6.1 平面向量的概念-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

第六章 平面向量及其应用 6.1　 平面向量的概念 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.通过力的分析等实例,了解向量的实际背景;理解向量的概念. 2.理解向量的几何表示;掌握零向量、单位向量、平行向量等概念. 3.理解相等向量和共线向量的概念,并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量的相等向量. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　向量的概念与表示 逐点清(二)　相等向量与共线向量 逐点清(三)　向量的作法 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　向量的概念与表示 01 多维理解 1.向量与数量 向量 既有______又有______的量叫做向量 数量 只有______没有______的量称为数量 大小 方向 大小 方向 2.向量的表示 (1)有向线段 ①定义:具有______的线段叫做有向线段. ②要素:______、______、______. ③表示方法及长度:以A为起点、B为终点的有向线段记作,线段AB的______也叫做有向线段的长度,记作______. (2)向量的表示方法 ①几何表示:向量可以用____________来表示,记作_____,有向线段的长度||表示向量的______,有向线段的方向表示向量的方向. ②字母表示:向量可以用字母________,…表示.(印刷用黑体a,书写用) 方向 起点 方向 长度 长度 || 有向线段 大小 a,b,c 3.向量的相关概念 向量的 长度(模) 向量的______称为向量的长度(或称模),记作______ 零向量 长度为_____的向量叫做零向量,记作_____ 单位向量 长度等于_______________的向量,叫做单位向量 大小 || 0 0 1个单位长度 |微|点|助|解| (1)书写向量时带箭头. (2)有向线段与向量不是同一个概念,有向线段有起点、长度、方向三个要素.每一个有向线段对应一个向量,每一个向量对应无数个有向线段. (3)注意 0 与 0 的区别及联系, 0 是一个实数, 0是一个向量,且|0|=0.零向量的方向是任意的,在分析向量的位置关系时要特别注意零向量. (4)单位向量有无数多个,它们的大小相等,但方向不一定相同. (5)向量不能比较大小,它的模可以比较大小. 微点练明 1.下列说法正确的是 (　　) A.身高是一个向量 B.平面直角坐标系上的x轴,y轴都是向量 C.温度包含零上和零下,所以温度是向量 D.物理学中的摩擦力、重力都是向量 √ 2.已知向量a如图所示,下列说法不正确的是 (　　) A.可以用表示 B.方向是由M指向N C.起点是M D.终点是M √ 解析:终点是N而不是M. 3.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.向量与向量的长度相等 B.两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的终点相同 C.零向量的长度都为0 D.两个单位向量的长度相等 √ √ √ 解析:两个有共同起点,且长度相等的向量,它们的方向不一定相同,终点也不一定相同;零向量的模都是0;单位向量的长度都是1个单位长度,故A、C、D正确. 4.如图,B,C是线段AD的三等分点,分别以图中不同的点为起点和终点,可以写出________个向量. 解析:由向量的几何表示知可以写出12个向量,它们分别是,,,,,,,,,,,. 12 逐点清(二)　相等向量与共线向量 02 多维理解 平行 向量 (共线 向量) 方向_______________的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量.向量a与b平行,记作_______ 规定零向量与任意向量_______,即对于任意向量a,都有_______ 相等 向量 长度_______且方向_______的向量叫做相等向量.向量a与b相等,记作_______ 相同或相反 a∥b 平行 0∥a 相等 相同 a=b |微|点|助|解| (1)共线向量定义强调指的是非零向量; (2)共线向量中的向量所在的直线可以平行,也可以重合,与平面几何中的“共线”“平行”不同; (3)相等向量一定是共线向量,但共线向量不一定是相等向量; (4)向量相等具有传递性,即若 a=b, b=c, 则a=c.而向量的平行不具有传递性. 微点练明 1.下列命题正确的是 (　　) A.若|a|=|b|,则a=b B.若|a|>|b|,则a>b C.若a=b,则a∥b D.若|a|=0,则a=0 解析:对于A,由|a|=|b|可得a与b的长度相等,但方向不一定相同,所以a与b不一定相等,所以A错误;对于B,由|a|>|b|可得a的长度大于b的长度,而向量是既有大小又有方向的量,不能比较大小,所以B错误;对于C,由a=b可得a与b的长度相等,方向相同,所以有a∥b,所以C正确;对于D,由|a|=0,可得a=0,而不是0,所以D错误. √ 2.如图是3×4的格点图(每个小方格都是单位正方形),若起点和终点都在方格的顶点处,则与平行且模为的向量共有(　　) A.12个 B.18个 C.24个 D.36个 解析:由题意知,每个小正方形的边长为1,则对角线长为.因为每个小正方形中存在两个与平行且模为的向量,3×4的格点图中包含12个小正方形,所以共有24个向量满足要求. √ 3.(多选)设点O是正方形ABCD的中心,则下列结论正确的是 (　　) A.= B.= C.∥ D.与共线 解析:如图,因为,方向相同,长度相等,故=,故A正确;因为,方向不同,故≠,故B错误;因为B,O,D三点共线,所以∥,故C正确;因为AB∥CD,所以与共线,故D正确. √ √ √ 4.如图,△ABC的三边均不相等,E,F,D分别是AC,AB,BC的中点. (1)写出与共线的向量; (2)写出与的模相等的向量; 解:因为E,F分别是AC,AB的中点,所以EF∥BC,EF=BC.又因为D是BC的中点,所以与共线的向量有,,,,,,. 解:与的模相等的向量有,,,,. (3)写出与相等的向量. 解:与相等的向量有,. 逐点清(三)　向量的作法 03 [典例]　一辆汽车从A点出发向西行驶了100 km到达B点,然后改变方向向北偏西40°行驶了200 km到达C点,最后又改变方向,向东行驶了100 km到达D点. (1)作出向量,,; (2)求的模. 解:作出向量,,,如图所示. 解:连接AD,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB=CD, 所以四边形ABCD为平行四边形. 所以||=||=200 km,故的模为200 km. |思|维|建|模| 用有向线段表示向量的步骤 针对训练 在如图所示的坐标纸中(每一个小方格边长为1), 用直尺和圆规画出下列向量. (1)||=3,点A在点O正西方向; (2)||=3,点B在点O北偏西45°方向. 解: B A 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是 (　　) A.1 B.2 C.3 D.4 √ 解析:因为速度、力和加速度既有大小又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.汽车以120 km/h的速度向西走了2 h,摩托车以45 km/h的速度向东北方向走了2 h,则下列命题正确的是 (　　) A.汽车的速度大于摩托车的速度 B.汽车的位移大于摩托车的位移 C.汽车走的路程大于摩托车走的路程 D.以上都不对 解析:速度、位移是向量,向量不能比较大小. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(多选)下列说法正确的是 (　　) A.||=|| B.若e1,e2是单位向量,则|e1|=|e2| C.若非零向量与是共线向量,则A,B,C,D四点共线 D.若||>||,则> √ √ 解析:与方向相反,它们的模相等,A正确;所有的单位向量的模相等, B正确;向量的共线不同于有向线段共线,故当与共线时,A,B,C,D四点不一定共线,C错误;向量的模可以比较大小,而向量不能比较大小,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若向量a与向量b不相等,则a与b一定 (　　) A.不共线 B.长度不相等 C.不都是单位向量 D.不都是零向量 解析:若向量a与向量b不相等,则说明向量a与向量b的方向和长度至少有一个不同.所以a与b有可能共线,有可能长度相等,也有可能都是单位向量.所以A、B、C都是错误的.但是a与b一定不都是零向量. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(多选)给出下列四个条件,其中能使a∥b成立的条件是 (　　) A.a=b B.|a|=|b| C.a与b方向相反 D.|a|=0或|b|=0 解析:对于A,若a=b,则a与b大小相等且方向相同,所以a∥b;对于B,若|a|=|b|,则a与b的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a∥b;对于C,方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a与b方向相反,则有a∥b;对于D,零向量与任意向量平行,所以若|a|=0或|b|=0,则a∥b. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)下列结论正确的是 (　　) A.“a∥b且|a|=|b|”是“a=b”的必要不充分条件 B.“a∥b且|a|=|b|”是“a=b”的既不充分也不必要条件 C.“a与b方向相同且|a|=|b|”是“a=b”的充要条件 D.“a与b方向相反或|a|≠|b|”是“a≠b”的充分不必要条件 解析:若a=b,则a与b方向相同,模相等,结合充分、必要条件的定义知A、C、D正确,B错误. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知A={与a共线的向量},B={与a长度相等的向量},C={与a长度相等,方向相反的向量},其中a为非零向量,下列关系错误的是 (　　) A.C⊆A B.A∩B={a} C.C⊆B D.A∩B⊇{a} √ 解析:因为A∩B中包含与a长度相等且方向相反的向量,故B错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.在如图所示的半圆中,AB为直径,点O为圆心, C为半圆上一点,且∠OCB=30°,||=2, 则||等于(　　) A.1 B. C. D.2 解析:如图,连接AC,由||=||, 得∠ABC=∠OCB=30°.因为C为半圆上的点,所以∠ACB=90°,所以||=||=1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)如图,在菱形ABCD中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是 (　　) A.与相等的向量只有一个(不含) B.与的模相等的向量有9个(不含) C.的模为模的倍 D.与不共线 解析:A项,由相等向量的定义知,与相等的向量只有,故A正确;B项,因为AB=BC=CD=DA=AC,所以与的模相等的向量除外有9个,故B正确;C项,在Rt△ADO中,∠DAO=60°,则DO=DA,所以BD=DA,故C正确;D项,因为四边形ABCD是菱形,所以与共线,故D错误. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 A.向量,的模相等 B.||= C.向量,共线 D.||+||=10 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:因为||==,||==2,所以||≠||, 所以A错误;因为||==,所以B正确;因为∠CDG=∠CFH=45°,所以DG∥HF,所以向量,共线,所以C正确;因为||+||=+ =5≠10,所以D错误.故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m=______;若|m|=1,则m是____________. 0 单位向量 解析:∵A,B,C不共线,∴与不共线. 又∵m与,都共线,∴m=0.若|m|=1, 则m是单位向量. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)中国象棋中规定:马走“日”字,象走“田”字.如图,在中国象棋的半个棋盘(4×8的矩形中每个小方格都是单位正方形)中,若马在A处,可跳到A1处,也可跳到A2处,用向量,表示马走了“一步”.若马在B处或C处,则表示马走了“一步”的向量共有_________个. 解析:此题中,马在A处有两条路可走,在B处有三条路可走,在C处有八条路可走. 如图,以B点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量,符合题意的共3个;以C点为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量,符合题意的共8个.所以共有11个. 11 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)如图,在等腰梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD交于点O,过点O作MN∥AB,交AD于点M,交BC于点N,则在以A,B,C,D, M,O,N为起点或终点的所有有向线段表示的向量中,相等向量有_________对. 解析:已知CD∥AB,则△OCD∽△OAB,所以=,所以=. 因为MN∥AB,所以△OCN∽△ACB,△ODM∽△BDA,所以=, =,所以=,所以OM=ON.又M,O,N三点共线, 所以=,=.故相等向量有2对. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知线段AB被n(n≥2)等分,等分点为M1,M2,M3,…,Mn-1.从这(n+1)个点中任取两点作为向量的起点和终点. (1)当n=4时,一共可以构成多少个互不相等的非零向量?(5分) 解:当n=4时,等分点有M1,M2,M3,共3个,则从5个点中任取两点作为向量的起点和终点, 模长为||时,有2个,为,,模长为||时,有2个, 为,, 模长为||时,有2个,为,,模长为||时,有2个, 为,,总共有8个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求互不相等的非零向量的总数,用n表示.(5分) 解:由(1)知,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,当模长为||时,有2个,依次类推,当模长为||时,有2个,总共有2n个. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成,方格纸中有两个定点A,B,点C为小正方形的顶点,且||=. (1)画出所有的向量;(4分) 解:画出所有的向量,如图所示. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求||的最大值与最小值.(6分) 解:由(1)所画的图知,①当点C位于点C1或C2时, ||取得最小值,为=; ②当点C位于点C5或C6时,||取得最大值,为=, 所以||的最大值为,最小值为. 本课结束 10.(多选)如图,每个小正方形的边长都是1,在其中标出了6个向量, 则在这6个向量中 (　　) $