8.6.1 直线与直线垂直-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间直线与直线垂直，核心内容包括异面直线所成角的定义、求法及垂直判定。通过长方体模型直观感知，课前自主落实基础概念，课堂采用梯度进阶式教学，从定义理解到题型应用形成完整学习支架。 其亮点在于以数学眼光构建空间观念，通过平移法将异面直线成角转化为相交直线角，结合正三棱柱、正方体等实例培养推理能力，思维建模总结解题步骤强化模型意识。学生能提升空间想象与逻辑推理能力，教师可依托分层训练和系统流程提高教学效率。

8.6　 空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的垂直关系. 2.理解异面直线所成的角,并掌握两异面直线所成角的求法. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.异面直线所成的角 (1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,b'∥b,我们把直线_______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角). (2)空间两条直线所成角α的取值范围:________________. a'与b' 0°≤α≤90° |微|点|助|解| (1)两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关. (2)两条异面直线所成的角θ∈. (3)找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角. 2.两条异面直线垂直 如果两条异面直线所成的角是_______,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直,记作_______. 直角 a⊥b |微|点|助|解| 两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直和异面垂直两种情形. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)异面直线所成角的大小与点O的位置有关.即点O位置不同时, 这一角的大小也不同. (　　) (2)异面直线a与b所成的角可以是0°. (　　) (3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直. (　　) × × √ 2.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c (　　) A.一定平行 B.一定垂直 C.一定是异面直线 D.一定相交 √ 3.已知正方体ABCD-EFGH,则AH与FG所成的角是__________. 45° 解析:连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形, 所以∠BGF=45°. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　求异面直线所成的角 [例1]　如图,在三棱锥A-BCD中,AC⊥BD,E在棱AB上, F在棱CD上,并使AE∶EB=CF∶FD=m(m>0),设α为异面直线EF和AC所成的角,β为异面直线EF和BD所成的角,试求α+β的值. 解:过点F作MF∥BD,交BC于点M,连接ME, 则CM∶MB=CF∶FD =m,又因为AE∶EB=CF∶FD=m, 所以CM∶MB= AE∶EB,所以EM∥AC,所以α=∠MEF, β=∠MFE,AC与BD所成的角为∠EMF. 因为AC⊥BD,所以∠EMF=90°,所以α+β=90°. 　　[变式拓展] 将本例变为: 如图,点A是平面BCD外一点, AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点, 且EF=,求异面直线AD和BC所成的角. 解:如图,设G是AC的中点,连接EG,FG. 因为E,F分别是AB,CD的中点,所以EG∥BC 且EG=BC=1,FG∥AD,且FG=AD=1, 即∠EGF为所求. 又EF=,由勾股定理逆定理可得∠EGF=90°. |思|维|建|模| 求异面直线所成的角的一般步骤 (1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线. (2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角. (3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求. 针对训练 1.如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,E,F分别为面A'B'C'D'与面AA'D'D的中心,则EF与CD所成角的度数是__________. 解析:连接B'D',则E为B'D' 的中点,连接AB',则EF∥AB'. 又CD∥AB,所以∠B'AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B'AB=45°. 45° 2.如图,在正四棱锥P-ABCD中,AB=PA=2,E为PC的中点,求异面直线AP与DE所成角的余弦值. 解:如图,连接AC,BD相交于O,连接OE,则O为AC的中点.又E为PC的中点,所以OE∥AP,所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角. 又△PCD 为等边三角形,且边长为2,故DE=. 又OE=PA=1,OD=BD=, 所以DE2=OE2+OD2,即∠EOD=90°. 所以cos∠DEO===. 故异面直线AP与DE所成角的余弦值为. 题型(二)　证明直线与直线垂直 [例2]　如图,在正三棱柱ABC-A'B'C'中,E为棱AC的中点, AB=BB'=2.求证:BE⊥AC'. 证明:如图,取CC'的中点F,连接EF,BF, ∵E为AC的中点,F为CC'的中点,∴EF∥AC',∴∠BEF即为异面直线BE与AC'所成的角,且EF=AC'.在正三棱柱ABC-A'B'C'中, AB=BB'=2,∴AC'=2, ∴EF=.在等边△ABC中,BE==, 在Rt△BCF中,BF==. 在△BEF中BE2+EF2=BF2, ∴BE⊥EF,故BE⊥AC'. |思|维|建|模| 证明两条直线垂直的策略 (1)对于共面垂直的两条直线的证明,可根据勾股定理证明. (2)对于异面垂直的两条直线的证明,可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明. 3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点, 求证:DB1⊥EF. 针对训练 证明:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O, 取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G. 则OG∥B1D,EF∥A1C1. ∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角. ∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1. ∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF. [例3]　如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=8,M,N分别是BC, AD的中点.若异面直线AB与CD所成的角为60°,求MN的长. 题型(三)　异面直线所成角的综合问题 解:如图所示,取BD的中点E,连接ME,NE.因为M,N分别是BC, AD的中点,所以ME∥CD且ME=CD=4,NE∥AB且NE=AB=4,从而∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角. 又异面直线AB与CD所成的角为60°,所以∠MEN=60°或120°. 当∠MEN=60°时,由余弦定理可知 MN= =4. 当∠MEN=120°时,由余弦定理可知 MN= =4. |思|维|建|模| 当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角,也可能是已知角的补角,应分情况讨论. 针对训练 4.如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角是90°,则AA1的长度是__________. 解析:连接CD1,AC.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,A1D1綉BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥CD1.所以∠AD1C (或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°,所以∠AD1C=90°.因为四棱柱ABCD-A1B1C1D1中, AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC=2sin 60°×2=6.所以AD1=AC=3.所以AA1== =. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与直线AA1垂直的棱有 (　　) A.2条 B.4条 C.6条 D.8条 解析:在正方体AC1中,与AA1垂直的棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1, AB,BC,CD,DA,共8条.故选D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则 (　　) A.m与n异面 B.m与n相交 C.m与n平行 D.m与n平行、相交、异面均有可能 解析:∵m⊥l,n⊥l,∴m与n既可以相交,也可以异面,还可以平行. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线 (　　) A.有无数条 B.有两条 C.至多有两条 D.有一条 解析:如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角,除去两条与l共面的母线,其余都符合要求. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图,在等边△ABC中,D,E,F分别为各边中点,G, H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE, EF,DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的度数为 (　　) A.90° B.60° C.45° D.0° 解析:将三角形折成三棱锥.如图所示,GH与IJ为 异面直线.在三棱锥A-DEF中,IJ∥AD,GH∥DF,所以∠ADF即为所求,因此GH与IJ所成的角为60°. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是A1C1的中点,则异面直线AO与BC1的夹角为 (　　) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析:如图,连接AD1,D1O.因为正方体ABCD-A1B1C1D1中, AB∥C1D1,AB=C1D1,所以四边形ABC1D1是平行四边形. 则AD1∥BC1.所以∠D1AO或其补角是异面直线AO与BC1的夹角.不妨设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则AD1=2, D1O=,AO==.因为A=D1O2+AO2, 即D1O⊥AO,则0°<∠D1AO<90°,所以sin∠D1AO==,即∠D1AO=30°. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论成立的是 (　　) A.EF与BB1垂直 B.EF与BD垂直 C.EF与CD异面 D.EF与A1C1异面 解析:如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1确定一个平面.显然EF与CD异面.因为A1C1⊥AA1,AA1∥BB1,所以A1C1 ⊥BB1.又EF∥A1C1,所以EF⊥BB1.连接B1D1,则A1C1⊥ B1D1.易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD.又知EF∥A1C1, 所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立. √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,所有棱长均为2,点M,N分别为AB,BC的中点,则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. 解析:如图,延长MB到P,使得BP=MB.因为M是AB的中点,则MP=AB.又MP∥A1B1,所以四边形A1B1PM是平行四边形, A1M∥B1P.所以异面直线A1M与B1N所成的角是 ∠PB1N (或其补角).又N是BC的中点,所以BP=BN=1, NP= ==. 因为三棱柱是正三棱柱,所以B1P=B1N==. 故cos∠PB1N===. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图,在直三棱柱ABC-A'B'C'中,AC=BC=AA', ∠ACB=120°,E为BB'的中点,异面直线CE 与C'A所成角的余弦值是 (　　) A.- B. C.- D. 解析:如图所示,直三棱柱ABC-A'B'C'向上方补形为直三棱柱ABC-A″B″C″,其中A',B',C'分别为各棱的中点,取B'B″的中点D',可知CE∥C'D',异面直线CE与C'A所成的角即为C'D'与C'A所成的角.设CB=2,则C'D'=,C'A=2,AD'=, cos∠AC'D'==-, 故异面直线CE与C'A所成角的余弦值为. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,与AD1异面且 与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有_______条. 解析:与AD1异面的面对角线分别为A1C1,B1C,BD, BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90°. 1 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知∠ABC=120°,异面直线MN,PQ.其中MN∥AB,PQ∥BC,则异面直线MN与PQ所成的角为__________. 60° 解析:结合等角定理及异面直线所成角的范围可知,异面直线MN与PQ所成的角为60°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成角的大小是__________. 90° 解析:设BB1=1,如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接B1C2,则B1C2∥BC1,所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角).连接AC2,因为AB1=, B1C2=,AC2=, 所以A=A+B1,则∠AB1C2=90°. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)当动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是__________. 解析:设正方体棱长为1,DP=x,则x∈[0,1],连接AD1,AP(图略). 由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角. 在△AD1P中,AD1=,AP=D1P=,故cos∠AD1P=. 又∵x∈[0,1], ∴cos∠AD1P=∈. 又∠AD1P∈(0,π),∴∠AD1P∈. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°, ∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值. 解:如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC-A1B1D1C1, 连接BD1,A1D1,AD,由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则∠A1BD1或其补角就是异面直线A1B与AC1所成的角. 设AB=a,∵AA1与AC,AB所成的角均为60°,且AB=AC=AA1, ∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos 30°=a. 又∠BAC=90°,∴在矩形ABDC中,AD=a,∴A1D1=a, ∴A1+A1B2=B,∴∠BA1D1=90°. ∴在Rt△BA1D1中,cos∠A1BD1===.故异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2, E,F分别是AB,CD的中点.若EF=. 求证:AD⊥BC. 证明:如图,取BD的中点H,连接EH,FH. 因为E是AB的中点,且AD=2, 所以EH∥AD,EH=1. 同理FH∥BC,FH=1. 所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角. 又因为EF=,所以EH2+FH2=EF2. 所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边. 所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°. 故AD⊥BC. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)如图,已知点P在圆柱OO1的底面☉O上, AA1⊥AB,BP⊥A1P,AB,A1B1分别为☉O,☉O1的直径, 且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2, ∠AOP=120°,回答下列问题: (1)求三棱锥A1-APB的体积;(6分) 解:由题意得V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π,解得AA1=3. 由OA=2,∠AOP=120°,得∠BAP=30°,BP=2,AP=2. ∴S△PAB=×2×2=2. ∴三棱锥A1-APB的体积=S△PAB·AA1=×2×3=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为?若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.(9分) 解:当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.证明如下: ∵O,M分别为AB,AP的中点,∴OM∥BP.∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.∵AA1=3,AB=4,AA1⊥AB,∴A1B=5. 又BP⊥A1P,∴cos∠A1BP==. ∴当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $