5.3.2函数的极值与最大（小）值教学设计-2023-2024学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

2022 年普通高中新课程新教材优 质课评选暨优秀课例汇集 第五章 一元函数的导数及其应用第三单元 导数在研究函数中的应用单元分讲 2：函数的极值与最大（小）值 （人民教育出版社 普通高中教科书 A 版 选择性必修第二册） 教 学 设 计 授课教师：安徽省怀宁中学 王永安 2022 年 10 月 一.教学内容解析 （一）内容结构图 1.章内容结构图 第五章 一元函数的导数及其应用 第一单元 导数 第二单元 导数 第三单元 导数 在研究函数中 的概念及其意义 的运算 的应用 2.单元内容结构图 ★第三单元 导数在研究函数中的应用 （共 5 课时） 分讲 1（2 课时） 函数的单调性 分讲 2（3 课时） 函数的极值与 （二）教学内容解析 1.本章内容解析 本章内容——导数及其应用是众多知识的交汇，是研究函数性质，解决不等式、数列、 几何等相关问题的重要工具. 为了描述现实世界中的运动变化现象，在数学中引入了函数.在对函数的深入研究中， 数学家创立了微积分，这是具有划时代意义的伟大创造，被誉为数学史上的里程碑.微积分 的创立与处理四类科学问题直接相关：一是已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在 任意时刻的速度与加速度，反之，已知物体的加速度作为时间的函数，求速度与路程；二是 求曲线的切线；三是求函数的最大值与最小值；四是求长度、面积、体积和重心等. 导数是微积分的核心内容之一，是现代数学的基本概念，蕴含着微积分的基本思想；它 定量地刻画了函数的局部变化，是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等性质的基本方 法.因而也是解决诸如增长率、膨胀率、效率、密度、加速度等实际问题的基本工具. 2.本单元内容解析 教科书在必修第一册介绍了函数的最大（小）值，但没有介绍求函数的最大（小）值的 一般方法。本小节先给出了函数极值的定义（限于可导函数），并介绍用导数求函数极值的 一般方法。在此基础上，进一步介绍了利用函数极值求函数最大（小）值的方法。 教科书还介绍了与函数有关的不等式的证明，这类不等式通常可以转化为用导数求函数 的最大（小）值的问题。解决具体问题时，要特别注意相关函数的定义域，以及函数取得最 大（小）值时自变量的取值。 实际问题中的优化问题，一般可以转化为用导数求函数在某一范围的最大（小）值问题， 教科书以例题的方式作了介绍，在解决这类问题时，除了要获得相关函数模型外（特别注意 求出函数的定义域），还要注意将求得的函数的最大（小）值的实际意义解释清楚。 3. 课时内容解析 （1）极值的概念：函数的极值本质反映的是函数在某一点附近的局部性质，而不是函数在整个定义域内的性质。教学时可以用高台跳水实例引入函数极值的讨论，先让学生结合实际经验，通过观察图形直观形象的得到“局部最值"的初步想法，通过对比函数的最值，引发学生的认知冲突,使学生认识到“局部最值”不同于函数最值，是一个全新的概念，从而生成函数极值的概念。需要注意的是，“在 x =a 附近”的含义实际上指的是一个非常小的区间，这个区间的左端点比 a 小，右端点比 a 大。这个区间要多小就可以有多小，这里我们用的是自然语言来进行表述。在高等数学里我们还会用符号语言精确刻画“在 x =a 附近”的含义。 （2）函数的极值与导数的关系：学生对函数的极值有了初步的了解后，学生就会面临难题，如何利用导数求函数的极值呢？这一部分主要是探究求极值的算法，虽然没有新知识和新概念的生成，但教师在教学中依然要符合学生的认知规律，要让学生认识到利用导数来求极值是通过探究自然而然形成的。先让学生观察函数极值附近两侧的图像变化，认识到函数极值点左右两侧图像变化趋势是相反的。学生知道图象的上升与下降是用单调性来刻画的，而函数单调性又可以用导数来刻画的。因此，学生自然而然地就明白函数的极值可以借助导数来求解。 （3）运用导数方法求函数极值：学生通过观察图象可以自己总结求函数极值的一般步骤，但是还是会忽略定义域，因此要强调学生注意这一点，通过例题的变式可以达到这一目标。为了能够更加简捷地求极值，教师要示范利用表格完整的书写求极值的过程。需要强调的是，在高中研究的函数都是处处可导的函数。再启发学生得出函数 y = f (x) 在一点的导数值为 0 是函数 y = f (x) 在这点处取得极值的必要条件，而非充分条件。并举出反例 f(x) = x3加以说明。 二、课时教学目标 （1）结合函数图像，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；理解函数极值 的概念，会用导数求函数的极大值与极小值。 （2）通过观察具体的函数图像，学生直观感知极值这一概念的生成过程，并积极主动地参 与探索函数的极值与导数值变化之间的关系的活动，亲身经历用导数研究极值方法的过程。（3）通过学习，学生体会导数在研究函数性质中的工具性和优越性，掌握极值是函数的局 部性质，增强数形结合的意识；通过体会成功，形成学习数学知识、了解数学文化的积极态度；通过规范地表达求函数极值的过程，养成缜密的思维习惯。 三、教学重难点 重点：求函数极值 难点：函数极值与导数的关系 四、学生学情分析 在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对极值的理解和求极值的方法，产生这一问题的原因是极值概念比较抽象，会跟最值有混淆。要解决这一问题，就要采用数形结合的方法重点研究出极值的概念和求极值的方法，需要认真细致的分析出概念，从而总结出求极值的方法，其中关键是对极值概念的理解.要解决这一问题，结合学生的知识，理解从特殊到一般的数学思想和归纳的数学方法，通过教学活动，培养学生仔细观察、善于思考、勇于创新的科学素养. 五、教学支持条件分析 为了理解极值的概念，只需要学生借助图象直观，进行数学抽象即可。当 t=a 时，运动员距水面的高度 h 最大。为了让学生从图象上直观地看到 t=a 附近函数导数值的正负性变化，教学时可以采用信息技术工具，放大函数在 t=a 附近的图象。因此可以借助几何画板作为教学支持条件。先作出函数图象在 t=a 的左侧某点处的切线，当切点沿函数图象从 t=a 的左侧 移动至右侧时，切线斜率由正数变到为 0，再由 0 变到负数。 六、教学过程设计 1.温故知新，建构概念 教师引言：前面我们学习了导数与函数的单调性，请大家回顾一下，函数的单调性与其导函数的正负的关系是怎样的？ 师生活动：请同学们举手发言，最后教师总结，PPT 展示： 探究 1：观察下图，可以发现，t=a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.那么，函数 h(t) 在此点的导数是多少呢?此点附近的图象有什么特点?相应地，导数的符号有什么变化规律? 师生活动：教师运用几何画板，着重引导学生发现函数取极值时，函数的单调性、导数的正负特点，然后学生举手回答，集体补充纠正。 教师总结：放大t = a附近函数ℎ(t)的图象，如图，可以看出，ℎ'(a) = 0；在t = a的附近，当t < a时，函数ℎ(t)单调递增，ℎ'(t) > 0；当t > a时，函数ℎ(t)单调递减，ℎ'(t) < 0.这就是说，在t = a附近，函数值先增(当t < a时，ℎ'(t) > 0)后减(当t > a时，ℎ'(t) < 0).这 样，当t在a的附近从小到大经过a时，ℎ'(t)先正后负，且ℎ'(t)连续变化，于是有ℎ'(a) = 0. 设计意图：创设问题情景，为引出函数的极值做铺垫。 2.学习概念 深化理解 思考：对于一般的函数 y=f(x),是否也有同样的性质呢？ 探究 2：下图中函数 y=f(x)在 a,b,c,d,e,f,g,h 点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系? y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近，该函数的导数的正负性有什么规律? (1)函数y = f(x)在点x = a处的函数值f(a)比它在点x = a附近其他点处的函数值都小，f'(a) = 0；而且在点x = a附近的左侧f'(x) < 0，右侧f'(x) > 0； (2)函数y = f(x)在点x = b处的函数值f(b)比它在点x = b附近其他点处的函数值都大，f'(b) = 0；而且在点x = b附近的左侧f'(x) > 0，右侧f'(x) < 0. 极值点与极值 (1)极小值点与极小值 若函数y = f(x)在点x = a处的函数值f(a)比它在点x = a附近其他点处的函数值都小， f'(a) = 0；而且在点x = a附近的左侧f'(x) < 0，右侧f'(x) > 0，就把a叫做函数y = f(x) 的极小值点，f(a)叫做函数y = f(x)的极小值. (2)极大值点与极大值 若函数y = f(x)在点x = b处的函数值f(b)比它在点x = b附近其他点处的函数值都大， f'(b) = 0；而且在点x = b附近的左侧f'(x) > 0，右侧f'(x) < 0，就把点b叫做函数y = f(x )的极大值点，f(b)叫做函数y = f(x)的极大值. (3) 极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值.思考: 1.函数的极大值是函数的最大值吗? 2.函数的极大值一定大于函数的极小值吗? 师生活动：教师要注意引导学生通过观察函数 f(x)的图像，通过小组讨论，得出结论，最后教师总结。 总结：极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质。 设计意图：通过特例，体会导数与函数极值之间的关系，让学生深刻体会概念的建构过程。 发展学生直观想象、数学抽象、数学建模的核心素养。 探究 3：函数 f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,试找函数 y=f(x)的极值点,并指出哪些是极大值点,哪些是极小值点? 师生活动：教师要引导学生关注导数的正负,导数的正负决定函数的单调性，决定函数的极值。教师提问，学生独立思考、作答在学案上，教师巡视，请学生回答，并让学生做如下思考。 思考:导数值为 0 的点一定是极值点吗? 师生活动：教师要引导学生着重发现函数 f(x)在 x=x6 左右两侧的单调性，教师提问，学生 分小组合作交流，从而得出结论，最后教师总结。 总结：一般地，函数 y=f(x)在一点的导数值为 0 是函数 y=f(x)在这点取极值的必要条件，而 非充分条件. 设计意图：让学生学以致用，加深对函数极值的理解。 3.应用巩固 内化迁移 例：求函数 f(x)=13x3-4x+4 的极值。 解 因为f(x) = 13x3−4x + 4的定义域为R， 所以f'(x) = x2−4 = (x + 2)(x−2). 令f'(x) = 0，解得x1 = −2，x2 = 2. 当x变化时，f'(x)，f(x)的变化情况如下表： x (−∞，−2) −2 (−2，2) 2 (2， + ∞) f'(x) + 0 − 0 + 单调递增 28 单调递减 4 单调递增 f(x) 3 −3 因此，当x = −2时，f(x)有极大值，极大值为f(−2) = 283； 当x = 2时，f(x)有极小值，极小值为f(2) = −43. 设计意图：让学生学以致用，明确函数的极值的步骤.教师板书，示范解题格式，展示数学 的严谨。 思考：请同学们结合上例，归纳利用导数求函数 y=f(x)的极值的步骤。 师生活动：教师引导学生结合例题，分组讨论，归纳求函数极值的步骤，教师提问，学生发言，最后教师总结。 总结：利用导数求函数 y=f(x)的极值的步骤: 解方程 f'(x)=0.当 f(x0)=0 时: (1)如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0，右侧 f'(x)<0，那么 f(x0)是极大值; (2)如果在 x0 附近的左侧 f'(x)<0，右侧 f'(x)>0，那么 f(x0)是极小值. 设计意图：通过典型例题的分析和解决，帮助学生掌握运用导数求函数极值的一般方法，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。 练习：求函数 f(x)=ax²-4x+1 的极值. 解:定义域为 R，f'(x)=2ax-4 。 · a=0 时，f'(x)=-4<0，所以 f(x)在 R 上单调递减.f(x)没有极值. · a>0 时，令 f'(x)=0， 得 x=2a.结合函数 y=f'(x)的图像，可以得到函数 y=f(x)的单调性。 函数 y=f(x)在（-∞，2a）单调递减，在（2a,+∞）单调递增。函数 y=f(x)在 x=2a处取极小值 1-4a,无极大值。 · a>0 时，令 f'(x)=0， 得 x=2a.结合函数 y=f'(x)的图像，可以得到函数 y=f(x)的单调性。 函数 y=f(x)在（-∞，2a）单调递增，在（2a,+∞）单调递减。函数 y=f(x)在 x=2a处取极大值 1- 4a,无极小值。 设计意图：通过随堂练习，进一步加深学生对求函数极值过程的理解。通过学生解决问题， 培养学生分析问题，解决问题的能力。 4.归纳总结 思想升华 教师发言：请同学们谈谈本节课你的收获和感受吧！ 师生活动：教师着重引导学生回顾函数极值的概念和求函数极值的步骤。让学生感受从特殊 到一般的研究问题方法，学生独立思考、回答，相互补充，教师 PPT 展示，如下： 设计意图：培养学生归纳总结的能力.让学生回味本节课生成的知识和应用的方法,积累数学 知识感知函数极值的概念，明确求函数极值的步骤. 5. 课后作业 教师发言：本节课的作业分必做和选做两部分，请看大屏幕，如下： 设计意图：必做作业保证本课时知识和方法的落实,保证后续学习.选做针对学有余力的学生，保证不同的学生得到不同的发展. 六.板书设计 5.3.2 函数的极值与导数 1. 函数极值的概念 3.例题 2. 求函数极值的步骤 4.练习 多媒体 学科网（北京）股份有限公司 $$