4.3.2 第2课时 等比数列的前n项和的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

等比数列的前n项和的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等比数列前n项和的 实际应用 题型(二)　递推公式的实际应用 题型(三)　分组转化法求和 4 课时跟踪检测 题型(一)　等比数列前n项和的 实际应用 01 [例1]　某家用电器一件现价2 000元,实行分期付款,每期付款数相同,每期为一月,购买后一个月开始付款,每月付款一次,共付12次,购买后一年还清,月利率为0.8%,按复利计算,那么每期应付款多少?(1.00812≈1.1) 解:设每期应付款x元,则第1期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)11,第2期付款到最后一次付款时的本息和为x(1+0.008)10,…, 第12期付款没有利息,所以各期付款连同利息之和为x(1+0.008)11+x(1+0.008)10 +…+x=x.又所购电器的现价及其利息之和为2 000×1.00812, 于是有x=2 000×1.00812. 解得x=≈176(元).所以每期应付款176元. |思|维|建|模| 应用等比数列解决实际问题的一般思路 (1)实际生活中的增长率问题,分期付款问题等都是等比数列问题; (2)解决此类问题的关键是由实际情况抽象出数列模型,利用知识求解. 针对训练 1.某市共有1万辆燃油型公交车.有关部门计划于2025年投入128辆电力型公交车,随后电力型公交车每年的投入比上一年增加50%.则: (1)该市在2031年应该投入电力型公交车多少辆? 解:每年投入电力型公交车的数量可构成等比数列{an}, 其中a1=128,q=. ∴2031年应投入的数量为a7=a1q6=128×=1 458(辆). (2)到哪一年年底,电力型公交车的数量开始超过公交车总量的? 解:设{an}的前n项和为Sn,则Sn==256×, 由Sn>(10 000+Sn)×,即Sn>5 000,解得n≥8. ∴到2032年底电力型公交车的数量开始超过该市公交车总量的. 题型(二)　递推公式的实际应用 02 [例2]　某企业投资1 000万元用于一个高科技项目,每年可获利25%,由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率,问至少经过多少年,该项目的资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标?(lg 2≈0.3) 解:设经过n年后,该项目的资金为an万元. 由题意得,an=an-1(1+25%)-200(n≥2),整理可得an-800=(an-1-800), 即{an-800}成一个等比数列,a1=1 000(1+25%)-200=1 050,a1-800=250, ∴an-800=250,即an=250+800,令an≥4 000,得≥16,解得n≥12,即至少经过12年,该项目的资金可以达到或超过翻两番的目标. |思|维|建|模| 　　理解题意,建立数列中an与an+1或an与an-1之间的关系,构造数列,确定数列的通项公式求解. 针对训练 2.“绿水青山就是金山银山.”我国某西部地区进行沙漠治理,已知该地区有土地1万平方千米,其中70%是沙漠,从今年起,该地区进行绿化改造,每年把原有沙漠的16%改造为绿洲,同时原有绿洲的4%被沙漠所侵蚀又变成沙漠,设从今年起第n年绿洲面积为an万平方千米. (1)求an与an-1(n≥2)的关系; 解:由题意知当n≥2时,an=(1-0.04)an-1+(1-an-1)×0.16=0.8an-1+0.16 =an-1+,所以an=an-1+(n≥2). (2)判断是不是等比数列,并说明理由; 解:数列是等比数列.理由如下: 由(1)得an=an-1+(n≥2), 设an+x=(an-1+x),可得an=an-1-,所以-=,可得x=-, 所以an-=(n≥2),且a1-=-=-. 因此,数列是首项为-,公比为的等比数列. (3)至少经过几年,绿洲面积可超过60%?(lg 2≈0.301) 解:由(2)可知,数列是首项为-,公比为的等比数列, 所以an-=-×,即an=-×+. 令an=-×+>,得<,两边取常用对数,得(n-1)lg<lg, 所以n-1>===≈=≈4.1, 所以n>5.1,所以至少经过6年,绿洲面积可超过60%. 题型(三)　分组转化法求和 03 [例3]　已知数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,且2a2+a4=13,S7=49. (1)求{an}的通项公式; 解:设等差数列{an}的公差为d,又2a2+a4=13,S7=49, 所以解得a1=1,d=2, 所以{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1. (2)设bn=an+,求数列{bn}的前n项和Tn. 解:由(1)知bn=an+=2n-1+22n-1,所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=(1+2)+ (3+23)+(5+25)+…+(2n-1+22n-1)=(1+3+5+…+2n-1)+(2+23+25+…+22n-1) =+=+n2. |思|维|建|模| 分组法求数列的前n项和的方法技巧 　　如果一个数列是等差数列与等比数列的代数和,求其前n项和需要先分组再利用公式求和. 针对训练 3.设Sn为数列{an}的前n项和,满足Sn=1-an(n∈N*). (1)求证:an=; 解:证明:因为数列{an}的前n项和满足Sn=1-an,当n≥2时, 可得Sn-1=1-an-1,两式相减得an=an-1-an,即2an=an-1,所以=. 当n=1时,S1=1-a1,解得a1=.所以数列{an}构成首项为,公比为的等比数列,所以数列{an}的通项公式为an=·=. (2)记Tn=++…+,求Tn. 解:由(1)知an=,可得Sn=1-, 所以==1-2·+=1-+, 则Tn=++…+=n-2+ =n-2×+=n+--. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1.我国古代的数学名著《九章算术》中记载:“今有蒲生一日,长三尺,蒲生日自半”.其意为今有蒲草第一日长高3尺,以后蒲草每日长高前一日的半数,则蒲草第5日的高度为 (　　) A.尺 B.尺 C.尺 D.尺 √ 解析:由题意,蒲草每日增长的高度成等比数列,等比数列的首项为3,公比为,蒲草第5日的高度为等比数列前5项和,S5==(尺). 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 2.小李年初向银行贷款M万元用于购房,购房贷款的年利率为P,按复利计算,并从借款后次年年初开始归还,分10次等额还清,每年1次,问每年应还 (　　) A.万元 B.万元 C.万元 D.万元 √ 解析:设每年应还x万元,则有x+x(1+P)+x(1+P)2+…+x(1+P)9= M(1+P)10,得 =M(1+P)10,解得x=. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 3.若数列{an}的通项公式为an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和为 (　　) A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1 C.2n+n-2 D.2n+1+n2-2 √ 解析:由题可知,设数列{an}的前n项和为Sn,所以Sn=a1+a2+…+an,即Sn=(2+22+…+2n)+(1+3+…+2n-1),所以Sn=+,故Sn=2n+1-2+n2. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 4.有一座七层塔,每层所点灯的盏数都是其上面一层的两倍,这座塔一共点381盏灯,则底层所点灯的盏数是 (　　) A.190 B.191 C.192 D.193 √ 解析:设最上面一层有x盏,则第二层有2x盏,第三层有4x盏,第四层有8x盏,…,第七层有26x盏(层数从上面数).由题意知x+2x+4x+8x+…+26x= x(1+2+22+23+…+26)==127x=381,∴x=3.故底层的盏数为26×3=192. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 5.某种细胞开始时有2个,1小时后分裂成4个并死去1个,2小时后分裂成6个并死去1个,3小时后分裂成10个并死去1个……按照此规律,6小时后细胞存活个数是 (　　) A.33 B.64 C.65 D.127 √ 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 解析:将开始时的细胞个数记为a1=2,1小时后的细胞个数记为a2=3,2小时后的细胞个数记为a3=5,3小时后的细胞个数记为a4=9,…,由题意可得a1=2,当n≥2时,an=2an-1-1,则an-1=2(an-1-1),所以数列{an-1}是以2为公比,1为首项的等比数列,所以an-1=2n-1,所以an=2n-1+1,所以6小时后细胞存活个数为a7=26+1=65. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 6.(5分)数列1,(1+2),(1+2+22),(1+2+22+23),…,(1+2+…+2n-1),…的前n项和为__________.  2n+1-2-n 解析:观察数列得到an=1+2+…+2n-1==2n-1, 所以前n项和Sn=a1+a2+…+an=21-1+22-1+…+2n-1=21+22+…+2n-n =-n=2n+1-2-n. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 7.(5分)“杨辉三角”是数学史上的一个伟大成就.在如图所示的“杨辉三角”中,去掉所有的数字1,余下的数逐行从左到右排列,得到数列{an}为2,3,3,4,6,4,5,10,…,则数列{an}的前10项和为______;若am=10, m∈N*,则m的最大值为______.  52 45 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 解析:由于n次二项式系数对应“杨辉三角”的第n+1行,例如(x+1)2= x2+2x+1,系数分别为1,2,1,对应“杨辉三角”的第三行.令x=1,就可以求出该行的系数和,第1行为20,第2行为21,第3行为22,以此类推即每一行数字和为首项为1,公比为2的等比数列的和,则“杨辉三角”的前n行之和为Sn==2n-1,若去除所有1的项,则剩下的每一行数字的个数为1,2,3,4, …,可以看成一个首项为1,公差为1的等差数列{bn},则{bn}的前n项和Tn= ,可得当n=4时,T4=10,则数列{an}的前10项和为S6-(2×5+1)=26-12= 52;根据“杨辉三角”的分布规律,最后出现am=10的位置应为去掉所有1的项的第9行的最后一项,所以T9==45. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 8.(10分)已知数列{an}为各项均为正数的等比数列,a2=4,a3-a1=15. (1)求{an}的通项公式;(6分) 解:设等比数列的公比为q, 因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,a2=4,a3-a1=15, 所以解得a1=1,q=4(舍负),所以an=22n-2. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 (2)若bn=log2an,求{bn}的前n项和Tn.(4分) 解:由(1)知an=22n-2,因为bn=log2an=log222n-2=2n-2, 所以Tn=2×1+2×2+2×3+…+2n-n·2=2(1+2+3+…+n)-2n =2×-2n=n2-n. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 9.(10分)已知数列{an}为等比数列,a2=2,a5=16,bn=log2an,cn=an+bn. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;(5分) 解:设数列{an}的公比为q,则q3===8,所以q=2,所以an=a2·qn-2= 2·2n-2=2n-1,所以bn=log2an=log22n-1=n-1. (2)求数列{cn}的前n项和Sn.(5分) 解:cn=an+bn=2n-1+n-1,所以Sn=20+0+21+1+22+2+…+2n-1+n-1=(20+21+22 +…+2n-1)+(0+1+2+…+n-1)=+=2n-1+n(n-1). 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 10.(10分)某地牧场牧草深受病害困扰,某科研团队研制了治疗牧草病害的新药,为探究新药的效果,进行了如下的喷洒试验:隔离选取1 000平方米牧草,在第一次喷药前测得其中800平方米为正常牧草,200平方米为受害牧草,每三天给受害牧草喷药一次.试验的结论为每次喷药前的受害牧草有80%的面积会在下一次喷药前变为正常牧草,每次喷药前的正常牧草有t%(0<t<20)的面积会在下一次喷药前被感染为受害牧草.假设试验过程牧草的总面积不变,记第n次喷药前正常牧草的面积为an平方米. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 (1)求使得a2≥900成立的t的最大整数值;(5分) 解:由题意,在第一次喷药前,正常牧草面积a1=800平方米. 每一次喷药后,正常牧草面积与喷药前正常牧草面积的关系为an+1=(1 000-an)×80%+an×(1-t%)=800+an　①. 所以a2=800+×800=960-8t. 要使得a2≥900成立,即要使得960-8t≥900成立,解得t≤7.5. 所以使得a2≥900成立的t的最大整数值为7. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 (2)证明:在t取(1)中最大整数值的情况下,如果试验一直持续,正常牧草的面积不可能超过920平方米.(5分) 解:证明:由题设得t=7,代入①式可得an+1=0.13an+800　②. 用待定系数法,设实数λ满足an+1+λ=0.13(an+λ)　③. 由③-②可得-0.87λ=800,λ=-, 则数列{an+λ}是公比为0.13的等比数列,通项公式为an+λ=(a1+λ)×0.13n-1. 即an=(a1+λ)×0.13n-1-λ,又因为a1+λ=800-<800-=0,故an<-λ. 又因为87×920=80 040>80 000,所以an<-λ=<=920, 即无论n取多少,正常牧草的面积an不可能超过920平方米. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $