6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.掌握数乘向量的坐标运算法则,并会用坐标表示平面向量的数乘运算. 2.能用坐标表示平面向量共线的条件,并会应用向量的共线条件解决问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.平面向量数乘运算的坐标表示 已知a=(x,y),那么λa=_______,即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 2.平面向量共线的坐标表示 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,a,b共线的充要条件是____________. (λx,λy) x1y2-x2y1=0 |微|点|助|解| 正确理解向量平行的条件 (1)a∥b(b≠0)⇔a=λb.这是几何运算,体现了向量a与b的长度及方向之间的关系. (2)a∥b⇔x1y2-x2y1=0,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2).这是代数运算,由于不需引进参数λ,从而简化了代数运算. (3)a∥b⇔=,其中a=(x1,y1),b=(x2,y2),且y1≠0,y2≠0.即两向量的对应坐标成比例.通过这种形式较易记忆向量共线的坐标表示,而且不易出现搭配错误. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)向量(1,2)与向量(4,8)共线. (　　) (2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向. (　　) (3)如果x1y2-x2y1=0,那么向量a=(x1,y1)与向量b=(x2,y2)共线.(　　) √ √ √ 2.若a=(2,1),b=(1,0),则3a+2b的坐标是 (　　) A.(5,3) B.(4,3) C.(8,3) D.(0,-1) √ 3.已知向量a=(-2,4),b=(1,-2),则a与b的关系是(　　) A.不共线 B.相等 C.方向相同 D.方向相反 解析:∵a=-2b,∴a与b方向相反.故选D. 4.已知a=(-3,2),b=(6,y),且a∥b,则y=___________. 解析:∵a∥b,∴=,解得y=-4. √ -4 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　平面向量数乘运算的坐标表示 [例1]　已知a=(-1,2),b=(2,1),求: (1)2a+3b; 解:2a+3b=2(-1,2)+3(2,1)=(-2,4)+(6,3)=(4,7). (2)a-3b; 解:a-3b=(-1,2)-3(2,1)=(-1,2)-(6,3)=(-7,-1). (3)a-b. 解:a-b=(-1,2)-(2,1)=-=. |思|维|建|模| 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标,则直接应用向量数乘的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标,则可先求出向量的坐标,然后再进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行. 针对训练 1.已知点A(2,3),B(1,4),且=-2,则点P的坐标是(　　) A.(0,5) B. C.(3,2) D.(-3,2) 解析:设O为坐标原点,=+=-2=-2(-), 整理得=2-=(2,8)-(2,3)=(0,5).故选A. √ 2.已知向量a=(5,2),b=(-4,-3),若c满足3a-2b+c=0,则c等于 (　　) A.(-23,-12) B.(23,12) C.(7,0) D.(-7,0) 解析:由3a-2b+c=0,得c=-3a+2b=-3(5,2)+2(-4,-3)=(-23,-12). ∴c=(-23,-12). √ 题型(二)　平面向量平行(共线)的判定 [例2]　已知A,B,C三点的坐标分别为(-1,0),(3,-1),(1,2),=,=, 求证:∥. 证明: 设E(x1,y1),F(x2,y2). 由题意知=(2,2),=(-2,3),=(4,-1), ∴==,==. ∴(x1,y1)-(-1,0)=,(x2,y2)-(3,-1)=.∴(x1,y1)=,(x2,y2)=. ∴=(x2,y2)-(x1,y1)=. ∵4×-(-1)×=0,∴∥. |思|维|建|模| 向量共线的判定方法 (1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0(a=(x1,y1),b=(x2,y2))直接判断a与b是否平行. 针对训练 3.已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,5),判断与是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?　 解:因为=(1-(-1),3-(-1))=(2,4), =(2-(-1),5-(-1))=(3,6), 则2×6-3×4=0,所以∥.所以与共线. 又=,所以与的方向相同. [例3]　(1)已知向量a=,b=,c=(-3,3).若非零实数m,n满足∥,则=(　　) A.3 B. C.- D.-3 题型(三)　利用向量共线求参数 解析:由题意可知,na+b=n(1,-1)+(-1,2)=(n-1,-n+2),b-mc=(-1,2)-m(-3,3)=(-1+3m,2-3m).因为(na+b)∥(b-mc),所以(n-1)(2-3m)= (-n+2)(-1+3m),整理得n=3m,即=3. √ (2)在平面直角坐标系中,向量=(1,4),=(2,3),=(x,1), 若A,B,C三点共线,则x的值为(　　) A.2 B.3 C.4 D.5 解析:由A,B,C三点共线,得=λ+μ(λ+μ=1), 即(x,1)=λ(1,4)+μ(2,3)=(λ+2μ,4λ+3μ),则 解得 √ |思|维|建|模| 利用向量共线的条件处理求值问题的思路 (1)利用向量共线定理a=λb(b≠0)列方程组求解. (2)利用向量共线的坐标表示直接求解. [提醒]　当两向量中存在零向量时,无法利用坐标表示求值. 4.已知a=(2,0),b=(2,1). (1)当k为何值时,ka+b与a-2b共线; 针对训练 解:∵a=(2,0),b=(2,1),∴ka+b=(2k+2,1),a-2b=(-2,-2). 又ka+b与a-2b共线, ∴-2(2k+2)-1×(-2)=0,即k=-. (2)若=a+3b,=a-mb,且A,B,C三点共线,求m的值. 解:∵=a+3b=(8,3), =a-mb=(2-2m,-m), 又A,B,C三点共线, ∴-8m-3(2-2m)=0,即m=-3. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.下列各组向量中,共线的是 (　　) A.a=(-1,2),b=(4,2) B.a=(-3,2),b=(6,-4) C.a=,b=(10,5) D.a=(0,-1),b=(3,1) 解析:利用平面向量共线的坐标表示可知,只有B满足题意. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知向量a=(1,2),2a+b=(3,2),则b等于 (　　) A.(1,-2) B.(1,2) C.(5,6) D.(2,0) 解析:法一:(待定系数法)设b=(x,y),则2a+b=2(1,2)+(x,y) =(2+x,4+y)=(3,2),即解得所以b=(1,-2). √ 法二:b=(2a+b)-2a=(3,2)-2(1,2)=(3,2)-(2,4)=(1,-2). 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若a=(2cos α,1),b=(sin α,1),且a∥b,则tan α等于 (　　) A.2 B. C.-2 D.- 解析:由a∥b,得2cos α=sin α,即tan α=2. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在▱ABCD中,=(1,2),=(-3,2),则=(　　) A.(-1,2) B.(-2,4) C.(1,-2) D.(2,-4) 解析:如图,设该平行四边形的对角线的交点为O, =+=+=+=(-1,2), 故选A. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知向量=(7,6),=(-3,m),=(-1,2m),若A,C,D三点共线,则m=(　　) A. B. C.- D.- √ 解析:=+=(4,m+6),因为A,C,D三点共线,所以与共线,所以4×2m=-(m+6),解得m=-.故选D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(多选)已知向量a=(1,-2),b=(-1,2),则下列结论不正确的是 (　　) A.a∥b B.a与b可以作为基底 C.a+b=0 D.b-a与a方向相同 解析:由题意,向量a=(1,-2),b=(-1,2),可得1×2-(-2)×(-1)=0,所以a∥b, 所以A正确,B错误;又由a+b=(1-1,-2+2)=(0,0)=0,所以C正确; 因为b-a=(-2,4),所以b-a=-2a,所以b-a与a方向相反,所以D错误.故选BD. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.某同学因兴趣爱好,自己绘制了一个迷宫图,其图纸如图所示.该同学为让迷宫图更加美观,在绘制过程中,按单位长度给迷宫图标记了刻度,该同学发现图中A,B,C三点恰好共线,则m= ( 　) A.7 B. C. D.82 解析:由题图可知A(3,3),B(5,6),C(m,10),所以=(5-3,6-3)=(2,3), =(m-5,10-6)=(m-5,4).因为A,B,C三点共线,所以∥, 所以3(m-5)=2×4,解得m=. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知点O(0,0),向量=(2,3),=(6,-3),点P为线段AB的三等分点,则点P的坐标为(　　) A. B. C.或 D.或 解析:因为=(2,3),=(6,-3),所以=(4,-6). 又因为点P是线段AB的三等分点,则==或==,所以=+=或. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)在平面直角坐标系中,已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2), =m+n(m,n∈R),则下列说法正确的是(　　) A.若∥,则m+n=0 B.若点P在BC上,则m+n=1 C.若++=0,则m-n=0 D.若与共线,则m+n=-1 √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由题知,=(1,2),=(1,-1),=(2,1),所以=m+n= (m+2n,2m+n).因为∥,所以2m+n+m+2n=0,即m+n=0,A正确; =-=(m+2n-2,2m+n-3),因为点P在BC上,所以∥,所以2m+n-3+m+2n-2=0,即m+n=,B错误; =(1-m-2n,1-2m-n),=(2-m-2n,3-2m-n),=(3-m-2n,2-2m-n), 因为++=0,所以(6-3m-6n,6-6m-3n)=(0,0),即 解得m=n=,所以m-n=0,C正确;=(m+2n-1,2m+n-1),=(1,-1),由与共线,得(m+2n-1)×(-1)-(2m+n-1)=0,整理得m+n=,D错误. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)(2024·上海高考)已知a=(2,5),b=(6,k),a∥b,则k的值为________. 15 解析:因为a∥b,所以2k=5×6,得k=15. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知向量a=(8,-2),b=(m,1),c=(4,2),若a+b=λc,则实数m=______. -10 解析:a+b=(8+m,-1),λc=(4λ,2λ), ∵a+b=λc,∴8+m=-2,m=-10. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)设=,=(-a,2),=(b,0),其中a>0,b>0,O为坐标原点,若A,B,C三点共线,则2a+b=_________,+的最小值为__________. 2 + 解析:由题意,得=(-a+2,-2),=(b+2,-4),由于A,B,C三点共线,故∥, 所以(-a+2)×(-4)-(-2)×(b+2)=0,即2a+b=2.所以+=(2a+b)=≥=+,当且仅当=, 即a=2-,b=2-2时取等号. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知向量a=(2,1),b=(1,1),c=(5,2),m=λb+c(λ为常数). (1)求a+b;(5分) (2)若a与m平行,求实数λ的值.(5分) 解:因为a=(2,1),b=(1,1), 所以a+b=(2,1)+(1,1)=(3,2). 解:因为b=(1,1),c=(5,2), 所以m=λb+c=λ(1,1)+(5,2)=(λ+5,λ+2). 又因为a=(2,1),且a与m平行, 所以2(λ+2)=λ+5,解得λ=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB, AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,M为CE的中点, 用向量的方法证明: (1)DE∥BC;(4分) 证明:如图,以E为原点,AB所在直线为x轴,EC所在直线为y轴建立平面直角坐标系. 令||=1,则||=1,||=2. ∵AD⊥AB,CE⊥AB,AD=DC, ∴四边形AECD为正方形. ∴E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1),A(-1,0). (1)∵=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),=(0,1)-(1,0)=(-1,1), ∴=,∴∥,即DE∥BC. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)D,M,B三点共线.(6分) 证明:连接MB,MD.∵M为CE的中点,∴M, ∴=(-1,1)-=, =(1,0)-=. ∴=-,∴∥. 又与有公共点M,∴D,M,B三点共线. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)设向量a=(λ+2,λ2-cos2α),b=,其中λ,m,α为实数, 若a=2b,求的取值范围. 解:由a=2b,知 ∴∴==2-. ∵cos2α+2sin α=-sin2α+2sin α+1=-(sin α-1)2+2,-1≤sin α≤1, ∴-2≤cos2α+2sin α≤2,∴-2≤λ2-m=(2m-2)2-m≤2,解得≤m≤2. ∴-6≤2-≤1,即-6≤≤1,∴的取值范围为[-6,1]. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $