5.2.1 基本初等函数的导数-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦基本初等函数的导数运算，通过课前自主落实基础（如常用函数导数表、公式微点助解）搭建学习支架，衔接导数定义与公式应用，形成从具体函数到一般公式的知识脉络。 其亮点在于采用梯度进阶式教学，通过求导、切线方程、实际应用等题型训练，结合“思维建模”总结方法（如切线问题两类情况），培养学生数学思维（运算、推理）与数学语言（模型应用）能力。实例中用导数解决质点运动速度问题，学生能提升应用能力，教师可借助系统资源优化教学。

5.2 导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.能根据导数定义求函数y=c，y=x，y=x2，y=x3，y=，y=的导数. 2.能用基本初等函数的导数公式求解一些简单问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.几个常用函数的导数 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=_____ f(x)=x f'(x)=_____ f(x)=x2 f'(x)=_____ f(x)=x3 f'(x)=3x2 f(x)= f'(x)=_____ f(x)= f'(x)=_____ 0 1 2x - 2.基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R，且α≠0) f'(x)=______ f(x)=sin x f'(x)=______ f(x)=cos x f'(x)=______ f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=______ αxα-1 cos x -sin x ax ln a 续表 f(x)=ex f'(x)=_____ f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= ex |微|点|助|解| 关于几个基本初等函数导数公式的特点 (1)正、余弦函数的导数可以记忆为“正余互换，(符号)正同余反”. (2)指数函数的导数等于指数函数本身乘底数的自然对数. (3)对数函数的导数等于x与底数的自然对数乘积的倒数. 1.已知f(x)=cos 30°，则f'(x)的值为 (　　) A.- B. C.- D.0 √ 基础落实训练 解析：∵f(x)=cos 30°=，因此，f'(x)=0. 2.若f(x)=，则f'(1)等于(　　) A.0 B.- C.3 D. √ 解析：因为f(x)=，则f'(x)=，所以f'(1)=. 3.已知函数f(x)=x3，f'(x)是f(x)的导函数，若f'(x0)=12，则x0= (　　) A.2 B.-2 C.±2 D.± √ 解析：依题意f'(x)=3x2，故3=12，解得x0=±2. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　求基本初等函数的导数 [例1]　 求下列函数的导数： (1)y=x-3； 解：y'=-3x-4. (2)y=3x； 解：y'=3xln 3. (3)y= ； 解：y= = =，∴y'== . (4)y=lox； 解：y'==-. (5)y=cos 解：y=sin x，y'=cos x. (6)y=sin； 解：y'=0. (7)y=ln x； 解：y'=. (8)y=ex. 解：y'=ex. |思|维|建|模| 求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂. (2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度.解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式. 针对训练 1.求下列函数的导数： (1)y=6x； 解： y'=(6x)'=6xln 6. (2)y=x2； 解：y'=(x2)'=()'==. (3)y=cos2-sin2. 解：∵y=cos2-sin2=cos x，∴y'=(cos x)'=-sin x. 2.已知函数f(x)=logax(a>0且a≠1)在x=2处的导数为，求底数a的值. 解：f'(x)=(logax)'=，由题得f'(2)==， 所以ln a=ln 2，得a=2. 题型(二)　利用导数公式求曲线的切线方程 [例2]　已知曲线y=ln x，点P(e，1)是曲线上一点，求曲线在点P处的切线方程. 解：因为y'=，所以当x=e时，y'=，即切线斜率为， 所以切线方程为y-1=(x-e)，即x-ey=0. [变式拓展] 1.若y=kx+1是曲线y=ln x的一条切线，求k的值. 解：设切点坐标为(x0，y0)，由题意得y'==k， 又解得∴k=. 2.求曲线y=ln x过点O(0，0)的切线方程. 解：因为点O(0，0)不在曲线上，所以设切点为Q(a，b)， 则切线斜率k=，又因为k=，且b=ln a，所以a=e，b=1， 所以切线方程为x-ey=0. 3.若方程ln x=mx恰有一个根，求m的取值范围. 解：问题可以转化为函数y=ln x与y=mx的图象有且仅有一个公共点.由图象易知m≤0满足条件. 另外就是y=mx是y=ln x的切线时满足条件. 因为y=mx的图象过(0，0)，设切点为Q(a，b)，则切线斜率m=， 又因为m=，且b=ln a， 所以a=e，b=1，m=，即m的取值范围为(-∞，0]∪. |思|维|建|模| 利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 (1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； (2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解. 针对训练 3.曲线y=ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) A.e2 B.2e2 C.e2 D. √ 解析： y'=ex，在点(2，e2)处的切线为y-e2=e2(x-2)，截距分别为-e2，1，故切线与坐标轴所围成的三角形的面积为×e2×1=. 4.在曲线f(x)=上求一点P，使得曲线在该点处的切线的倾斜角为135°. 解：设切点坐标为P(x0，y0)，f'(x0)=-2=tan 135°=-1， 即-2=-1，∴x0= . 代入曲线方程得y0=，∴点P的坐标为. 题型(三)　导数公式的实际应用 [例3]　 质点的运动方程是s=sin t，则质点在t=时的速度为_____，质点运动的加速度为________.  - 解析：v(t)=s'(t)=cos t，∴v=cos =，即质点在t=时的速度为. ∵v(t)=cos t，∴加速度a(t)=v'(t)=(cos t)'=-sin t. a=-sin=-. |思|维|建|模| 　　由导数的定义可知，导数是瞬时变化率，所以求某个量的变化速度，就是求相关函数在某点处的导数. 针对训练 5.已知在一次降雨过程中，某地降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似表示为y=，则在t=4 min时的瞬时降雨强度 (某一时刻降雨量的瞬间变化率)为_____mm/min.  解析：因为y=f(t)==，所以f'(t)='=，所以f'(4)=×=，故在t=4 min时的瞬时降雨强度(某一时刻降雨量的瞬间变化率)为 mm/min. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]下列运算错误的是 (　　) A.(2x)'=2xlog2e B.()'= C.(sin 1)'=cos 1 D.(log3x)'= √ √ 解析：对于A，(2x)'=2xln 2，A错误；对于B，()'=()'==，B正确；对于C，(sin 1)'=0，C错误；对于D，(log3x)'=，D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知函数f(x)=，则f' (-2) =(　　) A.4 B. C.-4 D.- √ 解析：∵f'(x)=-，∴f'(-2)=-=-.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.设f0(x)=sin x，f1(x)=f'0(x)，f2(x)=f1'(x)，…，fn+1(x)=f'n(x)，n∈N，则f2 025(x)= (　　) A.sin x B.-sin x C.cos x D.-cos x √ 解析：因为f0(x)=sin x，所以f1(x)=f'0(x)=(sin x)'=cos x，f2(x)=f'1(x)=(cos x)'=-sin x，f3(x)=f'2(x)=(-sin x)'=-cos x，f4(x)=f'3(x)=(-cos x)'=sin x，所以最小正周期为4， 故f2 025(x)=f1(x)=cos x.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.设M，m分别是函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值，若M=m，则f'(x) (　　) A.等于0 B.小于0 C.等于1 D.不确定 √ 解析：因为M=m且M，m分别是函数f(x)的最大值和最小值，所以f(x)为常函数，故f'(x)=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.函数f(x)=x3的斜率等于1的切线有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.不确定 √ 解析：∵f'(x)=3x2，设切点为(x0，)，∴3=1，解得x0=±，∴在点和点处有斜率等于1的切线，∴满足题意的切线有2条.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知函数f(x)及其导数f'(x)，若存在x0使得f(x0)=f'(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”.下列四个函数中，没有“巧值点”的是 (　　) A.f(x)=x2 B.f(x)=ln x C.f(x)=sin x D.f(x)=2x √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，f'(x)=2x，由x2=2x解得x=0或x=2，所以f(x)存在“巧值点”；对于B，f'(x)=(x>0)，作函数f(x)与f'(x)的图象，由图可知f(x)存在“巧值点”；对于C，f'(x)=cos x，由sin x=cos x得tan x=1，解得x=+kπ，k∈Z，所以f(x)存在“巧值点”；对于D，f'(x)=2xln 2，因为2x>0，所以2x=2xln 2无实数解，所以f(x)不存在“巧值点”. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设曲线y=xn+1(n∈N*)在点(1，1)处的切线与x轴交点的横坐标为xn，则数列{xn}的前2 025项的积为 (　　) A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由y=xn+1(n∈N*)，得y'=(n+1)·xn(n∈N*)，所以曲线y=xn+1在点(1，1)处的切线斜率为k=n+1(n∈N*)，所以在点(1，1)处的切线方程为y-1=(n+1)(x-1)(n∈N*)，与x轴交点的横坐标为xn=1-=.所以数列{xn}的前n项的积为x1·x2·…·xn=××…×=，所以数列{xn}的前2 025项的积为.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图1，现有一个底面直径为10 cm，高为25 cm的圆锥形容器，以2 cm3/s的速度向该容器内注入溶液，随着时间t(单位：s)的增加，圆锥形容器内的液体高度也跟着增加，如图2所示，忽略容器的厚度，则当t=π时，圆锥形容器内的液体高度的瞬时变化率为 (　　) √ A. cm/s B. cm/s C. cm/s D. cm/s 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设注入溶液的时间为t(单位：s)时，溶液的高度为h cm，液面半径为r cm，如图可得△SO1B∽△SOA，则=，即r=h，则由π· ·h=2t，解得h=.由h'=，当t=π时，h'==，即t=π时，圆锥形容器内的液体高度的瞬时变化率为 cm/s.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知曲线y=x2的一条切线倾斜角为，则切点坐标为_________.  解析：设切点为(x0，)，由y=x2，求导得y'=2x，可得切线的斜率为k=f'(x0)=2x0，由切线倾斜角为，则斜率是1，即2x0=1，解得x0=，故切点的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知曲线y=ln x的一条切线方程为x-y+c=0，则c=_____.  -1 解析：设切点为(x0，ln x0)，由y=ln x得y'=.因为曲线y=ln x在x=x0处的切线为x-y+c=0，其斜率为1. 所以y'==1，即x0=1，所以切点为(1，0). 所以1-0+c=0，解得c=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)抛物线y=x2上的一动点M到直线l：x-y-1=0距离的最小值为 _________.  1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为y=x2，所以y'=2x，令y'=2x=1，得x=，所以与直线x-y-1=0平行且与抛物线y=x2相切的直线的切点为，切线方程为y-=x-，即x-y-=0，由两平行线间的距离公式可得所求的最小距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)若质点P的运动方程是s(t)=(s的单位为m，t的单位为s)，求质点P在t=8 s时的瞬时速度. 解：s(t)=，故s'(t)=，s'(8)=×=，故质点P在t=8 s时的瞬时速度为 m/s. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)直线y=-x+b是下列函数的切线吗?如果是，请求出b的值；如果不是，请说明理由. (1)y=ln x；(5分) 解：函数y=ln x的定义域为(0，+∞)，则对任意的x>0，y'=>0， 所以直线y=-x+b不是曲线y=ln x的切线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)y=.(5分) 解：函数y=的定义域为{x|x≠0}，令y'=-=-1，解得x=±1， 将x=1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(1，1)，则-1+b=1，解得b=2. 将x=-1代入函数y=的解析式可得切点坐标为(-1，-1)， 则1+b=-1，解得b=-2.综上所述，y=-x+b是函数y=的切线方程，且b=±2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)设l是曲线y=的一条切线，证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 证明：由题意，设点P(x0，y0)为y=图象上的任意一点，且点P处的切线即为l，很明显y0=，y'=-，则y'=-.故曲线在点P(x0，y0)处的切线斜率为-，所以切线l方程为y-y0=-(x-x0)，即y-=-(x-x0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当x=0时，y=；当y=0时，x=2x0， 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积S=··2|x0|=2. 很明显l与坐标轴所围成的三角形的面积是一个定值，与切点选取无关. 所以l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $