4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

4.2.2 等差数列的前n项和公式 等差数列的前n项和公式 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.了解等差数列前n项和公式的推导过程. 2.掌握等差数列前n项和公式. 3.理解并应用等差数列前n项和的性质. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 ____________ ______________ Sn= Sn=na1+d |微|点|助|解| (1)公式Sn=反映了等差数列的性质,任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和. (2)由公式Sn=na1+d知d=0时,Sn=na1;d≠0时,等差数列的前n项和Sn是关于n的没有常数项的“二次函数”. (3)公式里的n表示的是所求等差数列的项数. 2.等差数列前n项和的常见性质 (1)若数列{an}是公差为d的等差数列,则数列也是等差数列,且公差为_____. (2)若Sn,S2n,S3n,…分别为等差数列{an}的前n项,前2n项,前3n项,…和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等差数列,公差为_____. (3)设两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=. n2d (4)若等差数列的项数为2n,则S2n=n(an+an+1),S偶-S奇=___, =(S奇≠0). (5)若等差数列的项数为2n+1,则=(2n+1)an+1(an+1是数列的中间项), S偶-S奇=-an+1, =(S奇≠0). (6)在等差数列中,若Sn=m,Sm=n,则=-(m+n). nd |微|点|助|解| 　　上述性质可用于小题,大题中要先证再用.性质(2)不要误解为Sn,S2n,S3n,…成等差数列. 1.数列{an}为等差数列,它的前n项和为Sn,若Sn=(n+1)2+λ,则λ的值是 (　　) A.-2 B.-1 C.0 D.1 √ 基础落实训练 解析:等差数列前n项和Sn的形式为Sn=an2+bn,所以λ=-1. 2.已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=-2,则前10项和S10= (　　) A.-20 B.-40 C.-60 D.-80 √ 解析:由公式Sn=na1+d得S10=10×1+×(-2)=-80. 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a4=18-a5,则S8等于 (　　) A.72 B.54 C.36 D.18 √ 解析:由a4=18-a5,可得a4+a5=18,所以S8==4(a4+a5)=4×18=72,故选A. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　等差数列前n项和的基本运算 [例1]　(1)已知{an}是等差数列,a10=10,其前10项和S10=70,求公差d; 解:由等差数列的前n项和公式可得S10==5(a1+10)=70, 解得a1=4,∴d==. (2)已知{an}为等差数列,公差d=2,前n项和为Sn,an=11,Sn=35,求a1,n; 解:由题设可得解得或 (3)在等差数列{an}中,已知a2+a5=19,S5=40,求a10. 解:由题设可得 即解得故a10=2+3×(10-1)=29. [变式拓展] 　本例(2)中,将“d=2”改为“a1=3”,其他条件不变,求n和公差d. 解:法一　由得解得 法二　∵a1=3,an=11,Sn=35,∴35==7n, 即n=5.又11=3+(5-1)d,∴d=2. 　　|思|维|建|模| (1)利用基本量求值:等差数列的通项公式和前n项和公式中有五个量a1,d,n,an和Sn,这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量a1和d的方程组,解出a1和d便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. (2)结合等差数列的性质解题:等差数列的常用性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq,特别地,m+n=2r,则2ar=am+an,常与求和公式Sn=结合使用. 针对训练 1.(2024·全国甲卷)等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,a3+a7= (　　) A.-2 B. C.1 D. √ 解析:法一:利用等差数列的基本量　 由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9=9a1+d=1⇔9a1+36d=1. 又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)=. 法二:利用等差数列的性质　根据等差数列的性质,得a1+a9=a3+a7, 由S9=1,根据等差数列的求和公式, S9===1,故a3+a7=. 法三:特殊值法　不妨取等差数列公差d=0,则S9=1=9a1⇒a1=, 则a3+a7=2a1=. 2.记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1=-2,a2+a6=2,则S10=_______.  25 解析:法一　设等差数列{an}的公差为d,则由a2+a6=2,得a1+d+a1+5d =2,即-4+6d=2,解得d=1,所以S10=10×(-2)+×1=25. 法二　设等差数列{an}的公差为d,因为a2+a6=2a4=2,所以a4=1,所以d===1,所以S10=10×(-2)+×1=25. 题型(二)　等差数列前n项和公式的应用 [例2]　已知数列{an}的前n项和Sn=3n2+4n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式an; 解:当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n-3(n-1)2-4(n-1)=6n+1, 当n=1时,a1=S1=3+4=7,满足an=6n+1,即数列{an}的通项公式an=6n+1. (2)求证:数列{an}是等差数列. 解:证明:∵an=6n+1,∴当n≥2时,an-an-1=6n+1-6(n-1)-1=6为常数,则数列{an}是等差数列. [变式拓展] 　若本例中数列{an}的前n项和为Sn=3n2+4n+1(n∈N*).求数列{an}的通项公式并判断数列是否是等差数列,若是,请证明;若不是,请说明理由. 解:不是,理由如下: 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+4n+1-3(n-1)2-4(n-1)-1=6n+1, 当n=1时,a1=S1=3+4+1=8, 不满足an=6n+1,所以an= 显然{an}不是等差数列. |思|维|建|模| 　　由Sn求得通项公式an的特点:若Sn是关于n的二次函数,不含常数项,则由Sn求得an,知数列{an}是等差数列;否则an=数列{an}不是等差数列. 针对训练 3.已知一个数列{an}的前n项和Sn=25n-2n2+r. (1)当r=0时,求证:该数列{an}是等差数列; 解:证明:当r=0时,Sn=25n-2n2,令n=1,S1=25-2=23,所以n≥2时,Sn-1= 25(n-1)-2(n-1)2,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,此时a1=27-4=23,所以an=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4,可得数列{an}是公差为-4的等差数列. (2)若数列{an}是等差数列,求r满足的条件. 解:Sn=25n-2n2+r,令n=1,得S1=25-2+r=23+r,所以n≥2时,Sn-1=25(n-1)-2(n-1)2+r,所以an=Sn-Sn-1=25n-2n2-25(n-1)+2(n-1)2=27-4n,所以an-an-1=(27-4n)-27+4(n-1)=-4,可得n≥2时,数列{an}是公差为-4的等差数列,若数列{an}是等差数列,则a1=27-4=23=23+r,所以r=0.  题型(三)　等差数列前n项和的性质及应用 [例3]　已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S10=100,S100=10,求S110. 解:法一　设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,∵S10=100,S100=10, ∴解得 ∴S110=110a1+d=110×+×=-110. 法二　设等差数列{an}的前n项和Sn=An2+Bn. 由题设条件可知 解得故S110=-×1102+×110=-110. 法三　∵S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100,…成等差数列, 设公差为d,∴该数列的前10项和为10×100+d=S100=10,解得d=-22, ∴前11项和S110=11×100+×(-22)=-110. 法四　由也是等差数列,构造新的等差数列b1==10,b10==, 则d=(b10-b1)=×=-,所以b11==b10+d=+=-1, ∴S110=-110. 法五　直接利用性质Sn=m,Sm=n,Sm+n=-(m+n),可得S110=-110. |思|维|建|模| 等差数列前n项和运算的几种思维方法 (1)整体思路:利用公式Sn=,设法求出整体a1+an,再代入求解. (2)待定系数法:利用Sn是关于n的二次函数,设Sn=An2+Bn(A≠0),列出方程组求出A,B即可,或利用是关于n的一次函数,设=an+b(a≠0)进行计算. (3)利用Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列进行求解. 针对训练 4.在项数为2n+1的等差数列中,若所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n= (　　) A.9 B.10 C.11 D.12 √ 解析:根据等差数列前n项和的性质可得 ==,解得n=10. 5.已知Sn是等差数列{an}的前n项和.若a1=-2 023,-=6, 则S2 025=______.  2 025 解析:由等差数列的性质可得数列也为等差数列.设其公差为d, 则-=6d=6,所以d=1.故=+2 024d=-2 023+2 024=1, 所以S2 025=1×2 025=2 025. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.在等差数列{an}中,已知a1=10,d=2,Sn=580,则n等于 (　　) A.10 B.15 C.20 D.30 √ 解析:因为Sn=10n+n(n-1)×2=n2+9n,所以n2+9n-580=0,解得n=20或n=-29(舍去). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a8=17,S17=340,则数列{an}的公差是 (　　) A.-4 B.-3 C. D.3 √ 解析:因为S17===17a9=340,所以a9=20,又a8=17,所以d=a9-a8=20-17=3.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知等差数列{an}中,a1=1,Sn为{an}的前n项和,S5=5S3-5,则S4= (　　) A.4 B.-2 C.3 D.-1 √ 解析:记等差数列{an}的公差为d,则S5=5a1+10d=5(3a1+3d)-5,整理得2a1+d-1=0,又a1=1,所以d=-1,所以S4=4×1+×(-1)=-2.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=9,S6=36,则a7+a8+a9= (　　) A.27 B.45 C.81 D.18 √ 解析:由等差数列{an},得S3,S6-S3,S9-S6成等差数列,可得2(S6-S3)= S3+S9-S6,即2×(36-9)=9+ S9-S6,解得S9-S6=45,即a7+a8+a9=45.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(2025·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若S3=6,S5=-5,则S6= (　　) A.-20 B.-15 C.-10 D.-5 √ 解析:法一　由S3=3a2=6⇒a2=2,S5=5a3=-5⇒a3=-1, ∴等差数列{an}的公差d=a3-a2=-3,a1=5,∴S6=6a1+15d=6×5-15×3=-15. 法二　Sn为等差数列{an}的前n项和,故为等差数列,设该等差数列的公差为d1,由-=2d1,解得d1=-,∴=+d1=-1-,解得S6=-15. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]已知两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得为整数的k的取值可以是(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 √ √ √ 解析:由等差中项以及等差数列求和公式可得== ===5+∈Z,又因为k∈N*,所以k∈{1,2,4}.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.[多选]记等差数列{an}的前n项和为Sn,公差为d,若a1+a2 025<0且a2+a2 025>0,则下列说法正确的有 (　　) A.d<0 B.S2 025<0 C.a1 013+2a1 014>0 D.S2 026·a1 013>0 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:对于A,由题意得an=a1+(n-1)d,由a1+a2 025<0可得a1+1 012d<0,由a2+a2 025>0,即a1+d>0,可知d>0,故A错误;对于B,S2 025=2 025a1+ d=2 025(a1+1 012d)<0,故B正确;对于C,a1 013+2a1 014>0等价于a1+d>0,又a1+d>a1+d>0,故C正确;对于D,S2 026=2 026a1+ d=2 026>0,且a1 013=<0,故S2 026·a1 013<0,故D错误.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7, 3a2+a5=5,则S10=______.  95 解析:因为数列an为等差数列, 则由题意得解得 则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)均在函数y=2x-3的图象上,则数列{an}的通项公式an=________.  4n-5 解析:依题意得=2n-3,即Sn=2n2-3n,所以数列{an}为等差数列,且a1=S1=-1,a2=S2-S1=3,设其公差为d,则d=4,所以an=4n-5(n∈N*). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)等差数列{an}的前四项和为21,末四项和为67,前n项和为286,则项数n=_______.  26 解析:因为a1+an=a2+an-1=a3+an-2=a4+an-3,所以a1+an==22, 所以Sn==11n=286,所以n=26. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=2n-1,在ak和ak+1之间插入k个2(k∈N*)形成一个新数列{bn},则{bn}的前2 024项的和为________.  7 891 解析:在数列{bn}中,在ak+1的前面的所有项的项数为k+(1+2+…+k)= ≤2 024,当k=62时,=2 015,即在a63的前面的所有项的项数为2 015,又在a63与a64之间共有63个2,所以数列{bn}的前2 024项中包含数列{an}的项有63项,中间插入2的数量为1+2+…+62+8=1 961,所以数列{bn}的前 2 024项和为+1 961×2=7 891. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知数列{an}满足a1=1,an+1-an=3(n∈N*),则an=______,a4+a7+ a10+…+=________________.  3n-2 解析:由题意可知,数列{an}是以1为首项,以3为公差的等差数列, 所以an=1+3(n-1)=3n-2. 因此,a4+a7+a10+…+a3n+4=10+19+28+…+[3×(3n+4)-2]= =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)若数列{an}是正项数列,且++…+=n2+3n(n∈N*),则an=________,++…+=_________.  4(n+1)2 2n2+6n 解析:令n=1,得=4,故a1=16.当n≥2时,++…+=(n-1)2+ 3(n-1).与已知式相减,得=n2+3n-(n-1)2-3(n-1)=2n+2, ∴an=4(n+1)2.又∵n=1时,a1=16满足上式,∴an=4(n+1)2(n∈N*),∴=4n+4,∴++…+==2n2+6n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式;(4分) 解:设等差数列{an}的公差为d,由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2. 从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n. (2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.(6分) 解:由(1)可知an=3-2n,所以Sn==2n-n2.由Sk=-35, 可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n+c,求数列{an}的通项公式,并判断它是不是等差数列. 解:当n=1时,a1=S1=2+c,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(n2+n+c)-[(n-1)2+(n-1)+c]=2n. ∴数列{an}的通项公式是an= ①当c=0时,an=2n为等差数列; ②当c≠0时,a1=2+c≠2×1,∴数列{an}中每一项与前一项的差不是同一个常数,∴{an}不是等差数列. 故当c=0时,{an}是等差数列,当c≠0时,{an}不是等差数列. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $