4.2.1 等差数列的概念（第1课时）（教学课件）数学人教A版2019选择性必修第二册

该高中数学课件聚焦等差数列的概念，通过生肖纪年、天坛石板等传统文化与生活实例导入，引导学生从具体数列中抽象共同规律，逐步建立定义、递推公式及等差中项概念，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于以数学眼光观察现实，通过多情境实例发展数学抽象素养，结合累加法推导通项公式培养逻辑推理能力，联系一次函数深化函数视角认知。题型设计涵盖基础与真题，助力学生掌握判定与计算，教师可借助丰富素材提升教学效率。

第四章 数列 4.2.1 等差数列的概念 (第1课时) ·选择性必修第二册· 1 学习目标 2 3 经历等差数列概念的形成过程，能描述等差数列的定义，感受等差数列的本质特征，发展数学抽象和数学建模素养. 能用递推公式 描述等差数列的概念，体验从函数的视角研究数列的一般路径． 能利用等差数列的定义判断与证明等差数列. 情景导入 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 01 引入新知 2025年是蛇年，从2025年开始， 蛇年的年份依次为: 2025，2037，2049，2061，2073，… 从2025年开始的第10个蛇年是哪一年？ 2241年是不是蛇年？今年到2241年之间有多少个蛇年？ 生肖纪年是中国传统纪年方式，以 12 种动物对应十二地支，每 12 年为一个循环. 常用于记生日、传统民俗(如本命年)等，是中华文化重要符号. 传统文化 思 考 新课探究 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 02 新课探究 情景1 北京天坛圜丘坛的地面由石板铺成，有9圈扇环形石板围绕最中间的天心石，从内到外各圈的石板数依次为： 9，18，27，36，45，54，63，72，81 新课探究 情景2 XXS，XS，S，M，L，XL，XXL，XXXL型号的女装对应的尺码分别是：34，36，38，40，42，44，46，48 新课探究 情景3 测量某地垂直地面方向上海拔500m以下的大气温度，得到从距离地面20m起每升高100m处的大气温度(单位：℃)依次为： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6 新课探究 思考 把以上情境中数列汇总如下，观察数列，找出规律并填空 引入中数列：2025，2037，2049，2061，2073，（ ） 总结 共同的规律：从第 2 项起，每一项与它前一项的差都等于同一个常数. 情景①数列： 9，18，27，36，45，54，63，72，81，（ ） 情景②数列： 34，36，38，40，42，44，46，48，（ ） 情景③数列： 25.0，24.4，23.8，23.2，22.6，（ ） 新课探究 等差数列的定义 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列（arithmetic progression），这个常数叫做等差数列的公差（common difference），公差通常用字母 d 表示． 思考 你能用符号语言表示数列为等差数列吗? 数列第n项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ 数列第n+1项为：___________，它的前一项为：___________，公差为__________ 等差数列的递推公式 牛刀小试 差必须是同一个常数 练1：数列: 3，4，7，9. 甲说：因为4-3=1，7-4=3，9-7=2，后一项减前一项都是常数，所以该数列是等差数列，你认为甲说的对吗？ 练2：求以下等差数列的公差 2，4，6，8，10，12 练3：是等差数列吗？ 不对 2 不是，从第二项起才是等差数列 1 牛刀小试 解 析 新课探究 等差中项的定义 计算等差中项 的方法 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 新课探究 探究 你能根据等差数列的定义推导它的通项公式吗？ 于是： …… 归纳可得： 所以： 不完全归纳法 新课探究 累加法求通项公式 若等差数列{an}的首项为a1，公差是d，根据定义得: 将这些等式的两边分别相加得： 所以： 以上，求等差数列通项公式的方法叫做累加法. 思考 何时想到用累加法？ 已知条件中含相邻两项之差， 比如 新课探究 等差数列的通项公式 首项为a1，公差为 d 的等差数列{an}的通项公式为： 思考：等差数列{an}的通项公式中涉及了哪几个量？你能由此分析下确 定一个等差数列的基本条件吗？ 通项公式中涉及首项 a1、公差 d、项数 n、第 n 项 an，可知三求一； 首项 a1 与公差 d 是基本量，由基本量就可以唯一确定一个等差数列.因此，在解决等差数列问题时，我们要重视用基本量表示数列中其他元素. 利用等差数列的通项公式不仅可以求出该数列中的任意指定项，也可以判断某特定数是否是该数列中的项． 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 牛刀小试 解 析 新课探究 等差数列的通项公式的函数性质 思考 观察等差数列的通项公式，你认为它与我们熟悉的哪一类函数有关？ 新课探究 新课探究 等差数列与一次函数的区别与联系 等差数列 一次函数 解析式 不同点 相同点 联系 定义域为N*，图象是一系列孤立的点（在直线上） 定义域为R，图象是一条直线 等差数列的通项公式与一次函数解析式都是自变量的一次整式. an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 牛刀小试 解 析 应用新知 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 03 应用新知 解 析 分析 应用新知 分析 解 析 应用新知 分析 解 析 令 应用新知 规律方法 等差数列通项公式中的四个参数及其关系 应用新知 规律方法： 牛刀小试 练12： 解 析 重要题型 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 04 重要题型专练 题型一 等差数列通项公式的基本量计算 例题 解 析 重要题型专练 题型一 等差数列通项公式的基本量计算 例题 解 析 重要题型专练 题型一 等差数列通项公式的基本量计算 例题 解 析 重要题型专练 题型二 等差中项的应用 例题 解 析 应用新知 方法总结 等差数列等差中项的应用 重要题型专练 题型三 等差数列的判定与证明 例题 证 明 重要题型专练 题型三 等差数列的判定与证明 例题 证 明 应用新知 规律方法 判定等差数列常用的方法 (3)通项公式法：an＝kn＋b(k，b为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列 真题感知 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 05 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 真题感知 解 析 课堂笔记 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 06 课堂笔记 课堂笔记 小结及课后布置 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 07 课堂小结 迭代归纳法；累加法 通项公式 与一次函数的关系 概念 方程思想、抽象、运算素养 等差中项 等差数列的 概念 作业布置 巩固作业：教科书第24页习题4.2第1、2题. 课后练习答案 4.2.1 等差数列的概念（第1课时） 08 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第1题.） 详解 作业答案（教科书第24页习题4.2第2题.） 详解 ·选择性必修第一册· 本课结束 感谢您的聆听 练4：（多选）下列数列中，是等差数列的是（    ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 由等差数列定义，对于A，满足4－1＝7－4＝10－7＝3（常数），所以是等差数列，故A正确； 对于B，满足（常数），所以是等差数列，故B正确； 对于C，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列，故C错误； 对于D，满足（常数），所以是等差数列，故D正确． 故选：ABD. 这时，A叫做a与b的等差中项 (arithmetic mean)． 根据等差数列的定义有：， 特别地，由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列． 整理得：，即 练5：与4的等差中项为 . 若与4的等差中项为，则. 故答案为：1 练6：与的等差中项为 . 与的等差中项为:. 故答案为：2. 练7：若，a，1依次成等差数列，则（    ） A．1 B．0或1 C．－2或1 D．或1 因为，a，1依次成等差数列，所以，解得． 故选：A. 设一个等差数列的首项为，公差为． 等差数列的递推公式： 所以，，，…． 当时，左式为 这就是说，左式当时也成立． 当时，上式为． 这就是说，上式当时也成立． 练8：已知等差数列中，，公差，则 . . 故答案为： 练9：已知等差数列中，，，则其公差（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 因为在等差数列中，，， 所以公差． 故选：B. 练10：若数列满足，，则 ． 由题意得，故数列为首项为，公差为2的等差数列， 则，故． 故答案为：19. 反之，任给一次函数(为常数)， 构成一个等差数列，其首项为，公差为． 则,,…,,…, 练11：已知等差数列的通项公式为． (1)求首项和公差；(2)画出数列的图象；(3)判断数列的增减性 （1）等差数列的通项公式为，所以首项， 公差. （3）由，，得，因此， 所以数列是单调递减数列. 例1: (1)已知等差数列的通项公式为，求的公差和首项. 已知等差数列的通项公式，只要根据等差数列的定义， 由即可求出公差； (1)当时，由的通项公式，可得 于是 把代入通项公式，得 所以，的公差为-2，首项为3 例1: (2)求等差数列8 ,5 ,2 ,...的第20项. 可以先根据数列的两个已知项求出通项公式，再利用通项公式 求数列的第20项． 由已知条件，得： 把，代入，得 把代入上式，得 所以，这个数列的第20项是- 49． 例2: - 401是不是等差数列-5，-9，-13，... 的项？如果是，是第几项? 先求出数列的通项公式，它是一个关于n的方程，再看-401是否 能使这个方程有正整数解． 由，，得这个数列的通项公式为 解这个关于的方程，得 所以，-401是这个数列的项，是第100项． 在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素，有关等差 数列的问题，如果条件与结论间的联系不明显，则均可化成有关，的 关系列方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量. 等差数列的通项公式 四个参数 首项、公差、项数、第项 “知三求一” （方程思想） 已知首项、公差、项数、求第项 已知首项、公差、第项、求项数 已知首项、项数、第项、求公差 已知公差、项数、第项、求首项 在7和21中插入3个数，使这5个数成等差数列． 设这个等差数列为 ，其公差为 ， ∴插入的3个数依次为 ，14， ． 已知a和2b的等差中项是5，3a和4b的等差中项是7， 求2a和3b的等差中项； ∵a和2b的等差中项是5，∴a + 2b = 10.① 又∵3a和4b的等差中项是7，∴3a + 4b = 14.② 由①②解得 ∴2a和3b的等差中项为. 由等差数列的定义知，即 ，从而由等差中项的定义可知，等差数列从第2项起的每一 项都是它前一项与后一项的等差中项，此表达式可以用来判定等差数列. 在设等差数列的项时，可利用上述性质. （2）已知数列满足，记. 求证：数列是等差数列 ∴，为常数（）. 又，，所以数列是以为首项，为公差的等差数列. (1)定义法：（常数）（）⟺为等差数列. (2)等差中项法：⟺为等差数列. 1．（24-25高二下·云南昆明·阶段练习） 已知数列满足，，则 ． 由题意有：，所以数列是以2为公差，首项为1的等差数列， 所以， 故答案为：. 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习） 已知数列，，，3，，…，则是这个数列的第（    ）项 A．10 B．11 C．12 D．13 由题意可知，被开方数是首项为3，公差为2的等差数列， 则该数列的通项公式为，令，解得，故A正确. 故选：A 3．（25-26高三上·辽宁·开学考试）在等差数列中，，.则公差d＝（    ） A．－10 B．－5 C．10 D．5 公差．故选：D 4．（24-25高二上·全国·课后作业） 已知四个数，其中成等差数列，且，若成等差数列，求的值． 因为，则， 因为构成等差数列，则，即，即， 因为构成等差数列，则，即，解得． 5．（24-25高二下·北京·期中）在等差数列中，，，则（     ） A．4 B．5 C．6 D．9 由设等差数列的公差为，则， 故， 故选：C. 6．（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知等差数列的公差为，则（    ） A． B． C． D． 因为等差数列的公差为，所以. 故选：C. 7．（2025高三·全国·专题练习）在数列中，，，则__________. 由，得， 所以故数列是一个公差为，首项为的等差数列. . 故答案为： 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知数列满足：，.若， 求证：（1）为等差数列. （2）求数列的通项公式. （1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； 8．（24-25高二下·全国·课堂例题）已知数列满足：，.若， 求证：（1）为等差数列. （2）求数列的通项公式. （2）由(1)知， 又，所以，即数列的通项公式为. 1． 条件 从第 项起 每一项与它的 的差都等于 . 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的 .，通常用字母 表示 2．如果是等差数列，那么称为与的 ，且 ． 3．如果等差数列的首项是，公差是，那么等差数列的通项公式为 .通项公式的推广： ． 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （1） 因为等差数列中，，，， 所以，； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （2）因为等差数列中，，，，所以 ，解得； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （3）因为等差数列中，，，，所以 ，整理得， 解得，或（舍去），； 1.根据下列等差数列中的已知量，求相应的来知量： （1），，，求d及n； （2），，，求及﹔ （3），，，求n及； （4），，，求及． （4）因为等差数列中，，，， ，. 2. 已知为等差数列，，．求． （2）设的公差为d，首项为，根据题意得 ，∴ ∴ $