10.1.2 事件的关系和运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦“事件的关系和运算”，系统梳理包含、相等关系及并、交运算，通过掷硬币、摸球等实例导入，搭建从样本空间到事件关系的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于采用“逐点清”结构，结合定义、符号、维恩图及微点练习，培养数学眼光中的抽象能力与几何直观，通过互斥与对立事件辨析发展数学思维的推理能力，用样本点精确表达事件提升数学语言运用。实例丰富，教师可逐点突破，学生易理解，提升学习效率。

10.1.2 事件的关系和运算 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.理解事件的关系和运算. 2.通过事件之间的运算,理解互斥事件和对立事件的概念. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　事件的关系 逐点清(二)　事件的运算 逐点清(三) 互斥事件与对立事件 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　事件的关系 01 多维理解 项目 定义 符号 图示 包含 关系 一般地,若事件A发生,则事件B _____发生,就称事件B_____事件A(或事件A包含于事件B) B⊇A(或 A⊆B) 相等 关系 特别地,如果事件B包含事件A, 事件A也包含事件B,即B____A且A_____B,则称事件A与事件B相等 _____ 一定 包含 ⊇ ⊇ A=B 微点练明 1.同时掷两枚硬币,“向上的面都是正面”为事件A,“向上的面至少有一枚是正面”为事件B,则有 (　　) A.A=B B.A⊇B C.A⊆B D.A与B之间没有关系 解析:由同时抛掷两枚硬币,知试验的样本空间为Ω={(正,正),(正,反), (反,正),(反,反)},其中事件A={(正,正)},事件B={(正,正),(正,反), (反,正)},所以A⊆B. √ 2.从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,与事件“至少有1个白球”相等的事件是 (　　) A.全是红球 B.至少有1个红球 C.至多有1个红球 D.1个红球,1个白球 √ 解析:从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球,若至少有1个白球, 则其包含的样本点是:1个白球1个红球,2个白球;至多有1个红球包含的样本点也是:1个白球1个红球,2个白球. 3.在掷骰子试验中,可以得到以下事件: A:{出现1点};B:{出现2点};C:{出现3点};D:{出现4点};E:{出现5点};F:{出现6点};G:{出现的点数不大于1};H:{出现的点数小于5};I:{出现奇数点};J:{出现偶数点}. 请判断下列事件的关系: (1)B_________H;(2)D_________J;(3)E_________I;(4)A_________G. ⊆ ⊆ ⊆ = 解析:因为出现的点数小于5包含出现1点,出现2点,出现3点,出现4点四种情况,所以事件B发生时,事件H必然发生,故B⊆H;同理D⊆J,E⊆I;易知事件A与事件G相等,即A=G. 逐点清(二)　事件的运算 02 多维理解 项目 定义 符号 图示 并事件 (或和 事件) 一般地,事件A与事件B_______有一个发生,这样的一个事件中的样本点或者在事件A中,或者在事件B中,我们称这个事件为事件A与事件B的并事件 (或和事件) A∪B(或 A+B) 交事件 (或积 事件) 一般地,事件A与事件B_______发生,这样的一个事件中的样本点既在事件A中,也在事件B中,我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) _______ _______ 至少 同时 A∩B (或AB) 1.打靶3次,事件Ai表示“击中i发”,其中i=0,1,2,3.那么事件A=A1∪A2∪A3表示 (　　) A.全部击中 B.至少击中1发 C.都未击中 D.击中3发 微点练明 解析:A=A1∪A2∪A3表示击中1发或2发或3发,即至少击中1发. √ 2.(多选)某篮球运动员进行投篮训练,连续投篮两次,设事件A表示随机事件“两次都投中”,事件B表示随机事件“两次都未投中”,事件C表示随机事件“恰有一次投中”,事件D表示随机事件“至少有一次投中”,则下列关系正确的是 (　　) A.A⊆D B.B∩D=∅ C.A∪B=B∪D D.A∪C=D √ √ √ 解析:事件D表示“至少有一次投中”,即表示“两次都投中或恰有一次投中”,事件A表示“两次都投中”,故A⊆D,故A正确;事件B和事件D是对立事件,故B∩D=∅,故B正确;事件A∪B表示“两次都投中或两次都未投中”,而事件B∪D表示“两次都未投中、两次都投中或恰有一次投中”,故C错误;事件A∪C表示“两次都投中或恰有一次投中”,故A∪C=D,故D正确. 3.盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,设事件A={3个球中有1个红球2个白球},事件B={3个球中有2个红球1个白球},事件C={3个球中至少有1个红球},事件D={3个球中既有红球又有白球}. 求:(1)事件D与A,B是怎样的运算关系? 解:事件D包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球), 故D=A∪B. (2)事件C与A的交事件是什么事件? 解:事件C包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球), (3个红球),故C∩A=A. (3)设事件E={3个红球},事件F={3个球中至少有一个白球},那么事件C与B,E分别是什么运算关系?C与F的交事件是什么事件? 解:事件C包含的样本点为(1个红球2个白球),(2个红球1个白球),(3个红球), 故B⊆C,E⊆C.而事件F包含的样本点为(1个白球2个红球),(2个白球1个红球), (3个白球),所以C∩F={3个球中有1个红球2个白球或2个红球1个白球}=D. 逐点清(三) 互斥事件与对立事件 03 1.互斥事件 定义 一般地,如果事件A与事件B________发生,也就是说______是一个不可能事件,即A∩B=____,则称事件A与事件B互斥 (或互不相容) 含义 A与B不能同时发生 符号表示 ___________ 图形表示 不能同时 A∩B ∅ A∩B=∅ 2.对立事件 定义 一般地,如果事件A和事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生,即A∪B=Ω,且__________,那么称事件A与事件B互为对立,事件A的对立事件记为 含义 A与B有且仅有一个发生 符号表示 __________, __________ 图形表示 A∩B=∅ A∩B=∅ A∪B=Ω [典例]　从装有2个红球和2个白球的口袋中任取两球,下列哪些事件是互斥事件?它们是不是对立事件? ①至少有一个白球,都是白球; ②至少有一个白球,至少有一个红球;③恰有一个白球,恰有2个白球;④至少有一个白球,都是红球. 解:把2个红球标记为a,b,2个白球标记为c,d,任取两球,样本空间为Ω={ab,ac,ad,bc, bd,cd},设“至少有一个白球”为事件A,“至少有一个红球”为事件B,“都是白球”为事件C,“都是红球”为事件D,“恰有一个白球”为事件E,则A={ac,ad,bc,bd,cd}, B={ab,ac,ad,bc,bd},C={cd},D={ab},E={ac,ad,bc,bd}. 对于①,∵A∩C={cd},∴“至少有一个白球”与“都是白球”不是互斥事件; 对于②,∵A∩B={ac,ad,bc,bd},∴“至少有一个白球”与“至少有一个红球”不是互斥事件; 对于③,由题意,“恰有2个白球”即“都是白球”, ∵E∩C=∅,E∪C≠Ω,∴“恰有一个白球”与“恰有2个白球”是互斥事件,但不是对立事件; 对于④,∵A∩D=∅,A∪D=Ω,∴“至少有一个白球”与“都是红球”是互斥事件,且为对立事件. 综上所述,③④是互斥事件,其中④是对立事件. |思|维|建|模| 辨析互斥事件与对立事件的思路 (1)从发生的角度看 ①在一次试验中,两个互斥事件有可能都不发生,也可能有一个发生,但不可能同时发生. ②两个对立事件必有一个发生,但不可能同时发生,即两事件对立,必定互斥,但两事件互斥,未必对立.对立事件是互斥事件的一个特例. (2)从事件个数的角度看 互斥的概念适用于两个或多个事件,但对立的概念只适用于两个事件. 针对训练 1.(多选)从一批产品(既有正品也有次品)中取出3件产品,设A={3件产品全不是次品},B={3件产品全是次品},C={3件产品有次品,但不全是次品},则下列结论正确的是 (　　) A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.任何两个都互斥 D.A与B对立 √ √ √ 解析:由题意可知,C={3件产品有次品,但不全是次品},包含“1件次品 2件正品”“2件次品1件正品”两个样本点,A={3件产品全不是次品} ={3件产品全是正品},B={3件产品全是次品},由此知,A与C互斥,B与C互斥,A与B互斥,故A、B、C正确;由于样本空间中还包含“1件次品2件正品”“2件次品1件正品”两个样本点,故A与B不对立,故D错误. 2.(多选)某小组有三名男生和两名女生,从中任选两名去参加比赛,则下列事件是互斥事件的是 (　　) A.“恰有一名男生”和“全是男生” B.“至少有一名男生”和“至少有一名女生” C.“至少有一名男生”和“全是男生” D.“至少有一名男生”和“全是女生” √ √ 解析:A是互斥事件,恰有一名男生的实质是选出的两人中有一名男生和一名女生,它与全是男生不可能同时发生;B不是互斥事件,当选出的两人是一男一女时,“至少有一名男生”和“至少有一名女生”同时发生;C不是互斥事件;D是互斥事件. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 2 1.从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,若事件A“所取的3个球中至多有1个白球”,则与事件A互斥的事件是 (　　) A.所取的3个球中至少有一个白球 B.所取的3个球中恰有2个白球1个黑球 C.所取的3个球都是黑球 D.所取的3个球中恰有1个白球2个黑球 解析:从装有4个黑球、2个白球的袋中任取3个球,事件A为“所取的3个球中至多有1个白球”,事件A的互斥事件是所取的3个球中多于1个白球,∵白球共有2个,∴事件A的互斥事件是所取的3个球中恰有2个白球1个黑球.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上的点数是2或3”为事件B,则 (　　) A.A⊆B B.A=B C.A+B表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3 解析:由题意,可知A={1,2},B={2,3},则AB={2},A+B={1,2,3}, ∴A+B表示向上的点数为1或2或3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 3.设A,B为两事件,则(A∪B)(∪)表示(　　) A.必然事件 B.不可能事件 C.A与B恰有一个发生 D.A与B不同时发生 解析:∵A∪B表示事件A,B至少有1个发生,∪表示事件A,B至少有一个不发生, ∴(A∪B)(∪)表示A与B恰有一个发生. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 4.从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,若“这2个数的和大于4”为事件A, “这2个数的和为偶数” 为事件B,则A∪B和A∩B包含的样本点数分别为 ( 　) A.1,6 B.4,2 C.5,1 D.6,1 解析:从1,2,3,4这4个数中,任取2个数求和,则试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)}. 其中事件A包含的样本点有(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共4个, 事件B包含的样本点有(1,3),(2,4),共2个. 所以事件A∪B包含的样本点有(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4),共5个,事件A∩B包含的样本点只有一个(2,4). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 5.同时抛掷两枚均匀的骰子,事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为 (　　) A.一个是5点,另一个是6点 B.一个是5点,另一个是4点 C.至少有一个是5点或6点 D.至多有一个是5点或6点 解析:同时抛掷甲、乙两枚骰子,可能出现的结果共有36个,“都不是5点且不是6点”包含16个,其对立事件是“至少有一个是5点或6点”. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 6.(5分)在某大学的学生中任选一名学生,若事件A表示被选学生是男生, 事件B表示该生是大三学生,事件C表示该生是运动员,则事件AB的含义是________________________________. 该生是大三男生,但不是运动员 解析:A表示男生,AB表示大三男生,AB表示大三男生且该生不是运动员. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 7.(5分)同时掷两枚骰子,两枚骰子的点数之和是2,3,4,…,11,12中的一个. 记事件A为“点数之和是2,4,7,12”,事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”,事件C为“点数之和大于8”,则事件“点数之和为2或4”可记为___________. A∩B∩ 解析:∵事件A={2,4,7,12},事件B={2,4,6,8,10,12},∴A∩B={2,4,12}.又C={9,10,11,12},∴A∩B∩={2,4}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 8.(5分)从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数.事件A表示组成的两位数是偶数,事件B表示组成的两位数中十位数字大于个位数字,则事件A∩B用样本点表示为_______________________________. {10,20,30,40,50,32,42,52,54} 解析:从0,1,2,3,4,5中任取两个数字组成一个两位数,所有的样本点为10,12,13,14,15,20,21,23,24,25,30,31,32,34,35,40,41,42,43,45,50,51,52,53,54,共25个, 则事件A={10,12,14,20,24,30,32,34,40,42,50,52,54}, 事件B={10,20,30,40,50,21,31,41,51,32,42,52,43,53,54}, 故事件A∩B用样本点表示为{10,20,30,40,50,32,42,52,54}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 9.(5分)如图是一个连有电灯的含有三个开关的电路.用A表示事件“电灯变亮”,用B,C,D依次表示 “开关Ⅰ闭合”“开关Ⅱ闭合”“开关Ⅲ闭合”, 则A=________________________________________. (用B,C,D间的运算关系式表示) 解析:要使电灯变亮,则开关Ⅰ必须闭合,且开关Ⅱ和Ⅲ至少有一个闭合,即要使“事件B发生”且“事件C发生或事件D发生”,用符号表示为B∩(C∪D)或B(C+D);也可分类讨论,即开关Ⅰ和Ⅱ闭合或开关Ⅰ和Ⅲ闭合,即事件BC发生或事件BD发生,用符号表示为(BC)∪(BD)或(BC)+(BD). (BC)∪(BD)(或(BC)+(BD)或B∩(C∪D)或B(C+D)) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 10.(10分)连续抛掷两枚骰子,观察落地时的点数.记事件A={两次出现的点数相同},事件B={两次出现的点数之和为4},事件C={两次出现的点数之差的绝对值为4},事件D={两次出现的点数之和为6}. (1)用样本点表示事件C∩D,A∪B;(8分) 解:由题意得,事件A={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)},事件B={(1,3), (2,2),(3,1)},事件C={(1,5),(2,6),(5,1),(6,2)},事件D={(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1)}. (1)C∩D={(1,5),(5,1)},A∪B={(1,1),(1,3),(2,2),(3,1),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}. (2)若事件E={(1,3),(1,5),(2,2),(2,6),(3,1),(5,1),(6,2)},则事件E与已知事件是什么运算关系?(2分) 解:E=B∪C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 11.(10分)某班要进行一次辩论比赛,现有4名男生和2名女生随机分成甲、乙两个辩论小组,每组3人.考虑甲组的人员组成情况,记事件Ak=“甲组有k名女生”. (1)事件A1含有多少个样本点?(3分) 解:用1,2,3,4表示4名男生,用a,b表示2名女生,因为事件A1=“甲组有1名女生”,所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a),(1,3,b),(1,4,a),(1,4,b), (2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b),(3,4,a),(3,4,b)},共含12个样本点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)若事件B=“甲组至少有一名女生”,则事件B与事件Ak有怎样的运算关系? (3分) 解:事件B=“甲组至少有一名女生”,其含义是甲组有一名女生或甲组有两名女生,所以B=A1∪A2. (3)判断事件A2与事件∪A0是什么关系?(4分) 解:因为A2与A0∪A1是对立事件,所以=A0∪A1,所以∪A0=A0∪A1, 所以事件A2与事件∪A0是对立事件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 12.(10分)一个袋子中有大小和质地相同的4个球,其中有2个红球(标号为1和2), 2个绿球(标号为3和4),从袋中不放回地依次随机摸出2个球.设事件R=“两次都摸到红球”,G=“两次都摸到绿球”,M=“两个球颜色相同”,N=“两个球颜色不同”. (1)用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件;(5分) 解:用数组(x1,x2)表示可能的结果,x1是第一次摸到的球的标号,x2是第二次 摸到的球的标号, 所以试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2), (3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}, 事件R={(1,2),(2,1)},事件G={(3,4),(4,3)},事件M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}, 事件N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(4,1),(3,2),(4,2)}. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 3 4 2 (2)写出事件R与G,M与N之间的关系;(3分) 解:由(1)知,R∩G=∅,而R∪GΩ,所以事件R,G互斥,不对立. M∩N=∅,M∪N=Ω,所以事件M,N互为对立事件. (3)写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系.(2分) 解:由(1)知,R∪G=M,所以事件M是事件R与事件G的并事件. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $