 [例3]　函数f(x)=x+ax2+bln x的图象在点P(1,0)处的切线斜率为2. (1)求a,b的值; 解:由题设可知f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1+2ax+,∵y=f(x)在点P(1, 0)处切线的斜率为2,∴f(1)=1+a=0,f'(1)=1+2a+b=2,解得a=-1,b=3. (2)证明:f(x)≤2x-2对任意正实数x恒成立. 解:证明:由(1)知f(x)=x-x2+3ln x(x>0), 则转化为证明2-x-x2+3ln x≤0对任意正实数x恒成立, 设g(x)=2-x-x2+3ln x,x>0,则g'(x)=-1-2x+=-, ∴当0<x<1时,g'(x)>0; 当x>1时,g'(x)<0.∴g(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)上单调递减, ∴g(x)在x=1处有最大值g(1)=0, ∴g(x)≤0对任意正实数x恒成立, 即2-x-x2+3ln x≤0对任意正实数x恒成立, 即f(x)≤2x-2对任意正实数x恒成立,原命题得证. |思|维|建|模| 利用最值证明不等式的解题思路 (1)构造函数h(x)=f(x)-g(x). (2)问题转化为证明f(x)-g(x)≥0,即证h(x)≥0即可. (3)讨论单调性:根据h'(x)与0的大小关系确定函数h(x)的单调性. (4)求最值:由函数h(x)的单调性确定最值,并确认h(x)≥h(x)min≥0即可. [注意]　证明∀x∈D,都有f(x)-g(x)≥0,若能转化为∀x1,x2∈D都有f(x1)min ≥g(x2)max,即可得证. 针对训练 3.已知函数f(x)=ln x-,证明:f(x)<x2-ln x-. 证明:∵f'(x)=-=(x>0),∴当x∈(0,e)时,f'(x)>0; 当x∈(e,+∞)时,f'(x)<0. ∴函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞), ∴f(x)max=f(e)=ln e-=0.设g(x)=x2-ln x-, 则g'(x)=2x-=(x>0),∴当x∈时,g'(x)<0; 当x∈时,g'(x)>0,∴函数g(x)的单调递减区间为, 单调递增区间为, ∴g(x)min=g=-ln-=-+ln 2=. ∵ln 2>ln =,∴g(x)min>0. 又f(x)≤f(x)max=0,∴f(x)<x2-ln x-. 题型(四)　导数在解决实际问题 中的应用 04 [例4]　某造船公司年最高造船量是20艘,已知造船x艘的产值函数为R(x)=3 700x+45x2-10x3(单位:万元),成本函数为C(x)=460x+5 000(单位:万元),又在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x+1)-f(x). (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);(提示:利润=产值-成本) 解:P(x)=R(x)-C(x)=-10x3+45x2+3 240x-5 000(x∈N*,且1≤x≤20), MP(x)=P(x+1)-P(x)=-10(x+1)3+45(x+1)2+3 240(x+1)-5 000-(-10x3+ 45x2+3 240x-5 000)=-30x2+60x+3 275(x∈N*,且1≤x≤19). (2)问年造船量安排多少艘时,可使公司造船的年利润最大? 解:P'(x) =-30x2+90x+3 240=-30(x-12)(x+9), ∵x>0,∴P'(x) =0时,x=12, ∴当0<x<12时,P'(x) >0,P(x)单调递增; 当x>12时,P'(x)<0,P(x)单调递减, ∴x=12时,P(x)有最大值, 即年造船量安排12艘时,可使公司造船的年利润最大. (3)求边际利润函数MP(x)的单调递减区间,并说明单调递减在本题中的实际意义是什么? 解:MP(x)=P(x+1)-P(x)=-30x2+60x+3 275=-30(x-1)2+3 305, 所以当x≥1时,MP(x)单调递减, 所以单调递减区间为[1,19],且x∈N*. MP(x)单调递减的实际意义是:随着产量的增加,每艘船的利润与前一艘比较,利润在减少. |思|维|建|模| 解决优化问题时应注意的问题 (1)列函数解析式时,注意实际问题中变量的取值范围,即函数的定义域. (2)一般地,通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数在给定区间内只有一个极值点,那么根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可,不必再与端点处的函数值进行比较. 针对训练 4.扇形的面积公式为S=lr(l为扇形的弧长,r为扇形的半径).已知某扇形的面积为π,半径为x,将此扇形卷成一个圆锥侧面,得到的圆锥的体积为V. (1)试把V表示为x的函数,并写出x的取值范围; 解:设圆锥侧面扇形弧长为l,高为h,底面圆的半径为R, 则l===2πR,则R=,h==, 所以V=×π××= . 由πx2>π得x>1,则x的取值范围为(1,+∞). (2)当x多大时,圆锥的体积V最大? 解:由(1)得V= = (x>1), 令t=,则0<t<1,V= ,令f(t)=t-t3,0<t<1, 则f'(t)=1-3t2,令f'(t)=0,解得t=. 当t∈时,f'(t)>0,f(t)在内单调递增; 当t∈时,f'(t)<0,f(t)在内单调递减. 所以当t=时,f(t)取最大值,即当x=时,圆锥的体积V最大. 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.已知某商品的进价为4元,通过多日的市场调查,该商品的市场销量y(件)与商品售价x(元)的关系为y=e-x,则当此商品的利润最大时,该商品的售价x(元)为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 √ 解析:根据题意可得利润函数f(x)=(x-4)e-x,f'(x)=e-x-(x-4)e-x=(5-x)e-x,当x>5时,f'(x)<0,f(x)单调递减,当0<x<5时,f'(x)>0,f(x)单调递增,所以当x=5时,函数f(x)取最大值,故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.[多选]对于函数f(x)=(2x-x2)ex,下列结论正确的是 (　　) A.(-,)是f(x)的单调递减区间 B.f(-)是f(x)的极小值,f()是f(x)的极大值 C.f(x)有最大值,没有最小值 D.f(x)没有最大值,也没有最小值 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析:由f(x)=(2x-x2)ex得f'(x)=(2-x2)ex.当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减,得(2-x2)ex<0,所以2-x2 <0,解得x>或x<-,所以A不正确;当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,得(2-x2)ex>0,所以2-x2>0,解得-<x<,因此f(-)是f(x)的极小值,f()是f(x)的极大值,所以B正确;当f(x)>0时,f(x)=(2x-x2)ex>0,解得0<x<2;当f(x)<0时,f(x)=(2x-x2)ex<0,解得x>2或x<0,因此函数有最大值,最大值为f(),没有最小值,所以C正确,D不正确.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.函数f(x)=的最大值为(　　) A.a B.(a-1)e C.e1-a D.ea-1 √ 解析: f(x)=,则f'(x)=,所以当x<1-a时,f'(x)>0,当x>1-a时,f'(x) <0,所以f(x)在(-∞,1-a)上单调递增,在(1-a,+∞)上单调递减,所以f(x)max=f(1-a)=ea-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.若对任意的x∈(0,+∞),ax-ln(2x)≥1恒成立,则实数a的最小值是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析:令f(x)=ax-ln(2x),x∈(0,+∞).∵ax-ln(2x)≥1恒成立,∴f(x)min≥1, f'(x)=a-,若a≤0,则f'(x)<0,f(x)单调递减,ax-ln(2x)≥1不恒成立,∴a>0.令f'(x)=0,解得x=.当x∈时,f'(x)<0,f(x)单调递减;当x∈时,f'(x)>0,f(x)单调递增.∴f(x)min=f=1-ln≥1,即ln≤0,即a≥2,∴a的最小值是2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.已知实数x>0,则函数y=xx的值域为 (　　) A.(0,+∞) B.(1,+∞) C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 解析:对y=xx的两边同时取自然对数得,ln y=xln x(x>0),令f(x)=xln x(x >0),则f'(x)=1+ln x,令f'(x)>0,解得x>,令f'(x)<0,解得0<x<,故f(x)=xln x(x>0)在内单调递减,在上单调递增,故f(x)=xln x(x>0)在x=处取得极小值,也是最小值,且f=ln =-,故f(x)=xln x(x>0)的值域为,所以y=xx的值域为(,+∞).故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.(5分)设底为等边三角形的直三棱柱的体积为V,那么其表面积最小时底面边长为______.  解析:设底面边长为x,则表面积S=x2+V(x>0). ∴S'=(x3-4V).令S'=0,得x=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)已知函数f(x)=(a>0)在[1,+∞)上的最大值为,则a的值为______.  -1 解析:由f(x)=得f'(x)=,当a>1时,若1<x<, 则f'(x)>0,f(x)单调递增,若x>,则f'(x)<0,f(x)单调递减, 故当x=时,函数f(x)在[1,+∞)上有最大值=, 解得a=<1,不符合题意,舍去; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 当a=1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减, 最大值为f(1)=,不符合题意; 当0<a<1时,函数f(x)在[1,+∞)上单调递减, 此时最大值为f(1)==, 解得a=-1,符合题意.综上可知,a的值为-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)已知a≠0,若函数f(x)=有最小值,则实数a的最大值为______.  e-3 解析:当x≥-1时,f(x)=(x-2)ex+2,f'(x)=(x-1)ex, 当x∈[-1,1)时,f'(x)<0,当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0, 故f(x)在[-1,1)内单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 故f(x)=(x-2)ex+2在x=1处取得极小值,且f(1)=-e+2. 当x<-1时,f(x)=ax-1,若a>0,f(x)=ax-1在(-∞,-1)上单调递增,此时f(x)没有最小值,若a<0,f(x)=ax-1在(-∞,-1)上单调递减, 要想函数有最小值,则-a-1≥-e+2,解得a≤e-3,故实数a的最大值为e-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)已知函数f(x)=ln x,g(x)=2x,f(m)=g(n),则mn的最小值是_____.  - 解析:由函数f(x)=ln x,g(x)=2x,f(m)=g(n),得ln m=2n,所以mn=mln m,m>0.令h(m)=mln m,m>0,则h'(m)=(1+ln m),当m>时,h'(m)>0,当0<m<时,h'(m)<0,所以函数h(m)在内单调递减,在上单调递增,所以h(m)在x=处取得极小值,也是最小值,最小值为h=-,即mn的最小值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(10分)已知函数f(x)=x2+ln x. (1)求y=f(x)在[1,e]上的最大值和最小值;(4分) 解:因为f(x)=x2+ln x,所以f'(x)=x+=, 当x∈[1,e]时,f'(x)>0,所以y=f(x)在[1,e]内单调递增, f(x)min=f(1)=,f(x)max=f(e)=e2+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)求证:当x∈(1,+∞)时,函数y=f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方.(6分) 解:证明:设h(x)=x2+ln x-x3,则h'(x)=x+-2x2== ,当x∈(1,+∞)时,h'(x)<0,则h(x)单调递减, 且h(1)=-<0,故x∈(1,+∞)时,h(x)<0,即x2+ln x<x3, 所以当x∈(1,+∞)时,函数y=f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(15分)已知函数f(x)=x3+x2+2ax. (1)当a=-2时,求f(x)的极值;(5分) 解:当a=-2时,f(x)=x3-4x,f'(x)=x2-4=(x+2)(x-2). 当x<-2或x>2时,f'(x)>0,f(x)单调递增,当-2<x<2时,f'(x)<0,f(x)单调递减, 故f(x)在x=-2处取得极大值f(-2)=-+8=,在x=2处取得极小值f(2)=-8=-. 综上,f(x)的极大值为,极小值为-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)当a∈(0,2)时,求函数f(x)在[-2a,a]上的最大值.(10分) 解:f(x)=x3+x2+2ax,x∈[-2a,a], 故f'(x)=x2+(a+2)x+2a=(x+2)(x+a),x∈[-2a,a],令f'(x)=0得x=-a或x=-2, 因为a∈(0,2),当-2a≥-2,即0<a≤1时,f(x)在(-2a,-a)内单调递减, 在(-a,a)内单调递增,所以f(x)max=max{f(-2a),f(a)}, 因为f(-2a)=-a3+2a3+4a2-4a2=-a3<0,f(a)=a3+a3+a2+2a2=a3+3a2>0, 所以f(-2a)< f(a),所以f(x)max=a3+3a2; 当-2a<-2,即1<a<2时,f(x)在(-2a,-2)内单调递增,在(-2,-a)内单调递减,在(-a,a)内单调递增,所以f(x)max=max{f(-2),f(a)}, 因为f(-2)=-+2a+4-4a=-2a+<-, f(a)=a3+a3+a2+2a2=a3+3a2>, 所以f(x)max=a3+3a2.综上,f(x)max=a3+3a2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(15分)已知函数f(x)=+sin x(a∈R),e为自然对数的底数. (1)当a=1且x∈(-∞,0]时,求f(x)的最小值;(7分) 解:当a=1时,f(x)=+sin x,则f'(x)=+cos x, 当x∈(-∞,0]时,0<ex≤1,则≤-1,又因为cos x≤1, 所以当x∈(-∞,0]时,f'(x)=+cos x≤0,当且仅当x=0时,f'(x)=0, 所以f(x)在x∈(-∞,0]上单调递减,所以f(x)min=f(0)=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)若函数f(x)在上存在极值点,求实数a的取值范围.(8分) 解:f'(x)=+cos x,因为x∈,所以cos x>0,ex>0, ①当a≤0时,f'(x)>0恒成立,所以f(x)在内单调递增,没有极值点. ②当a>0时,易知f'(x)=+cos x在内单调递增, 因为f'=-a·<0,f'(0)=-a+1, 当a≥1时,x∈,f'(x)≤f'(0)=-a+1≤0, 所以f(x)在内单调递减,没有极值点; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 当0<a<1时,f'(0)=-a+1>0,所以存在x0∈使f'(x0)=0, 当x∈时,f'(x)<0,当x∈(x0,0)时,f'(x)>0, 所以f(x)在x=x0处取得极小值,x0为极小值点. 综上可知,若函数f(x)在上存在极值点, 则实数a的取值范围是(0,1). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $