5.2.1基本初等函数的导数课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

回顾 从导函数的定义可知，一个函数的导数是唯一确定的. 在必修第一册教材中我们学过基本初等函数，并且知道，很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的. 由此自然想到，能否先求出基本初等函数的导数，然后研究出导数的“运算法则”，这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数. 本节我们就来研究这些问题. 5.2.1 基本初等函数的导数 推导基本初等函数的导(函)数 若y=c表示路程关于时间的函数, 则y′=0的物理意义是某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态. 若y=x表示路程关于时间的函数, 则y′=1的物理意义是某物体的瞬时速度始终为1，即做匀速直线运动. y′=2x的几何意义是函数y=x2的图象上点(x, y)处的切线斜率为2x，即随着x的变化，切线的斜率也在变化 若y=x2表示路程关于时间的函数, 则y′=2x的物理意义是某物体做瞬时速度为2x的变速运动. y′=3x2的几何意义是函数y=x3的图象上点(x, y)处的切线斜率为3x2，即随着x的变化，切线的斜率也在变化，且恒为非负数. 追问：该函数的定义域及其导数的定义域是否一样？ 不一样， 原函数的定义域为{x|x ≥ 0} ， 导数的定义域为{x|x > 0} . 问题: 前面几个函数都是我们学过的一类基本初等函数——幂函数，根据这些幂函数的导数结果， 你能归纳出对于一般幂函数 的导函数公式吗？ 基本初等函数的导数公式表(直接使用) 例2.假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为p(t)= p0(1＋5%)t其中p0为t =0时的物价.假定某种商品的p0=1，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)？ 析：当直线l与曲线y＝ln x相切于点P， 且与直线y＝x＋1平行时，|PQ|最小. 作业（周末） 1.活页《跟踪检测十三》+“数列单元检测”； 2.预习教材5.2节“四则运算法则及复合函数导数”. 题型三　导数的简单综合应用 [典例3]　(1)设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为(　　) A. B. C. D．1 (2)已知两条曲线y＝sin x，y＝cos x，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由． [解析]　(1)选B　对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)·xn.令x＝1，得曲线在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B. (2)由于y＝sin x，y＝cos x， 设这两条曲线的一个公共点为P(x0，y0)． ∴两条曲线在P(x0，y0)处的斜率分别为k1＝cos x0，k2＝－sin x0. 若使两条切线互相垂直，必须cos x0·(－sin x0)＝－1， 即sin x0·cos x0＝1，也就是sin 2x0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直． 由y＝e2x2，得y′＝e2x，所以曲线C2在点B处的切线方程为y－e2x＝e2x2(x－x2)，即y＝e2x2x－e2x.② 解：设直线l与曲线C1：y＝ex的切点为A(x1，ex1)，与曲线C2：y＝e2x2的切点为B.由y＝ex，得y′＝ex，所以曲线C1在点A处的切线方程为y－ex1＝ex1(x－x1)，即y＝ex1x－ex1(x1－1)．① 思考2：3．已知直线l既是曲线C1：y＝ex的切线，又是曲线C2：y＝e2x2的切线，求直线l在x轴上的截距． 所以直线l的方程为y＝e2x－e2.令y＝0，可得直线l在x轴上的截距为1. $$