4.1 数列的概念（6大基础题型+能力提升+拓展提升）（分层作业）高二数学人教A版2019选择性必修第二册

4.1 数列的概念 知识点1 对数列概念的理解 1.（2025高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 2．（24-25高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 3．(多选)（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ） A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 4．(多选)（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列叙述错误的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 知识点2 求数列的通项公式 1．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知数列的前4项为3，6，11，20，则的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（25-26高二上·甘肃·阶段练习）某数列的前两项为则其通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 4．写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; (2),,,,,…; (3)-1,,-,,…; (4)5,55,555,5 555,…. 知识点3 确定数列中的某一项 1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知数列满足，则是它的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 2．（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 3．在数列{an}中,a1=2,a17=66,其通项公式是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a2 026; (3)2 026是不是数列{an}中的项?若是，指出它是第几项；若不是，试说明理由. 知识点4 数列前n项和与通项间的关系 1．（24-25高二下·浙江·期末）设数列的前项和为．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 2．（24-25高二下·广东·期末）已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 知识点5 数列的周期性 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知数列中，且，则（ ） A． B．2 C． D． 2．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）设数列中，，（），则（   ） 知识点6 数列的增减性 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 2．（24-25高二上·全国·课后作业）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（    ） A．－2 B． C． D． 6．（多选）(2025山西怀仁第一中学期中)已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第(　　) A.12项　　　　B.13项　　　　C.14项　　　　D.15项 7.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形个数越多,刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.  8.(2025江苏扬州仪征中学期中)已知数列{an}的通项公式是an=. (1)判断是不是数列{an}中的项; (2)试判断数列{an}中的各项是否都在区间(0,1)内; (3)试判断在区间内是否有数列{an}中的项,若有,说明是第几项;若没有,请说明理由. 1．（2025高三·全国·专题练习）若，则的整数部分是（   ） A．1997 B．1998 C．1999 D．2000 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是 ，若，且，则整数 . 3．（2025高三·全国·专题练习）若在数列中，对于，，都有（t为常数），则称数列具有性质.已知数列的通项公式为，且具有性质，则的取值范围是 ． 4．（2025·山西太原·一模）对于数列，称为数列的1阶商分数列，其中；称为数列的阶商分数列，其中，当时，．已知数列，，且为数列的2阶商分数列，则数列的前项和为 ． 5．（2025·福建福州·模拟预测）在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为 ． 6 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 数列的概念 知识点1 对数列概念的理解 1.（2025高三·全国·专题练习）将正整数的前5个数排列如下： ①1，2，3，4，5；②5，4，3，2，1；③2，1，5，3，4；④4，1，5，3，2． 其中可以称为数列的有（    ） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【解析】根据数列是按“一定顺序”排列着的一列数，所以①②③④都正确，故D项正确. 故选：D． 2．（24-25高二上·山西·期末）下列说法中，正确的是（    ） A．数列可表示为集合 B．数列与数列是相同的数列 C．数列的第项为 D．数列可记为 【答案】C 【解析】对于A，由数列的定义易知A错误； 对于B，两个数列排列次序不同，是不同的数列，故B错误； 对于C，数列的第项为，故C正确； 对于D，因为，所以，这与数列的定义不相符，故D错误. 故选：C. 3．(多选)（24-25高二下·全国·课后作业）下列说法正确的是（ ） A．数列可以用图象来表示 B．数列的通项公式不唯一 C．数列中的项不能相等 D．数列可以用一群孤立的点表示 【答案】ABD 【解析】对于A，由数列定义知，数列是以项数为自变量，项为因变量的特殊函数，故可以用图象来表示，A正确； 对于B，若数列有通项公式，则该数列的通项公式不一定唯一， 例如：数列的通项公式可以为， 也可以为，B正确； 对于C，数列中的项可以相等，如常数列，C不正确； 对于D，由数列是特殊的函数且知，数列可以用一群孤立的点表示，D正确. 故选：ABD 4．(多选)（2024高三·全国·专题练习）（多选）下列叙述错误的是（    ） A．数列10，9，8，7可表示为 B．数列1，3，5，7与3，1，5，7是相同的数列 C．数列的项可以相等 D．数列和可能是同一数列 【答案】AB 【解析】对于A，数列10，9，8，7与由实数10，9，8，7组成的集合是两个不同的概念，故A错误； 对于B，根据数列的定义，如果组成两个数列的数相同，而排列顺序不同， 那么这两个数列是不同的数列，故B错误； 对于C，同一个数在数列中可以重复出现，如常数列1，1，1，…，故C项正确； 对于D，当时，数列和表示同一数列，故D项正确． 故选：AB. 知识点2 求数列的通项公式 1．（24-25高二下·江西赣州·期中）已知数列的前4项为3，6，11，20，则的通项公式可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】已知数列的前4项为3，6，11，20，即， 验证选项中的通项公式，只有，符合题意， 所以的通项公式可以是. 故选：B. 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）数列，，，，的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】观察数列，，，， 可知其分母为，其分子是交替出现，故分子可为， 所以该数列的一个通项公式为. 故选：A. 3.（多选）（25-26高二上·甘肃·阶段练习）某数列的前两项为则其通项公式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A项，分别把代入，即得与数列相符，故A项正确； 对于B项，把代入，即得与数列不符，故B项错误； 对于C项，分别把代入，即得，故C项正确； 对于D项，把代入，即得，与数列不符，故D项错误. 故选:AC. 4．写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,…; (2),,,,,…; (3)-1,,-,,…; (4)5,55,555,5 555,…. 【答案】(1)an=,n∈N+；(2) an=(-1)n·,n∈N+. (3) an=(-1)n·,n∈N+. (4) 【解析】(1)易知该数列由从4开始的偶数构成,所以该数列的一个通项公式为an=2n+2,n∈N+. (2)易知该数列中每一项分子比分母少1,且分母可依次写成21,22,23,24,25,…,故该数列的一个通项公式为an=,n∈N+. (3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n作为通项的一个因式.又第1项可改写成分数-,所以每一项的分母依次为3,5,7,9,…,可写成2n+1的形式.分子为3=1×3,8=2×4,15=3×5,24=4×6,……,可写成n(n+2)的形式.所以该数列的一个通项公式为an=(-1)n·,n∈N+. (4)这个数列的前4项可以变为×9,×99,×999,×9 999, 即×(10-1),×(100-1),×(1 000-1),×(10 000-1), 即×(10-1),×(102-1),×(103-1),×(104-1), 所以它的一个通项公式为an=×(10n-1),n∈N+. 知识点3 确定数列中的某一项 1．（24-25高二下·内蒙古巴彦淖尔·期中）已知数列满足，则是它的（    ） A．第6项 B．第7项 C．第8项 D．第9项 【答案】B 【解析】因为，解得， 所以是它的第7项. 故选：B. 2．（24-25高二下·陕西·期中）已知数列，则该数列的第36项为（    ） A． B．36 C． D．6 【答案】C 【解析】因为数列，即， 所以归纳可得该数列的通项公式为， 所以. 故选：C 3．在数列{an}中,a1=2,a17=66,其通项公式是关于n的一次函数. (1)求数列{an}的通项公式; (2)求a2 026; (3)2 026是不是数列{an}中的项?若是，指出它是第几项；若不是，试说明理由. 【答案】（1）an=4n-2,n∈N+.（2）第507项 【解析】(1)依题意设an=kn+b(k≠0), ∵a1=2,a17=66,∴解得 ∴an=4n-2,n∈N+. (2)a2 026=4×2 026-2=8102. (3)令an=2 026,则4n-2=2 026,解得n=, ∵N+, ∴2 026是数列{an}中的项，是第507项. 知识点4 数列前n项和与通项间的关系 1．（24-25高二下·浙江·期末）设数列的前项和为．若，则（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【解析】当时，， 当时，. 2．（24-25高二下·广东·期末）已知数列的前项和，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得：， 则，解得：. 故选：C. 3．（24-25高二下·北京房山·期中）已知数列的前项和，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用求解，并检验. 【解析】当时，， 又，不符合上式， 则. 故选：D 知识点5 数列的周期性 1．（24-25高三上·山东潍坊·期末）已知数列中，且，则（ ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【解析】由题意知，数列满足且， 则， 所以数列是周期为的数列，则. 故选：A. 2．（25-26高二上·甘肃平凉·阶段练习）设数列中，，（），则（   ） A．-1 B． C．2 D． 【答案】A 【解析】由题意知数列中，，（）， 则， ， 故数列是以3为周期的数列，则， 故选：A 知识点6 数列的增减性 1．（24-25高二上·全国·课后作业）已知数列，则该数列是（   ） A．递增数列 B．递减数列 C．摆动数列 D．常数列 【答案】C 【解析】数列，则，， 因此，数列是摆动数列. 故选：C 2．（24-25高二上·全国·课后作业）下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，数列是递减数列，A不是； 对于B，，数列不是递增数列，B不是； 对于C，，数列是递增数列，是无穷数列，C是； 对于D，数列是有穷数列，D不是． 故选：C 3．（24-25高二上·全国·课前预习）已知数列，则该数列中最大项的序号是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】因为，， 所以当时，取得最大值. 故选：A. 4．（25-26高三上·山东·阶段练习）已知数列的通项公式为，若是递增数列，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 由数列是递增数列可得恒成立，即， 整理可得，该式对任意恒成立， 又因为函数为上的单调递减函数， 所以，所以. 故选：C 1．（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）数列满足：，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，可得， 利用累加法可得, 化简得，则. 故选：C. 2．（24-25高二上·福建南平·期末）已知数列满足：，若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：因为且 所以，， ，， ，， 所以数列是周期数列，且周期为4， 所以. 故选：C. 3．（24-25高二下·广东·阶段练习）记为首项为1的数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】易得，故， 化简得，即， 由知，故， 累乘可得， 即，故， 当时，也符合上式，故，故. 故选：C. 4．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段练习）设函数，数列满足，且数列是递增数列，则a的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵数列是递增数列， ∴当时，单调递增，即，则， 当时，单调递增，则， 又，即，则，则， ∴. 故选：B. 5．（25-26高二上·全国·单元测试）已知数列的通项公式为为其前项积，则的最小值为（    ） A．－2 B． C． D． 【答案】B 【解析】当为奇数时，，当为偶数时，， 要求的最小值，只需要考虑出现奇数个奇数项时即可， 又， 而， 因此时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上，的最小值为． 故选：B. 6．（多选）(2025山西怀仁第一中学期中)已知数列{an}的通项公式为an=3n+1,{bn}的通项公式为bn=n2,若将数列{an},{bn}中相同的项按从小到大的顺序排列后构成数列{cn},则484是数列{cn}中的第(　　) A.12项　　　　B.13项　　　　C.14项　　　　D.15项 【答案】C 【解析】令an=bm,即3n+1=m2,m,n∈N+.易知a1=4,b2=4符合题意. 若m=3k,则bm=9k2,它不是{an}中的项; 若m=3k+1,则bm=(3k+1)2=9k2+6k+1=3(3k2+2k)+1,它是{an}中的项; 若m=3k+2,则bm=(3k+2)2=9k2+12k+4=3(3k2+4k+1)+1,它是{an}中的项. 故除b2外,当m=3k+1或m=3k+2,k∈N+时,项bm才能在{an}中出现,即为公共项. 所以公共项为b2,b4,b5,b7,b8,b10,b11,b13,b14,b16,b17,b19,b20,b22,…, 令m2=484,得m=22,即b22=484,为数列{bn}中的第22项,{cn}中的第14项. 故选C. 7.某少数民族的刺绣有着悠久的历史,图(1)(2)(3)(4)为最简单的四个图案,这些图案都由小正方形构成,小正方形个数越多,刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同),设第n个图案包含f(n)个小正方形,则f(6)=　　　　.  【答案】61 【解析】由题图得, f(1)=1, f(2)=1+3+1=2×1+3=2×(2-1)2+3, f(3)=1+3+5+3+1=2×(1+3)+5=2×(3-1)2+5, f(4)=1+3+5+7+5+3+1=2×(1+3+5)+7=2×(4-1)2+7, 故f(n)=2(n-1)2+2n-1=2n(n-1)+1. 所以f(6)=2×6×5+1=61. 8.(2025江苏扬州仪征中学期中)已知数列{an}的通项公式是an=. (1)判断是不是数列{an}中的项; (2)试判断数列{an}中的各项是否都在区间(0,1)内; (3)试判断在区间内是否有数列{an}中的项,若有,说明是第几项;若没有,请说明理由. 【答案】(1)不是；（2）各项都在区间(0,1)内；（3）第2项,且a2=. 【解析】(1)an===, 令=,解得n=. 因为不是正整数,所以不是数列{an}中的项. (2)由(1)可得an===1-, 因为n∈N+,所以0<<1,所以0<an<1. 所以数列{an}中的各项都在区间(0,1)内. (3)在区间内有数列{an}中的项. 令<an<,得<<, 即解得<n<, 又因为n∈N+,所以n=2. 故在区间内有且仅有一个数列{an}中的项,它是第2项,且a2=. 1．（2025高三·全国·专题练习）若，则的整数部分是（   ） A．1997 B．1998 C．1999 D．2000 【答案】B 【解析】 ， 又 ， 所以，则的整数部分为， 故选：B． 2．（25-26高二上·江苏苏州·阶段练习）已知数列各项都是正数，且，若是递增数列，则的取值范围是 ，若，且，则整数 . 【答案】 【解析】因为数列各项都是正数，且，即， 解得，由于，所以， 由于数列是递增数列，则， 可得，化简可得，解得， 由得的取值范围是； 因为 等式两边取倒数可得，所以， 当时，， 所以 ， 因为，所以， 由上分析可知，所以， 因此整数. 3．（2025高三·全国·专题练习）若在数列中，对于，，都有（t为常数），则称数列具有性质.已知数列的通项公式为，且具有性质，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】由题得，故只需考虑时，，， 即，因此． 令，则，所以为递增数列， 则． 所以，即的取值范围为． 4．（2025·山西太原·一模）对于数列，称为数列的1阶商分数列，其中；称为数列的阶商分数列，其中，当时，．已知数列，，且为数列的2阶商分数列，则数列的前项和为 ． 【答案】 【解析】根据题目中的定义，数列的1阶商分数列中， 满足：①，则②； 2阶商分数列中，满足：， 根据题意，， 将①，②代入上式可得：③， 将和代入③得：， 化简后得到递推关系式：，化简可得：， 由累乘法可得： ， 所以， 经检验，，，满足上式； 所以， 设数列的前n项和为 ， 则， . 5．（2025·福建福州·模拟预测）在如图斜方格阵中，一机器人从中心方格出发，每次运动可以跨越机器人所在方格的一条边（如第1次运动，机器人可以运动到，，或）．若机器人走出斜方格阵视为“失败”，反之视为“成功”，则运动2025次后机器人“成功”的概率为 ． 【答案】 【解析】如图，斜方格具有对称性，因而若机器人运动过程不走出斜方格阵，只需考虑机器人位于斜方格阵中的①、②、③处位置即可，设2025次后机器人在处的概率为，在①处的概率为，在②处的概率为，在③处的概率为． 则，，，． 将，，代入到中，得， 又由题意得，，则， 所以，则，，， 所以概率． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $