5.1.2 第1课时 导数的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“导数的概念及其几何意义”，通过函数平均变化率的实例引入，逐步过渡到导数的定义及实际意义，搭建从“粗糙”平均变化到“精确”瞬时变化的认知支架，衔接前后知识脉络。 其亮点在于结合正方形铁板热胀冷缩、蜥蜴体温变化等实例，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过导数定义的严谨推导训练数学思维，以符号公式精确表达变化率发展数学语言。采用“逐点清”分点突破与练明环节，助力学生深化理解，也为教师提供清晰教学路径，提升教学效率。

导数的概念及其几何意义 5.1.2 导数的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 了解导数概念的实际背景.知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，进一步体会导数的内涵与思想. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　函数的平均变化率 逐点清(二)　导数的定义 逐点清(三)　导数在实际问题 中的意义 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　函数的平均变化率 01 　对于函数y=f(x)，设自变量x从x0变化到x0+Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0+Δx).这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy=_________ ______.我们把比值，即=__________________叫做函数y=f(x)从x0到x0+Δx的平均变化率. 多维理解 f(x0+Δx) -f(x0) |微|点|助|解| (1)Δx是自变量的变化量，它可以为正、为负，但不为零；Δy是相应函数值的变化量，它既可以为正、为负，也可以等于零. (2)平均变化率即=的几何意义就是函数y=f(x)图象上的两点(x0，f(x0))与(x0+Δx，f(x0+Δx))所在直线的斜率. (3)利用平均变化率可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度，但效果是“粗糙、不精确”的，只有当Δx=x2-x1无限趋近于0时，这种量化才由“粗糙”趋近于“精确”. 1.设函数f(x)=x2-1，当自变量x由1变为1.1时，函数的平均变化率为 (　　) A.2.1 B.1.1 C.2 D.0 √ 微点练明 解析：===2.1. 2.已知函数h(x)=-4.9x2+6.5x+10. (1)计算从x=1到x=1+Δx的平均变化率，其中Δx的值为①2；②1；③0.1；④0.01. 解：∵Δy=h(1+Δx)-h(1)=-4.9(Δx)2-3.3Δx，∴=-4.9Δx-3.3. ①当Δx=2时，=-4.9×2-3.3=-13.1.②当Δx=1时，=-4.9×1-3.3=-8.2. ③当Δx=0.1时，=-4.9×0.1-3.3=-3.79. ④当Δx=0.01时，=-4.9×0.01-3.3=-3.349. (2)根据(1)中的计算，当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1+Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势? 解：当Δx越来越小时，函数h(x)在区间[1，1+Δx]上的平均变化率逐渐变大，并接近于-3.3. 逐点清(二)　导数的定义 02 　如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称y=f(x)在x=x0处____，并把这个确定的值叫做y=f(x)在____处的____ (也称为瞬时变化率)，记作f'(x0)或y'，即f'(x0)== _________________________. 多维理解 x=x0 可导 导数 |微|点|助|解| (1)f'(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； (2)f'(x0)与Δx的具体取值无关； (3)瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； (4)导数可以描述任何运动变化事物的瞬时变化率； (5)在导数定义中增量Δx的形式是多种多样的，但不论Δx选择哪一种形式，相应的Δy也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式. 1.判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”) (1)函数在x0处的导数f'(x0)与x0和Δx都有关. (　　) (2)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. (　　) (3)函数f(x)=0没有导函数. (　　) (4)f'(x0)与[f(x0)]'表示的意义相同. (　　) (5)若f'(x0)=0，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线不存在. (　　) 微点练明 × × × × × 2.设函数y=f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a，b为常数)，则 (　　) A.f'(x)=a B.f'(x)=b C.f'(x0)=a D.f'(x0)=b √ 解析：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)=aΔx+b(Δx)2(a，b为常数)，=a+bΔx，当Δx趋近于0时，a+bΔx趋近于a，故f'(x0)=a. 3.如果函数y=f(x)在x=0处的导数为，那么=(　　) A.1 B. C. D. √ 解析：由题==f'(0)=，故选B. 4.根据导数的定义，求下列函数的导数： (1)函数y=x2+3在x=1处的导数； 解：因为Δy=[(1+Δx)2+3]-(12+3)=2Δx+(Δx)2， 所以==2+Δx. 所以y'|x=1==(2+Δx)=2. (2)函数y=在x=2处的导数. 解：因为Δy=-=-1=-， 所以=-. 所以y'|x=2==-=-1. 5.已知f(x)在x0处的导数f'(x0)=k，求下列各式的值： (1)； 解：∵=f'(x0)， 即=f'(x0)=k. ∴=. (2). 解：∵， 即为函数f(x)在区间[x0-Δx，x0+Δx]上的平均变化率. ∴当Δx→0时，必趋近于f'(x0)=k，∴=k，∴=2k. 逐点清(三)　导数在实际问题 中的意义 03 [典例]　某正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm.当温度在很小的范围内变化时，由于热胀冷缩，铁板的边长也会发生变化，而且已知温度为t ℃时正方形的边长为10(1+at)cm，其中a为常数，设此时正方形的面积为S cm2，且S=f(t)，求f'(0)并解释其实际意义. 解：依题意可知f(t)=[10(1+at)]2=100(1+at)2.设t=0时温度的改变量为Δt， 则==200a+100a2Δt. 所以f'(0)=(200a+100a2Δt)=200a.这表示在0 ℃时，铁板面积对温度的瞬时变化率为200a.实际意义是，在0 ℃时，温度的改变量Δt ℃很小时，铁板面积的改变量的近似值为200a cm2. |思|维|建|模| 　　导数的物理意义是：函数y=f(x)在x=x0处的导数即为它的瞬时变化率. 　[针对训练] 　蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T(t)=+15，其中T(t)为体温(单位：℃)，t为太阳落山后的时间(单位：min). (1)从t=0 min到t=10 min，蜥蜴的体温下降了多少? 解：在t=0 min和t=10 min时，蜥蜴的体温分别为T(0)=+15=39，T(10)=+15=23，又39-23=16，故从t=0 min到t=10 min，蜥蜴的体温下降了16 ℃. (2)从t=0 min到t=10 min，蜥蜴的体温的平均变化率是多少?它表示什么意义? 解：平均变化率为=-=-1.6. 它表示从t=0 min到t=10 min，蜥蜴的体温平均每分钟下降1.6 ℃. (3)求T'(5)，并说明它的实际意义. 解：T'(5)===-1.2， 它表示t=5 min时蜥蜴体温下降的瞬时速度为1.2 ℃/min. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知物体做直线运动的方程为s=s(t)(位移单位：m，时间单位：s)，则s'(4)=10 m/s表示的意义是 (　　) A.经过4 s后物体向前走了10 m B.物体在前4 s内的平均速度为10 m/s C.物体在第4 s内向前走了10 m D.物体在第4 s末的瞬时速度为10 m/s √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.[多选]若函数f(x)在x=x0处存在导数，则的值(　　) A.与x0有关 B.与h有关 C.与x0无关 D.与h无关 解析：由导数的定义可知，函数f(x)在x=x0处的导数与x0有关，与h无关. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知f(x)=x2-3x，则f'(0)= (　　) A.Δx-3 B.(Δx)2-3Δx C.-3 D.0 √ 解析： f'(0)===(Δx-3)=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.函数y=f(x)=3x+1在点x=2处的瞬时变化率估计是 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：∵Δy=f(2+Δx)-f(2)=3(2+Δx)+1-(3×2+1)=3Δx，则==3，∴当Δx趋于0时，趋于3.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同的产品，需要对原油进行冷却和加热.在第x h时，原油的温度(单位：℃)为y=f(x)(0≤x≤8)，若=-6，则在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为(　　) A.-3 ℃/h B.3 ℃/h C.-6 ℃/h D.6 ℃/h √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由导数的定义可知，在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为 y=f(x)在x=2处的导数，又=-6. 所以f'(2)===×(-6)=-3， 即在第2 h时，原油温度的瞬时变化率为-3 ℃/h.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.A，B两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量W1(t)，W2(t)与时间t(天)的关系如图所示，则一定有 (　　) A.两机关节能效果一样好 B.A机关比B机关节能效果好 C.A机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率比B机关的用电量在[0，t0]上的平均变化率大 D.A机关与B机关自节能以来用电量总是一样大 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题图可知，A，B两机关用电量在[0，t0]上的平均变化率都小于0，由平均变化率的几何意义知，A机关用电量在[0，t0]上的平均变化率小于B机关的平均变化率，从而A机关比B机关节能效果好. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设函数f(x)在x0附近有定义，且f(x0)-f(x0-Δx)=a(Δx)3+b(Δx)2+cΔx，a，b，c为常数，则f'(x0)= (　　) A.0 B.a C.b D.c √ 解析：在f(x0)-f(x0-Δx)=a(Δx)3+b(Δx)2+cΔx中用-Δx替换Δx，知f(x0)-f(x0+Δx) =-a(Δx)3+b(Δx)2-cΔx.所以f(x0+Δx)-f(x0)=a(Δx)3-b(Δx)2+cΔx.故f'(x0)= ==[a(Δx)2-bΔx+c]=c.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]设f(x)在x0处可导，下列式子中与f'(x0)相等的是 (　　) A. B. C. D. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，= =f'(x0)，A满足；对于B，=2 =2f'(x0)，B不满足；对于C，=f'(x0)，C满足；对于D，=3=3f'(x0)，D不满足. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若可导函数f(x)的图象过原点，且满足=-1，则f'(0)=_______.  -1 解析：∵f(x)的图象过原点，∴f(0)=0，∴f'(0)== =-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)函数y=在x=x0(x0≠0)处的导数为_________，在点_______处的导数为.  (1，1) 解析：因为Δy=-==， 则=，所以y'=.令=，得x0=1， 此时y0==1，即函数y=在点(1，1)处的导数为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知f(x)=，则f'(3)=______，若Δx=0.02，利用f(x+Δx)≈f(x) +f'(x)Δx，可得f(3.02)的近似值为________.  9 9.18 解析：f'(3)====9. 若Δx=0.02，则f(3.02)=f(3+0.02)≈f(3)+f'(3)×0.02=9+9×0.02=9.18，即f(3.02)的近似值为9.18. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)设=-2，则曲线f(x)在点(2，f(2))处切线的斜率为______.  -1 解析：=-2，则=f'(2)=-1， 故曲线f(x)在点(2，f(2))处切线的斜率为-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)服药后，人体血液中药物的质量浓度y(单位：μg/mL)是时间t(单位：min)的函数y=f(t)，假设函数y=f(t)在t=10和t=100处的导数分别为f'(10)=1.5和f'(100)=-0.6，试解释它们的实际意义. 解：f'(10)=1.5表示在服药后第10 min附近，血液中药物的质量浓度大约以1.5 μg/(mL·min)的速度上升. f'(100)=-0.6表示服药后第100 min附近，血液中药物的质量浓度大约以0.6 μg/(mL·min)的速度下降. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知函数f(x)=求f'(4)·f'(-1)的值. 解：令y=f(x)，当x=4 时，Δy=-+=-= =，∴=， ∴===，∴f'(4)=. 当x=-1 时，===Δx-2， 由导数的定义，得f'(-1)=(Δx-2)=-2.∴ f'(4)·f'(-1)=×(-2)=-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $