4.1 第1课时 数列的概念与表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（人教A版）

第四章 数　列 数列的概念 4.1 数列的概念与表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.理解数列的概念和表示方法;能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 2.会由数列通项公式写出数列的任意一项,理解数列是一种特殊的函数. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　数列的概念与分类 逐点清(二)　数列的通项公式 逐点清(三)　数列的函数特性 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　数列的概念与分类 01 1.数列的概念 (1)一般地,我们把按照____________排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的____.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第___项,常用符号a1表示,第二个位置上的数叫做这个数列的第___项,用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项,用____表示.其中第1项也叫做______. (2)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为_____. 多维理解 确定的顺序 项 1 2 an 首项 {an} 2.数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列 项数_____的数列 无穷数列 项数_____的数列 按项的 变化趋势 递增数列 从第2项起,每一项都_____它的前一项的数列 递减数列 从第2项起,每一项都_____它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 摆动数列 从第2项起,有些项_______它的前一项,有些项______它的前一项 有限 无限 大于 小于 相等 大于 小于 |微|点|助|解| (1){an}与an的含义完全不同:{an}表示一个数列,an表示数列的第n项. (2)如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列. (3)同一个数在数列中可以重复出现. 1.下列各项表示数列的是 (　　) A.a,b,c,…,x,y,z B.2 019,2 020,2 021,…,2 025 C.锐角三角形,直角三角形,钝角三角形 D.a+b,a-b,ab,2a √ 微点练明 解析:数列必须由数组成,A、C、D中均不是数. 2.[多选]下列有关数列的说法正确的是 (　　) A.数列{an}中,若a3=3,则从第二项起,各项都不等于3 B.数列-2,0,2与数列2,0,-2是同一个数列 C.数列4,7,3,4的首项为4,末项为4 D.数列中的每一项都与它的序号有关 √ √ 解析:常数列中任意两项都是相同的,所以A不正确;数列-2,0,2与2,0, -2中数字的排列顺序不同,不是同一个数列,所以B不正确;由数列的定义可知首项为4,末项也为4,故C正确;根据数列的定义知,数列中的每一项与它的序号是有关的,所以D正确. 3.已知下列数列: ①2 020,2 021,2 022,2 023,2 024,2 025;②1,,,…,,…; ③1,-,,…,,…;④1,0,-1,…,sin,…;⑤2,4,8,16,32,…; ⑥-1,-1,-1,-1. 其中,有穷数列是______,无穷数列是__________,递增数列是_______,递减数列是______,常数列是______,摆动数列是_______.(填序号)  ①⑥ ②③④⑤ ①⑤ ② ⑥ ③④ 逐点清(二)　数列的通项公式 02 　如果数列{an}的第n项an与它的________之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 多维理解 序号n |微|点|助|解| (1)数列的通项公式实际上就是相应函数的解析式,即an=f(n).数列的通项公式必须适合数列中的任何一项. (2)已知通项公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,…代替公式中的n,就可以求出数列的各项. (3)一个数列的通项公式可以有不同的形式,如an=(-1)n还可以写成an=cos nπ(n∈N*)的形式等. (4)并不是所有的数列都有通项公式,就像并不是所有的函数都能用解析式表示一样. 1.已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则该数列的前4项依次为(　　) A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.,0,,0 D.2,0,2,0 √ 微点练明 解析:当n分别等于1,2,3,4时,a1=1,a2=0,a3=1,a4=0. 2.下列四个数中,是数列{n(n+1)}中的一项的是 (　　) A.380 B.392 C.321 D.232 √ 解析: n=19时,n(n+1)=380. 3.若一数列为1,37,314,321,…,则398是这个数列的 (　　) A.不在此数列中 B.第13项 C.第14项 D.第15项 √ 解析:因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,因此符合题意的一个通项公式为an=37(n-1).由37(n-1)=398解得n=15,所以398是这个数列的第15项. 4.已知数列{an}的通项公式为an=2 026-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为________.  675 解析:由an=2 026-3n>0,解得n<=675+,因为n∈N*,所以正整数n的最大值为675. 5.写出数列的一个通项公式,使它的前几项分别是下列各数: (1)a,b,a,b,…; 解:数列的奇数项为a,偶数项为b,因此通项公式可用分段形式来表示, 记为an=也可记为an=+(-1)n+1·,n∈N*. (2),,,,…; 解:这个数列的前4项为,,,,其分母都是序号n加上1, 分子都是分母的平方减去1,故an=,n∈N*. (3)1,-3,5,-7,9,…; 解:数列各项的绝对值为1,3,5,7,9,…,是连续的奇数,且奇数项为正,偶数项为负,故an=(-1)n+1(2n-1),n∈N*. (4)-,,-,,…; 解:这个数列的前4项为-,,-,,它们的绝对值都等于序号与序号加1的乘积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,故an=,n∈N*. (5),2,,8,,…; 解:数列的项有的是分数,有的是整数,可将各项都统一成分数再观察, 该数列为,,,,,…,其分母都是2,分子都是序号的平方, 故an=,n∈N*. (6)-3,33,-333,3 333,…. 解:因为-3=(-1)1××(10-1),33=(-1)2××(100-1), -333=(-1)3××(1 000-1),所以an=,n∈N*. 逐点清(三)　数列的函数特性 03 [典例]　已知数列{an}的通项公式是an=(n+1)·,n∈N*.试问该数列有没有最大项?若有,求出最大项和最大项的序号;若没有,请说明理由. 解:法一:作差法　an+1-an=(n+2)-(n+1)·=, 当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1<an. 则a1<a2<a3<…<a9=a10,且a10>a11>a12>…, 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×. 法二:邻项变号法　根据题意,令 即 解得9≤n≤10.又n∈N*,则n=9或n=10. 故数列{an}有最大项,为第9项和第10项,且a9=a10=10×. [变式拓展] 　若本例通项公式“an=(n+1)”变为“an=”如何求解. 解:有最大项.a1=,a2==1,a3==,a4==1,a5==,…. ∵当n≥3时,=×==<1,∴an+1<an, 即n≥3时,{an}是递减数列. 又∵a1<a2<a3,∴an≤a3=.∴当n=3时,a3=为这个数列的最大项. |思|维|建|模| 数列单调性的判断方法和应用思路 (1)判断数列的单调性通常是通过比较数列{an}中任意相邻两项an+1和an的大小来判断,常用方法是定义法、作差法和作商法. (2)解决根据数列的单调性确定变量的取值范围问题,常利用以下等价关系: 数列{an}递增⇔an+1>an(n∈N*); 数列{an}递减⇔an+1<an(n∈N*). 转化为不等式成立(恒成立),通过分离变量转化为代数式的最值来解决;或由数列的函数特征,通过构建有关变量的不等关系,解不等式(组)来确定变量的取值范围. 已知数列{an}的通项公式为an=n2+tn,若数列{an}为递增数列,则t的取值范围是_________.  针对训练 (-3,+∞) 解析:法一　由数列{an}为递增数列,则an+1-an=(n+1)2+t(n+1)-(n2+tn) =2n+1+t>0恒成立,即t>-(2n+1)恒成立. 而n∈N*,所以t>-3,故t的取值范围是(-3,+∞). 法二　an=n2+tn=-,由于n∈N*,且数列{an}为递增数列, 结合二次函数的图象可得-<,解得t>-3,故t的取值范围是(-3,+∞). 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.下列说法正确的是 (　　) A.数列1,3,5,7可以表示为{1,3,5,7} B.数列-2,-1,0,1,2与数列2,1,0,-1,-2是相同的数列 C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点 D.数列的项数一定是无限的 √ 解析:对A,{1,3,5,7}表示集合,不是数列;对B,两个数列中包含的数虽然相同,但排列顺序不同,不是相同的数列;对D,数列的项数可以是有限的也可以是无限的.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.[多选]已知数列{an}的通项公式是an=2n2-n,那么 (　　) A.30是数列{an}的一项 B.45是数列{an}的一项 C.66是数列{an}的一项 D.90是数列{an}的一项 √ √ 解析:分别令2n2-n的值为30,45,66,90,可知只有当2n2-n=45时,n=5或n=-(舍去);当2n2-n=66时,n=6或n=-(舍去),故45,66是数列{an}的一项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知数列{an}的通项公式为an=(-1)n·n,则该数列是 (　　) A.摆动数列 B.递减数列 C.递增数列 D.常数列 √ 解析:由数列通项公式为an=(-1)n·n知,数列奇数项为负,偶数项为正,故数列为摆动数列,故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.数列{an}的通项公式为an=则a2a3等于(　　) A.70 B.28 C.20 D.8 √ 解析:由通项公式得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2a3=20. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知函数f(x)的部分对应值如表所示.若数列{an}满足a1=1,且对任意n∈N*,点(an,an+1)都在函数f(x)的图象上,则a2 027的值为 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ x 1 2 3 4 f(x) 3 1 2 4 解析:由题意a1=1,a2=f(a1)=f(1)=3,同理a3=f(a2)=f(3)=2,a4=f(2)=1,…,所以{an}是周期为3的周期数列,所以a2 027=a2=3.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.[多选]如果数列{an}为递增数列,则{an}的通项公式可以为 (　　) A.an= B.an=2n-1 C.an=2n2-5n D.an=2n-1 √ √ √ 解析:对于A,a1=2,a2=1,故不是递增数列,A不符合; 对于B,an+1-an=2n+1-(2n-1)=2>0,故是递增数列,B符合; 对于C,an+1-an=2(n+1)2-5(n+1)-(2n2-5n)=4n-3>0,故为递增数列,C符合; 对于D,an+1-an=-1-(2n-1)=2n>0,故为递增数列,D符合.故选BCD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知数列{an}的通项公式是an=(n∈N*),若数列{an}是递增数列,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C.(2,3) D.[2,3) √ 解析:因为{an}为递增数列,故解得2<a<3,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.大衍数列,来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项,都代表太极衍生过程中,曾经经历过的两仪数量总和,是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.其前10项依次是0,2,4,8,12,18,24, 32,40,50,…,则此数列的第40项为 (　　) A.648 B.722 C.800 D.882 √ 解析:由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,可得偶数项的通项公式为a2n=2n2.则此数列第40项为2×202=800. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.[多选]已知数列{an}的前5项依次如图所示,则{an}的通项公式可能为 (　　) A.an=sin B.an=|n-3|-1 C.an= D.an=(n-3)2-1 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析: an=sin时,a1=sin=1,a2=sin=0,a3=sin=-1,a4=sin=0, a5=sin=1,满足题意,故A正确;an=|n-3|-1时,a1=|1-3|-1=1,a2=|2-3|-1=0,a3=|3-3|-1=-1,a4=|4-3|-1=0,a5=|5-3|-1=1,满足题意,故B正确; an=时,a1=-1+2=1,a2=-2+2=0,a3=-3+2=-1,a4=4-4=0,a5=5-4=1,满足题意,故C正确;an=(n-3)2-1时,a1=(1-3)2-1=3,不满足题意,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知数列1,2,,,,…,则 是这个数列的第_____项.  8 解析:原数列前几项可以看为,,,,,根据此规律可得数列通项公式为an=.令3n-2=22,则n=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的最大项是第____项.  6 解析:an==,当n≥6且n∈N*时,an>0,且递减; 当n≤5且n∈N*时,an<0,且递减.∴当n=6时,an最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知数列{an}的通项公式为an=(n∈N*),则数列{an}的前100项中的最小项是________,最大项是_______.  a45 a44 解析:an===1+(n∈N*),因为442< 2 024<452,所以当n≤44时,数列{an}递增,且an>1;当n≥45时,数列{an}递增,且an<1.所以在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45,a44. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)欧拉函数φ(n)(n∈N*)的函数值等于所有不超过正整数n,且与n互质的正整数的个数(公约数只有1的两个正整数称为互质整数),例如:φ(3) =2,φ(4)=2,则φ(8)=_____;若bn=,则bn的最大值为_____.  4 解析:由题设φ(2)=1,则1~8中与8互质的数有1,3,5,7,共4个数,故φ(8)=4.在1~2n中,与2n互质的数为范围内的所有奇数,共2n-1个,即φ(2n)=2n-1,所以bn==,则bn+1-bn=-=,当n≤2时bn+1-bn>0,当n≥3时bn+1-bn<0,即b1<b2<b3>b4>b5>…,所以bn的最大值为b3==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项. 解:an+1-an=-=,当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1<a2<a3<a4, 当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4,当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…, 所以{an}在1≤n≤4(n∈N*)时递增,在n≥5(n∈N*)时递减, 所以数列{an}的最大项为a5=a4=,又a1<a2<0,当n≥3(n∈N*)时,an=≥0,所以数列{an}的最小项为a1=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知函数f(x)=(x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*). (1)若an≥,求n的最小值;(4分) 解:由题可知an=(n∈N*),若an≥,则an=≥,解得n≥5,故n的最小值为5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若bn=an-,试判断{bn}的单调性.(6分) 解:因为bn=an-=-=1--,又n∈N*, 所以2n≥2,≤,所以1-≥.令g(x)=x-,取x1,x2∈(0,+∞),x1<x2, 则g(x1)-g(x2)=x1--=<0, 所以g(x1)<g(x2),所以g(x)=x-在(0,+∞)上单调递增, 所以bn=1--(n∈N*)是递增的,即数列{bn}是递增数列. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $