6.3.5 平面向量数量积的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

6.3.5 平面向量数量积的坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.掌握平面向量数量积的坐标表示,会进行平面向量数量积的坐标运算. 2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 设a,b是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),a与b的夹角为θ,则有: 项目 坐标表示 数量积 a·b=_____________ 模 |a|=_______________或|a|2=___________ 两点间 距离公式 设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则||=__________________________ 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔_______________ 夹角 cos θ== x1x2+y1y2 + x1x2+y1y2=0 |微|点|助|解| 关于平面向量数量积坐标表示的几个关注点 (1)两向量a与b的数量积是一个实数,不是一个向量,其值可以为正(当a≠0,b≠0, 0°≤θ<90°时),也可以为负(当a≠0,b≠0,90°<θ≤180°时),还可以为0(当a=0或b=0或θ=90°时). (2)公式a·b=|a||b|cos<a,b>与a·b=x1x2+y1y2都是用来求两向量的数量积的,没有本质区别,只是书写形式上的差异,两者可以相互推导. (3)若题目中给出的是两向量的模与夹角,则可直接利用公式a·b=|a||b|cos<a,b>求解;若已知两向量的坐标,则可选用公式a·b=x1x2+y1y2求解. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),满足x1y2-x2y1=0,则向量a,b的夹角为0°. (　　) (2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),a⊥b⇔x1x2-y1y2=0. (　　) (3)若两个向量的数量积的坐标和小于零,则两个向量的夹角一定为钝角. (　　) × × × 2.已知=(3,-4),则||等于(　　) A.3 B.4 C. D.5 解析:||==5. √ 3.若向量a=(4,2),b=(6,m),且a⊥b,则m的值是(　　) A.12 B.3 C.-3 D.-12 解析:∵a⊥b,∴4×6+2m=0,解得m=-12. √ 4.已知向量a=(-4,3),b=(5,12),则a·b= (　　) A.52 B.-3 C.-10 D.16 解析:由已知得a·b=-20+36=16.故选D. 5.已知a=(3,4),b=(5,12),则a与b夹角的余弦值为　　　　.  √ 解析:因为a·b=3×5+4×12=63,|a|==5,|b|==13,所以a与b夹角的余弦值为==. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　向量数量积的坐标表示 [例1]　(1)设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c= (　　) A.12 B.0 C.-3 D.-11 (2)已知矩形ABCD中,||=6,||=4,若点M,N满足=3,=2,则·等于(　　) A.20 B.15 C.9 D.6 解析:∵a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2), ∴a+2b=(-5,6).∴(a+2b)·c=(-5)×3+6×2=-3. √ 解析:因为四边形ABCD为矩形,建立平面直角坐标系, 如图.A(0,0),M(6,3),N(4,4).则=(6,3),=(2,-1), ·=6×2-3×1=9. √ |思|维|建|模| 数量积坐标运算的技巧 (1)进行向量的数量积运算时,通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示,然后直接进行数量积的坐标运算;二是先利用向量的数量积的运算律将原式展开,再依据已知条件计算. (2)在平面几何图形中求数量积,若几何图形规则易建系,一般先建立坐标系,写出相关向量的坐标,再求数量积. 针对训练 1.已知点P(2,4),Q(1,6),向量=(2,λ),若·=0,则实数λ的值为(　　) A.　　　　B.-　　　　C.2　　　　D.1 解析:由P(2,4),Q(1,6)可得=(-1,2),又=(2,λ),所以·=-2+2λ=0,解得λ=1.故选D. √ 2.矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E,F分别为BC,DC的中点,则·=(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 解析:建立如图所示的平面直角坐标系,因为矩形ABCD中, AB=2,AD=4,E,F分别为BC,DC的中点,所以A(0,0),B(2,0), E(2,2),F(1,4),则=(2,2),=(-1,4),所以·=6. √ 题型(二)　向量的模 [例2]　(1)设平面向量a=(1,2),b=(-2,y),若a∥b,则|3a+b|等于 (　　) A. B. C. D. 解析:∵a∥b,∴1×y-2×(-2)=0, 解得y=-4.∴3a+b=(1,2), 则|3a+b|=. √ (2)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC, AD=1,BC=2,P是线段AB上的动点,则|+4|的最小值为(　　) A.3 B.6 C.2 D.4 解析:如图,以B点为坐标原点,建立平面直角坐标系, 设AB=a,BP=x(0≤x≤a),因为AD=1,BC=2,所以P(0,x), C(2,0),D(1,a).所以=(2,-x),=(1,a-x), 4=(4,4a-4x).所以+4=(6,4a-5x). 所以|+4|=≥6.所以当4a-5x=0,即x=a时,|+4|的最小值为6.故选B. √ |思|维|建|模| 求向量a=(x,y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方,即a2=|a|2=x2+y2,求模时,勿忘记开方. (2)a·a=a2=|a|2或|a|==,此性质可用来求向量的模,可以实现实数运算与向量运算的相互转化. 针对训练 3.已知=(1,3),=(3,m),·=2,则||=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.　　　　D.3 解析:因为=-=(2,m-3),则·=2+3(m-3)=2,则m=3,所以=(2,0),则||=2,故选B. √ 4.已知向量a=(cos θ,sin θ),向量b=(,0),则|2a-b|的最大值为_________. 2+ 解析:由题意得2a-b=(2cos θ-,2sin θ), 则|2a-b|= ==, 当且仅当cos θ=-1时,|2a-b|取最大值2+. [例3]　设平面上向量a=(cos α,sin α)(0°≤α≤90°),b=. (1)求a与b的夹角θ. 题型(三)　向量的夹角与垂直 解:由题意知,|a|=1,|b|=1,a·b=-cos α+sin α,则cos θ== =-cos α+sin α=cos(120°-α). 因为0°≤α≤90°,所以30°≤120°-α≤120°. 又0°≤θ≤180°,所以θ=120°-α, 即两向量的夹角为120°-α. (2)求证:a+b与a-b垂直. 解:证明:因为(a+b)·(a-b)=· =+=cos2α-+sin2α- =1--=0, 所以(a+b)⊥(a-b). |思|维|建|模| 利用数量积的坐标运算求两向量夹角的步骤 (1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积. (2)利用|a|=计算出这两个向量的模. (3)由公式cos θ=直接求出cos θ的值. (4)在[0,π]内,由cos θ的值求角θ. 针对训练 5.(2024·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(0,1),b=(2,x),若b⊥(b-4a),则x= (　　) A.-2　　　　B.-1　　　　C.1　　　　D.2 解析:因为b⊥(b-4a),所以b·(b-4a)=0,所以b2-4a·b=0,即4+x2-4x=0,故x=2,故选D. √ 6.如果正方形OABC的边长为1,点D,E分别为AB,BC的中点,那么cos∠DOE的值为___________. 解析:以O为坐标原点,OA,OC所在的直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则由已知条件,可得=, =.故cos∠DOE= ==. 7.已知a=(1,-1),b=(λ,1),若a与b的夹角θ为钝角,则实数λ的取值范围为___________________. (-∞,-1)∪(-1,1) 解析:因为a=(1,-1),b=(λ,1),所以|a|=,|b|=,a·b=λ-1.因为a,b的夹角θ为钝角, 所以即 所以λ<1且λ≠-1. 所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1). 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.向量a,b在正方形网格中的位置如图所示. 若网格中每个小正方形的边长为1,则|a-b|= (　　) A.2 B. C.2 D.3 解析:由题图可知,a=(3,1),b=(1,2), ∴a-b=(2,-1),|a-b|==,故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知向量a=(1,2),b=(m,-1),若a⊥b,则|b|= (　　) A. B.20 C.2 D. 解析:因为a⊥b,所以a·b=m-2=0,解得m=2.所以b=(2,-1).所以|b|==,故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量a=(1,1),b=(1,-1),若(a+λb)⊥(a+μb),则 (　　) A.λ+μ=1 B.λ+μ=-1 C.λμ=1 D.λμ=-1 解析:因为a=(1,1),b=(1,-1),所以a+λb=(1+λ,1-λ),a+μb=(1+μ,1-μ), 因为(a+λb)⊥(a+μb),所以(a+λb)·(a+μb)=0,所以(1+λ)(1+μ)+(1-λ)(1-μ)=0,整理得λμ=-1.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知向量a=(1,-3),b=(x,-1),若 a-b与 b的夹角为锐角,则x的取值范围为 (　　) A.(-2,1) B.(-1,2) C.∪ D.∪ √ 解析:因为a=(1,-3),b=(x,-1),所以a-b=(1-x,-2). 由于向量a-b与b的夹角为锐角,所以(a-b)·b>0,并去掉两者同向共线的情况, 则(1-x)x+2>0,且-2x≠x-1,解得x∈∪, 则x的取值范围为∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知向量a=(3,4),b=(1,0),c=a+tb,若<a,c>=<b,c>,则t= (　　) A.-6　　　　B.-5　　　　C.5　　　　 D.6 解析:由题意,得c=a+tb=(3+t,4),所以a·c=3×(3+t)+4×4=25+3t, b·c=1×(3+t)+0×4=3+t.因为<a,c>=<b,c>,所以cos<a,c>=cos<b,c>,即=,即=3+t,解得t=5,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)已知平面向量a=(1,0),b=(1,2),则下列说法正确的是(　　) A.|a+b|=16 B.(a+b)·a=2 C.cos<a,b>= D.向量a+b在a上的投影向量为2a √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:因为向量a=(1,0),b=(1,2),所以a+b=(1+1,0+2)=(2,2). 所以|a+b|= =4,A错误.a·(a+b)=1×2+0×2=2,B正确. 由向量的夹角公式,可得cos<a,b>==,C错误.向量a+b在a上的投影向量为·=×a=2a,D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在梯形ABCD中,∥,⊥,||=2,||=2||,若点P在线段BC上,则|+3|的最小值是(　　) A.5 B.6 C.7 D.8 解析:如图,以点B为原点,为x轴正方向, 为y轴正方向建立平面直角坐标系. 设||=d,则B(0,0),A(0,2),C(2d,0),D(d,2),设P(p,0),其中0≤p≤2d,所以=(2d-p,0), =(d-p,2), 则+3=(5d-4p,6), 所以|+3|=≥6, 当且仅当5d=4p,即p=时取等号. 所以|+3|的最小值是6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.如图,正方形ABCD的顶点A,D分别在x轴正半轴、 y轴正半轴上移动.若||=a,·≤2,则a的最大值是(　　) A.1 B. C.2 D.3 解析:设∠DAO=α, 所以B(asin α+acos α,acos α),C(asin α,asin α+acos α), 所以·=asin α(asin α+acos α)+acos α(asin α+acos α) =a2(sin α+cos α)2=a2(1+sin 2α)≤2,即a2≤=1, 当且仅当α=时取等号,所以a的最大值是1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知向量a=(-1,1),b=(1,2),则a·(a+2b)=___________. 4 解析:∵a+2b=(1,5),∴a·(a+2b)=4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知平面向量a=(2,4),b=(-1,2),若c=a-(a·b)·b,则|c|等于______. 8 解析:易得a·b=2×(-1)+4×2=6,所以c=(2,4)-6(-1,2)=(8,-8). 所以|c|==8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知向量=(-1,k),=(2,1),若△ABC是直角三角形,则k的取值可能是___________. 2或7 解析:因为=(-1,k),=(2,1),所以=-=(3,1-k). 若A=90°,则·=0,∴-2+k=0,解得k=2;若B=90°, 则·=0,∴-3+k(1-k)=0,无解;若C=90°,则·=0, ∴6+(1-k)=0,解得k=7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知a=(1,2),b=(1,-1). (1)若θ为2a+b与a-b的夹角,求θ的值;(5分) 解:因为a=(1,2),b=(1,-1), 所以2a+b=(3,3),a-b=(0,3). 所以cos θ===. 因为θ∈[0,π],所以θ=. (2)若2a+b与ka-b垂直,求k的值.(5分) 解:ka-b=(k-1,2k+1),依题意(3,3)·(k-1,2k+1)=0,所以3k-3+6k+3=0.所以k=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)在平面直角坐标系中,点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1). (1)求以线段AB,AC为邻边的平行四边形两条对角线的长;(5分) 解:由题设知=(3,5),=(-1,1),则+=(2,6),-=(4,4). 所以|+|=2,|-|=4. 故所求的两条对角线的长分别为2,4. (2)设实数t满足(-t)·=0,求t的值.(5分) 解:由题设知,=(-2,-1),-t=(3+2t,5+t),由(-t)·=0,得(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0.从而5t=-11,所以t=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)在平面直角坐标系中,已知向量=,=, =(其中m∈R),D为坐标平面内一点. (1)若A,B,C三点共线,求m的值;(4分) 解:因为向量=,=,=,所以=-=(2,2), =-=(m-1,4).由A,B,C三点共线知,∥,即2(m-1)-2×4=0,解得m=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若向量与的夹角为,求m的值;(5分) 解:由(1)得cos<,>= ==,解得m=1. (3)若四边形ABCD为矩形,求点D的坐标.(6分) 解:设D(x,y),则=(2,2),=-=(m-3,2),=-=(x-m,y-3).若四边形ABCD为矩形,则⊥,即·=2(m-3)+4=0,解得m=1. 由-=,得 解得x=-1,y=1,故D(-1,1). 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $