6.2.1 向量的加法运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

6.2 平面向量的运算 6.2.1 向量的加法运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运算规则. 2.理解平面向量加法的几何意义,会用三角形法则和平行四边形法则作两向量的和向量. 3.掌握向量加法的交换律和结合律,并会用它们进行向量的计算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.向量加法的两种法则 (1)三角形法则 已知非零向量a,b,在平面内取任意一点A,作=a,=b,则向量_____叫做a与b的和,记作_____ ,即_____ =+=.求两个向量和的运算,叫做向量的_____.这种求向量和的方法,称为向量加法的三角形法则.归纳口诀为“首尾相连连首尾”. a+b a+b 加法 (2)平行四边形法则 以同一点O为起点的两个已知向量a,b,以OA, OB为邻边作▱OACB,则以O为起点的向量_____ (OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和.我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.归纳口诀为“共起点,对角线”. (3)对于零向量与任意向量a,规定a+0=0+a=___. a 2.共线向量的加法与向量加法的运算律 (1)一般地,我们有____________≤|a+b|≤ ____________,当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向_____的非零向量时,右边取等号;当且仅当a,b中有一个是零向量或a,b是方向_____的非零向量时,左边取等号.口诀:同号取等方向同,异号取等方向反. (2)向量加法的运算律 ||a|-|b|| |a|+|b| 相同 相反 交换律 a+b=_______ 结合律 (a+b)+c=_________ b+a a+(b+c) |微|点|助|解| (1)对向量加法的三角形法则的两点说明 ①适用范围:任意向量. ②注意事项:两个向量一定首尾相连;和向量的起点是第一个向量的起点,终点是第二个向量的终点;当多个向量相加时,可以使用三角形法则. (2)运用向量加法的平行四边形法则作图时,要强调两个向量起点相同. (3)多个向量的加法运算可按照任意的次序与任意的组合进行,如(a+b)+(c+d)=(b+d)+(a+c);a+b+c+d+e=[d+(a+c)]+(b+e). 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个向量相加,结果可能是一个数量. (　　) (2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加. (　　) (3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线. (　　) (4)+=. (　　) × × × √ 2.在△ABC中,=a,=b,则a+b等于(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 3.已知a,b,c是非零向量,则(a+c)+b,b+(a+c),b+(c+a),c+(a+b), c+(b+a)中,与向量a+b+c相等的向量的个数为(　　) A.5　　　　B.4　　　　C.3　　　　D.2 解析:向量加法满足交换律,所以五个向量均等于a+b+c.故选A. √ 4.人骑自行车的速度为v1,风速为v2,则逆风行驶的速度为 (　　) A.|v1|+|v2| B.v1+v2 C.|v1|-|v2| D. 解析:因为速度是既有大小又有方向的量,由向量的加法法则可知,逆风行驶的速度为v1+v2.故选B. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　向量加法的平行四边形法则和三角形法则 [例1]　(1)如图①所示,求作向量a+b; 解:首先作向量=a,然后作向量=b,则向量=a+b.如图所示. (2)如图②所示,试用三角形法 则作向量a+b+c. 解:如图所示,首先在平面内任取一点O,作向量=a,再作向量=b,则向量=a+b.然后作向量=c,则向量=a+b+c,即为所求. 　　[变式拓展] 本例(2)条件不变,试用平行四边形法则作向量a+b+c. 解:首先在平面内任取一点O,作向量=a, =b,=c,以OA,OB为邻边作▱OADB,连接OD,则=+=a+b.再以OD,OC为邻边作▱ODEC,连接OE,则=+=a+b+c,即为所求. |思|维|建|模| 应用三角形法则和平行四边形法则应注意的问题 (1)三角形法则可以推广到n个向量求和,作图时要求“首尾相连”,即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第n个向量的终点的向量. (2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和,作图时要求两个向量的起点重合. (3)求作三个或三个以上的向量的和时,用三角形法则更简单. 针对训练 1.(1)如图①,利用向量加法的平行四边形法则作出a+b; 解:如图a,过点O作=a,=b, 以OA,OB为邻边作▱OACB,连接OC, 则=+=a+b. (2)已知向量a,b,c,如图②,求作a+b+c. 解:如图b,在平面内任取一点O,作=a,=b, =c,则由向量加法的三角形法则,得=a+b, =a+b+c. 题型(二)　向量加法运算律的应用 [例2]　如图,在△ABC中,D,E分别是AB,AC上的点, F为线段DE延长线上一点,DE∥BC,AB∥CF,连接CD, 化简下列各式: (1)+; 解:如题图,由已知得四边形DFCB为平行四边形, 由向量加法的运算法则可知:+=+=. (2)+; 解:+=+=. (3)++. 解:++=++=. 　　[变式拓展] 1.在本例条件下,求+. 解:因为BC∥DF,BD∥CF,所以四边形BCFD是平行四边形, 所以+=. 2.在本例图形中求作向量++. 解:过A作AG∥DF交CF的延长线于点G, 则+=,作=,连接DH, 则=++,如图所示. |思|维|建|模| 向量加法运算律的意义和应用原则 意义 由于向量的加法满足交换律和结合律,故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 应用 原则 利用代数方法通过向量加法的交换律,使各向量“首尾相连”,通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序 针对训练 2.如图,在矩形ABCD中,O为AC与BD的交点, 则++=(　　) A. B. C. D. 解析:由平面向量加法的三角形法则和平行四边形法则,得++=+=. √ 3.已知正方形ABCD的边长等于1,则|+++|=_________. 2 解析:|+++|=|+++|=|+|=2||=2. [例3]　一架救援直升机从A地沿北偏东60°方向飞行了40 km到达B地,再由B地沿正北方向飞行了40 km到达C地,求此时救援直升机与A地的相对位置. 题型(三)　向量加法的实际应用 解:如图所示,设,分别是救援直升机的位移, 则表示两次位移的合位移,即=+. 在Rt△ADB中,||=20 km, ||=20 km,则||=||+||=20+40=60(km), 在Rt△ADC中,||==40(km), ∠CAD=60°,即此时救援直升机位于A地北偏东30°方向,且距离A地40 km处. |思|维|建|模| 利用向量加法解实际应用题的步骤 针对训练 4.河水自西向东流动的速度为10 km/h,小船在静水中的速度为10 km/h,小船自南岸沿正北方向航行,求小船的实际航行速度和方向. 解:设a,b分别表示水流的速度和小船在静水中的速度,过平面内任意一点O作=a,=b,以OA,OB为邻边作矩形OACB,连接OC,如图,则=a+b,并且即为小船的实际航行速度. ∴||===20(km/h). ∵tan∠AOC==,∴∠AOC=60°,∴小船的实际航行速度为20 km/h,沿北偏东30°的方向航行. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.++++=(　　) A. B. C. D. 解析:++++=++++=,故选C. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.某人先向东走3 km,位移记为a,接着再向北走3 km,位移记为b,则a+b表示 (　　) A.向东南走3 km B.向东北走3 km C.向东南走3 km D.向东北走3 km 解析:由题意和向量的加法,得a+b表示先向东走3 km,再向北走3 km,即向东北走3 km.故选B. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若非零不共线向量a,b满足|a+b|=|b|,则 (　　) A.|2a|>|2a+b| B.|2a|<|2a+b| C.|2b|>|a+2b| D.|2b|<|a+2b| 解析:|a+2b|=|a+b+b|≤|a+b|+|b|=2|b|.由于a,b是非零不共线向量,所以a+b与b不共线,故等号不成立. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图所示的方格纸中,有定点O,P,Q,E,F,G,H,则+=(　　) A. B. C. D. 解析:以OP,OQ为邻边作平行四边形OPMQ,如图,则+=.由和的模相等,方向相同,得=,即+=.故选C. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知向量a∥b,且|a|>|b|>0,则向量a+b的方向 (　　) A.与向量a的方向相同 B.与向量a的方向相反 C.与向量b的方向相同 D.不确定 解析:若a和b方向相同,则a+b的方向与a(或b)的方向相同;若它们的方向相反,而|a|>|b|,则a+b的方向与a的方向相同. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)已知a∥b,|a|=2|b|=8,则|a+b|的值可能为 (　　) A.4 B.8 C.10 D.12 √ √ 解析:因为|a|=2|b|=8,所以|b|=4.因为a∥b,所以a,b方向相同或相反,当a,b同向时,|a+b|=|a|+|b|=12;当a,b反向时,|a+b|=||a|-|b||=4. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.若在△ABC中,=a,=b,且|a|=|b|=1,|a+b|=,则△ABC的形状是(　　) A.正三角形 B.锐角三角形 C.斜三角形 D.等腰直角三角形 解析:由题意可得△ABC的三边分别为1,1,,符合勾股定理,故△ABC是等腰直角三角形. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(多选)设a=(+)+(+),b是一个非零向量,则下列结论正确的是(　　) A.a∥b B.a+b=a C.a+b=b D.|a+b|<|a|+|b| √ √ 解析:因为a=(+)+(+)=(+)+(+)=+=0,又b是一个非零向量,所以a∥b成立,A正确.a+b=0+b=b,B不正确,C正确.由|a+b|=|b|,|a|+|b|=|b|,可得|a+b|=|a|+|b|,D不正确.故选AC. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足+=,则下列结论正确的是(　　) A.P在△ABC的内部 B.P在△ABC的边AB上 C.P在AB边所在的直线上 D.P在△ABC的外部 √ 解析:+=,根据向量加法的平行四边形法则,如图,则点P在△ABC的外部.故选D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.若点A在点O的正北方向,点B在点O的南偏西60°方向,且||=||=2 km,则向量+表示(　　) A.从点O出发,朝北偏西60°方向移动2 km B.从点O出发,朝北偏西75°方向移动2 km C.从点O出发,朝北偏西60°方向移动2 km D.从点O出发,朝北偏西75°方向移动2 km √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:以O为坐标原点,正东方向为x轴的正方向, 正北方向为y轴的正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.依题意可得∠AOB=180°-60°=120°. 设=+,因为||=||=2 km, 所以四边形OACB为菱形, 则∠AOC=×120°=60°,则△AOC为正三角形, 所以||=2 km,故向量+表示从点O出发, 朝北偏西60°方向移动2 km. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)++等于___________. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)在边长为1的等边△ABC中,|+|=_________, |+|=___________. 1 解析:易知|+|=||=1.以AB,AC为邻边作平行四边形ABDC(图略),则|+|=||=2||sin 60°=2×1×=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(5分)已知点G是△ABC的重心,则++=___________. 0 解析:如图所示,连接AG并延长交BC于点E,则点E为BC的中点,延长AE到点D,使ED=GE,连接BD,CD,则+=.又+=0, ∴++=0.(此题可作为结论直接应用) 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,在△ABC中,O为重心,D,E,F分别是BC, AC,AB的中点,化简下列各式: (1)++;(3分) 解:++=+=. (2)++;(3分) 解:++=(+)+=+=. (3)++.(4分) 解:++=++=+=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图,无弹性的细绳OA,OB的一端分别固定在A,B处,同样的细绳OC下端系着一个称盘,且使得OB⊥OC,试分析OA,OB,OC三根绳子受力的大小,并判断哪根绳受力最大. 解:设OA,OB,OC三根绳子所受的力分别为a,b,c, 则a+b+c=0.因为a,b的合力为c'=a+b,所以|c|=|c'|. 如图在平行四边形OBC'A中,因为⊥,=,所以||>||,||>||,即|a|>|b|,|a|>|c|. 故细绳OA受力最大. 本课结束 $