4.2.1 第1课时 等差数列的概念与通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

等差数列 4.2 等差数列的概念 4.2.1 等差数列的概念与通项公式 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.理解等差数列、等差中项的概念,会求两个数的等差中项. 2.掌握等差数列通项公式.能运用通项公式解决一些简单的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等差数列的有关概念 逐点清(二)　等差中项 逐点清(三)　等差数列的通项公式 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　等差数列的有关概念 01 等差数列的定义 (1)文字语言:一般地,如果一个数列从第____项起,每一项与它的_______的差都等于_______常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个_____叫做等差数列的_____,公差通常用字母____表示. (2)符号语言:an+1-an=d(常数)⇔{an}是等差数列或an-an-1=d(常数)(n≥2, n∈N*)⇔{an}是等差数列. 多维理解 2 前一项 同一个 常数 公差 d |微|点|助|解|　　对等差数列概念的解读 (1)作差的起始项:“从第2项起”,因为第1项没有前一项; (2)作差的顺序:“每一项与它的前一项的差”,即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项,不可颠倒; (3)等差的含义:“同一个常数”指所有的差都相等,即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d,其中d是与n无关的常数; (4)公差d的取值范围:可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列),它是一个与n无关的常数,因此公差d的取值范围为(-∞,+∞). 1.下列说法正确的是 (　　) A.若a-b=b-c,则a,b,c成等差数列 B.若an+1-an=n(n∈N*),则{an}是等差数列 C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差 √ 微点练明 解析:对于A,由a-b=b-c,可得b-a=c-b,因此a,b,c成等差数列,故A正确;对于B,n不是固定常数,因此该数列不是等差数列,故B不正确;对于C,公差d可以等于0,故C不正确;对于D,d=an-an-1(n≥2,n∈N*),而an-1-an=-d(n≥2,n∈N*),但-d不是等差数列的公差,故D不正确. 2.[多选]下列数列是递增的等差数列的是 (　　) A.7,13,19,25,31 B.1,1,2,3,…,n C.9,9,9,9,… D.数列{an}满足an+1-an=3 √ √ 解析:因为13-7=19-13=25-19=31-25=6>0,所以A中数列是公差为6的递增等差数列.因为1-1=0≠2-1,所以B中数列不是等差数列.因为9-9=9-9=…=0,所以C中数列是公差为0的等差数列,但不是递增数列.因为an+1-an=3>0,所以D中数列{an}是公差为3的递增等差数列. 3.下列数列的通项公式中,能得到{an}为等差数列的是 (　　) A.an=n2+2 B.an=2n+2 C.an=2n+2 D.an=log2n+2 √ 解析:对于A,an+1-an=(n+1)2-n2=2n+1不为常数,故A错误;对于B,an+1-an=2(n+1)-2n=2为常数,故B正确;对于C,an+1-an=2n+1-2n=2n不为常数,故C错误;对于D,an+1-an=log2(n+1)-log2n=log2不为常数,故D错误.故选B. 逐点清(二)　等差中项 02 　等差中项 (1)条件:如果a,A,b成等差数列. (2)结论:那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是___________. 多维理解 2A=a+b |微|点|助|解| (1)任意两个实数都有等差中项,且唯一. (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数,即A=. (3)等差数列{an}中,an是an-k与an+k的等差中项,注意序号间的关系. 1.x+1与y-1的等差中项为10,则x+y等于 (　　) A.0 B.10 C.20 D.不确定 √ 微点练明 解析:因为x+1与y-1的等差中项为10,所以(x+1)+(y-1)=2×10,所以x+y=20. 2.在△ABC中,三内角A,B,C成等差数列,则B等于_______.  60° 解析:因为三内角A,B,C成等差数列,所以2B=A+C, 又因为A+B+C=180°,所以3B=180°,所以B=60°. 3.在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列. 解:∵-1,a,b,c,7成等差数列,∴b是-1与7的等差中项,∴b==3. 又a是-1与3的等差中项,∴a==1. 又c是3与7的等差中项,∴c==5. ∴该数列为-1,1,3,5,7. 逐点清(三)　等差数列的通项公式 03 等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列{an}的通项公式为an=__________. 多维理解 a1+(n-1)d |微|点|助|解| (1)等差数列通项公式与一次函数的关系 由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d可得an=dn+(a1-d),如果设p=d,q=a1-d,那么an=pn+q,其中p,q是常数.当p≠0时,an是关于n的一次函数;当p=0时,an=q,等差数列为常数列. (2)等差数列通项公式中的四个参数及其关系 等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d 四个参数 a1,d,n,an “知三求一” 知a1,d,n求an 知a1,d,an求n 知a1,n,an求d 知d,n,an求a1 [典例]　在等差数列{an}中,a1+a5=8,a4=7. (1)求数列的第10项; 解:设数列{an}的公差为d, 则解得 则a10=a1+9d=-2+27=25. (2)112是数列{an}的第几项? 解:由(1)知an=-2+(n-1)×3=3n-5,由112=3n-5,解得n=39. 所以112是数列{an}的第39项. (3)80到110之间有多少项? 解:由80<3n-5<110,解得28<n<38,所以n的取值为29,30,…,38,共10项. 　|思|维|建|模|　求等差数列通项公式的步骤 在等差数列{an}中,a3+a4+a5=84,a9=73.求: (1) a4; 针对训练 解:因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,所以3a4=84,所以a4=28. (2)数列{an}的通项公式. 解:因为{an}是等差数列且a3+a4+a5=84,a9=73, 所以解得 得an=a1+(n-1)d=1+9(n-1)=9n-8,所以an=9n-8. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.[多选]下列数列中,是等差数列的是 (　　) A.1,4,7,10 B.lg 2,lg 4,lg 8,lg 16 C.25,24,23,22 D.10,8,6,4,2 √ √ √ 解析: A、B、D项满足等差数列的定义,是等差数列;C中,因为24-25≠23-24≠22-23,不满足等差数列的定义,所以不是等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知等差数列{an}中,a2=6,a4=2,则公差d= (　　) A.-2 B.2 C.3 D.-4 √ 解析:由题意得a4=a2+2d,即6+2d=2,解得d=-2.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.若1,x,2成等差数列,则x= (　　) A. B.3 C.2 D.± √ 解析:因为1,x,2成等差数列,所以x==.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知等差数列{an}的前三项分别为a-1,a+1,2a+1,则该数列的通项公式为 (　　) A.an=2n-5 B.an=2n-3 C.an=2n-1 D.an=2n+1 √ 解析:设该等差数列的公差为d,因为等差数列{an}的前三项分别为a-1,a+ 1,2a+1,所以2(a+1)=a-1+2a+1,解得a=2,所以a1=1,d=2,所以an=a1+(n-1)d =2n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.在数列{an}中,a1=2,2an+1-2an=1,则a101的值为 (　　) A.49 B.50 C.51 D.52 √ 解析:由题知an+1-an=,即{an}为首项a1=2,公差d=的等差数列,所以a101=a1+100d=2+100×=52. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是 (　　) A.a6 B.a4 C.a10 D.a12 √ 解析:由4a3=3a2得4(a1+2d)=3(a1+d),即a1=-5d,所以an=a1+(n-1)d=-5d+(n-1)d=(n-6)d,所以a6=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.将数列1,3,6,8中的某两项分别减1、加1后(另两项不变),得等差数列{an}的前四项,则数列{an}的通项公式为 (　　) A.an=2n B.an=2n-2 C.an=3n-2 D.an=3n-3 √ 解析:记减1的项为a,加1的项为b,因为1+8=3+6,可知变化的两项为1,8或3,6,若a=1,b=8,可得0,3,6,9,为等差数列,此时首项为0,公差为3,所以an=0+3(n-1)=3n-3;若a=8,b=1,可得2,3,6,7,不为等差数列;若a=3,b =6,可得1,2,7,8,不为等差数列;若a=6,b=3,可得1,4,5,8,不为等差数列.综上所述,数列{an}的通项公式为an=3n-3.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.若不全相等的非零实数a,b,c成等差数列且公差为d,那么,,(　　) A.可能是等差数列 B.一定不是等差数列 C.一定是等差数列,且公差为 D.一定是等差数列,且公差为d √ 解析:若,,是等差数列,则=+=,因为a,b,c成等差数列,所以a+c=2b,则整理得a=b=c,与非零实数a,b,c不全相等矛盾,所以,,一定不是等差数列.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.已知递增数列{an}是等差数列,若a4=8,3(a2+a6)=a2a6,则a2 024= (　　) A.2 024 B.2 023 C.4 048 D.4 046 √ 解析:设数列{an}的公差为d(d>0),因为a4=8,3(a2+a6)=a2a6, 则解得 所以a2 024=2+2×(2 024-1)=4 048. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知m和2n的等差中项是8,2m和n的等差中项是10,则m和n的等差中项是______.  6 解析:由题意得 ∴3(m+n)=20+16=36,∴m+n=12,∴=6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知等差数列{an}是递增数列且满足a1+a10=4,则a8的取值范围是________.  (2,+∞) 解析:设等差数列{an}的公差为d,因为{an}是递增数列,所以d>0, 由a1+a10=4得2a1+9d=4,所以a1==2-,则a8=a1+7d=2-d+7d =2+d>2,所以a8的取值范围是(2,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9,则数列{an}的通项公式为_________.  an=2n+1 解析:设等差数列{log2(an-1)}的公差为d,由a1=3,a3=9,得log2(a3-1)= log2(a1-1)+2d,解得d=1,所以log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知数列{an}满足a1=1,若点在直线x-y+1=0上,则an=___________.  n2(n∈N*) 解析:由题设可得-+1=0,即-=1,所以数列是以1为首项, 1为公差的等差数列,故通项公式为=n,所以an=n2(n∈N*). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)在等差数列{an}中: (1)已知a5=-1,a8=2,求a1与d;(5分) 解:由题意知解得 (2)已知a1+a6=12,a4=7,求a9.(5分) 解:由题意知 解得∴a9=a1+(9-1)d=1+8×2=17. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)若数列是等差数列,则称数列{an}为调和数列.若实数a,b,c依次成调和数列,则称b是a和c的调和中项. (1)求和1的调和中项;(5分) 解:设和1的调和中项为b,依题意得3,,1成等差数列, 所以==2,解得b=,故和1的调和中项为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)已知调和数列{an},a1=6,a4=2,求{an}的通项公式.(5分) 解:依题意,是等差数列,设其公差为d,则3d=-⇒d=, 所以=+(n-1)d=+(n-1)=,故an=. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $