4.2.2 第2课时 等差数列的前n项和的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

等差数列的前n项和的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 能构造等差数列求和模型,解决实际问题;能够利用等差数列的前n项和的函数性质求其前n项和的最值. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　等差数列前n项和的实际应用 题型(二)　等差数列前n项和的 最值问题 题型(三)　求数列{|an|}的前n项和 4 课时跟踪检测 题型(一)　等差数列前n项和的 实际应用 01 [例1]　某抗洪指挥部接到预报,24小时后有一洪峰到达,为确保安全,指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算,除现有的参战军民连续奋战外,还需调用20台同型号翻斗车,平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用,每隔20分钟能有一辆翻斗车到达,一共可调集25辆,那么在24小时内能否构筑成第二道防线? 解:从第一辆车投入工作算起各车工作时间(单位:小时)依次设为a1,a2, …,a25.由题意可知,此数列为等差数列,且a1=24,公差d=-.25辆翻斗车完成的工作量为a1+a2+…+a25=25×24+25×12×=500,而需要完成的工作量为24×20=480.∵500>480,∴在24小时内能构筑成第二道防线. |思|维|建|模|　应用等差数列解决实际问题的一般思路 针对训练 1.明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n,Sn和d求各项的问题,如九儿问甲歌:“一个公公九个儿,若问生年总不知,自长排来差三岁,共年二百又零七.借问长儿多少岁,各儿岁数要详推.”意思是一位老人有九个儿子,不知道他们的出生年月,他们的年龄从大到小排列都差3岁,所有儿子的年龄加起来是207.只要算出长子是多少岁,其他每个儿子的岁数就可以推算出来,则该问题中老人长子的岁数为 (　　) A.27 B.31 C.35 D.39 √ 解析:依题意,九个儿子的岁数从大到小构成公差为-3的等差数列,设长子的岁数为a1,则9a1+×(-3)=207,解得a1=35,所以该问题中老人长子的岁数为35.故选C. 题型(二)　等差数列前n项和 的最值问题 02 1.等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn=na1+d=dn2+n,当d≠0时,Sn是关于n的二次函数,且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A≠0);当d=0时,Sn=na1,Sn是关于n的一次函数. 2.等差数列前n项和的最值 (1)若a1<0,d>0,则数列的前面若干项为负数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最小值. (2)若a1>0,d<0,则数列的前面若干项为正数项(或0),所以将这些项相加即得{Sn}的最大值. 特别地,若a1>0,d>0,则S1是{Sn}的最小值;若a1<0,d<0,则S1是{Sn}的最大值. [例2]　在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15. (1)求数列{an}的通项公式; 解:设等差数列{an}的公差为d, 由题意得解得∴an=3n-12 (2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取得最小值. 解:法一　Sn==(3n2-21n)=-, ∴当n=3或4时,前n项和取得最小值,最小值为S3=S4=-18. 法二　设Sn最小,则 即解得3≤n≤4, 又n∈N*,∴当n=3或n=4时,前n项和取得最小值,最小值为S3=S4=-18. [变式拓展] 1.在本例中,根据第(2)题的结果,若Sn=0,求n. 解:法一　因为S3=S4=-18为Sn的最小值,由二次函数的图象可知,其对称轴为x=,所以当x=0和x=7时,图象与x轴的交点为(0,0),(7,0),又n∈N*,所以S7=0,所以n=7. 法二　因为S3=S4,所以a4=S4-S3=0,故S7=×7×(a1+a7)=7a4=0,所以n=7. 2.将本例变为:等差数列{an}中,设Sn为其前n项和,且a1>0,S3=S11,则当n为多少时,Sn最大? 解:法一　要求数列前多少项的和最大,从函数的观点来看,即求二次函数Sn=an2+bn的最大值,故可用求二次函数最值的方法来求当n为多少时,Sn最大.由S3=S11,可得3a1+d=11a1+d,即d=-a1. 从而Sn=n2+n=-(n-7)2+a1,又a1>0,所以-<0.故当n=7时,Sn最大. 法二　由于Sn=an2+bn是关于n的二次函数,由S3=S11,可知Sn=an2+bn的图象关于n==7对称.由法一可知a=-<0,故当n=7时,Sn最大. |思|维|建|模| 等差数列前n项和的最值问题的三种解法 (1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值,可由an≥0且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0时,前n项和有最小值,可由an≤0且an+1≥0,求得n的值. (2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数配方法求取得最值时n的值. (3)利用二次函数的图象的对称性. 针对训练 2.[多选]设数列{an}是等差数列,Sn是其前n项和,a1>0且S6=S9,则 (　　) A.d>0 B.a8=0 C.S7或S8为Sn的最大值 D.S5>S6 √ √ 解析: a1>0且S6=S9,∴6a1+d=9a1+d,化为a1+7d=0, 可得a8=0,d<0.S7或S8为Sn的最大值,S5<S6.故选BC. 题型(三)　求数列{|an|}的前n项和 03 [例3]　已知数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn. 解:a1=S1=-×12+×1=101. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=- =-3n+104. ∵n=1也适合上式,∴数列{an}的通项公式为an=-3n+104. 由an=-3n+104≥0得n≤34,即当n≤34时,an>0;当n≥35时,an<0. 法一　①当n≤34时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=-n2+n. ②当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=2-=n2-n+3 502. 故Tn= 法二　①当n≤34时,同法一. ②当n≥35时, Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a34)-(a35+a36+…+an)= -=n2-n+3 502. 故Tn= |思|维|建|模| 由等差数列{an}求数列{|an|}的前n项和的技巧 　　常先由Sn的最值判断出哪些项为正,哪些项为负或先求出an,解an≥0得n的取值范围判断出哪些项为正,哪些项为负. (1)等差数列{an}的各项都为非负数,这种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解. (2)若前k项为负,从k+1项开始以后的项非负,则{|an|}的前n项和Tn= (3)若前k项为正,以后各项非正,则Tn= (4)也可以分别求出an≥0与an<0的和再相减求出|an|的和. 针对训练 3.已知数列{an}的前n项和Sn=14n-n2+1,若Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|,则T30= (　　) A.578 B.579 C.580 D.581 √ 解析:当n=1时,a1=S1=14,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=15-2n(n≥2),经检验n=1时,不成立,故得到an=令an<0,则15-2n<0,解得n>,且n≥2,n∈N*.当n≤7时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|=a1+a2+a3+…+an= +1=(14-n)n+1; 当n≥8时,Tn=|a1|+|a2|+|a3|+…+|an|= a1+…+a7-(a8+a9+…+an) =S7-(Sn-S7)=2S7-Sn=100-(14n-n2+1)=n2-14n+99. 故Tn=T30=579.故选B. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.等差数列{an}中,d=2,S3=-24,其前n项和Sn取最小值时n的值为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.5或6 √ 解析:由d=2,S3=3a1+3d=-24,得a1=-10.令an=-10+(n-1)×2=0,解得n=6,所以a6=0.从而S5=S6均为最小值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.已知等差数列{an}是无穷数列,若a1<a2<0,则数列{an}的前n项和Sn (　　) A.无最大值,有最小值 B.有最大值,无最小值 C.有最大值,有最小值 D.无最大值,无最小值 √ 解析:由数列{an}为等差数列,且a1<a2<0,得公差d=a2-a1>0,故数列{an}为递增数列,且a1<0,所以Sn有最小值,无最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.某工厂计划今年1月份生产某产品100件,以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件,为保证今年该产品的总产量超过1 800件,则k的最小值为 (　　) A.10 B.11 C.12 D.13 √ 解析:因为该工厂计划今年1月份生产某产品100件,以后每个月都比上个月多生产k(k∈N)件,所以每月的产量构成以今年1月份的产量100件为首项,k为公差的等差数列,由今年该产品的总产量超过1 800件,所以12×100+ ·k>1 800,解得k>.又k∈N,所以k的最小值为10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且S2 023>0,S2 024<0,则当Sn最大时,n= (　　) A.1 010 B.1 011 C.1 012 D.1 013 √ 解析:由S2 023>0可得S2 023==2 023a1 012>0,即a1 012>0. 由S2 024<0可得S2 024==1 012(a1 012+a1 013)<0,即a1 012+a1 013<0,所以a1 013<0,则数列{an}是前1 012项为正数,从第1 013项开始为负数的递减数列,故当Sn最大时,n=1 012,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=11,a5=3,则 (　　) A.S5=35 B.an=13-2n C.|an|的最小值为0 D.Sn的最大值为36 √ √ √ 解析:设等差数列{an}的公差为d,则a5=a1+4d=11+4d=3,解得d=-2.S5=5a1+ d=5×11+10×(-2)=35,A正确;an=a1+(n-1)d=11-2(n-1)=13-2n,B正确;|an|= |13-2n|=故当n=6或7时,|an|取最小值1,C错误;Sn=na1+ =11n-n(n-1)=-n2+12n=-(n-6)2+36,故当n=6时,Sn取得最大值36,D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.在等差数列{an}中,其前n项和为Sn,n>(n+1)Sn(n∈N*),且<-1,则在Sn中(　　) A.最小值是S7 B.最小值是S8 C.最大值是S8 D.最大值是S7 √ 解析:由n>(n+1)Sn,得>,即->0.而-=,所以d>0.因为<-1,所以<0,即a7(a7+a8)<0.由于d>0,因此数列{an}是递增数列,所以a7<0,a7+a8>0,所以a7<0,a8>0,所以在Sn中最小值是S7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.[多选]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S8=-556,an+2-an=6,则 (　　) A.an=3n-83 B.{Sn}中的最小值为S28 C.使Sn<0的n的最大值为52 D.|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=37 √ √ 解析:依题意,等差数列{an}的公差d==3,由S8=-556,得8a1+28×3 =-556,解得a1=-80,数列{an}的通项公式an=a1+(n-1)d=3n-83,A正确;显然等差数列{an}是递增数列,且a27<0,a28>0,则{Sn}中的最小值为S27,B错误;又Sn==,由Sn<0,得0<n<,又n∈N*,故n的最大值为54,C错误;|a1|+|a2|+|a3|+…+|a54|=S54-2S27=-2×=81×27=37,D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)等差数列{an}中,已知a5>0,a4+a7<0,则{an}的前n项和Sn的最大值为________.  S5 解析:∵∴∴Sn的最大值为S5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)某渔业公司年初购进一艘渔船用于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为_____万元.  300 解析:由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费构成以12为首项,4为公差的等差数列,则S10=10×12+×10×9 ×4=300(万元). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)在等差数列{an}中,已知公差d>0,a3+a5=-4,a2a6=-12,则数列{|an|}的前4项和S4=______.  20 解析:由解得或(舍去). 故an=2n-10,当n≤4时,an<0, ∴S4=-=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)记Sn为等差数列{an}的前n项和,已知a2=11,S10=40. (1)求{an}的通项公式;(3分) 解:设{an}的公差为d,则 解得a1=13,d=-2.所以{an}的通项公式为an=13+(n-1)·(-2)=15-2n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求数列{|an|}的前n项和Tn.(7分) 解:由(1)得|an|=当n≤7时, Tn=13n+×(-2)=14n-n2, 当n≥8时,Tn=T7+1+3+5+…+(2n-15)=T7+1+3+5+…+[2(n-7)-1]=14×7-72+=98-14n+n2. 综上,Tn= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(15分)某地为了防止水土流失,植树造林,绿化荒沙地,每年比上一年多植相同公顷数的林木,但由于自然环境和人为因素的影响,每年都有相同公顷数的土地沙化,具体情况如下表所示:   2022年 2023年 2024年 新植公顷数 1 000 1 400 1 800 沙地公顷数 25 200 24 000 22 400 而一旦植完,则不会被沙化. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (1)每年沙化的土地公顷数为多少?(7分) 解:依题意,每年比上一年多造林400公顷,其中2023年新植1 400公顷, 故当年沙地应为25 200-1 400=23 800公顷,而实际沙地面积为24 000公顷, 所以2023年沙化土地面积为24 000-23 800=200公顷, 同理可得2024年沙化土地面积也为200公顷. 所以每年沙化的土地面积为200公顷. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)到哪一年可绿化完全部荒沙地?(8分) 解:设2024年及其以后各年的造林面积分别为a1,a2,a3,…,an, 则an=1 800+(n-1)×400=400n+1 400, 所以n年造林的面积总和为Sn=1 800n+×400, 由(1)知,每年林木的“有效面积”应比实际面积少200公顷, 依题意可得Sn-200n≥24 000, 化简得n2+7n-120≥0,解得n≥8. 故8年,即到2031年可绿化完全部荒沙地. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)设P1(x1,y1),P2(x2,y2),…, Pn(xn,yn)(n≥3,n∈N*)都在椭圆C:+=1上,且a1=|OP1|2,a2=|OP2|2,…, an=|OPn|2构成一个公差为d(d≠0)的等差数列(其中O是坐标原点),记Sn=a1+a2+…+an及P1(10,0). (1)若S3=255,求点P3的坐标(写出一个即可);(6分) 解:由S3=3a2=255,解得a2=85,因为P1(10,0),所以a1==100,所以a3=S3-a1-a2=255-100-85=70,可得a3=|OP3|2=70, 由解得 故点P3的坐标可以为(2, ).(答案不唯一) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)当公差d变化时,求S100的最小值.(9分) 解:原点O到椭圆C: +=1(a>b>0)上各点的最小距离为b,最大距离为a. 因为a1==a2,所以d<0,且an==a2+(n-1)d≥b2,故≤d<0. 因为n≥3,>0,所以Sn=na2+d在上递增, 故Sn的最小值为na2+×=. 当椭圆C:+=1,即a2=100,b2=25时, S100的最小值为=6 250. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $