6.2.4 第2课时 平面向量数量积的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

平面向量数量积的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步掌握数量积的运算,掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式. 2.能运用数量积的运算性质和运算律解决模、垂直、夹角及证明问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　向量的数量积 题型(二)　向量的模 题型(三)　向量的夹角与垂直 4 课时跟踪检测 题型(一)　向量的数量积 01 1.平面向量数量积的运算律 交换律 a·b=______ 结合律 (λa)·b=λ(a·b)=_________ 分配律 (a+b)·c=___________ b·a a·(λb) a·c+b·c 2.常用结论 (1)(a+b) 2=a2+2a·b+b2. (2)(a-b) 2=a2-2a·b+b2. (3)(a+b)·(a-b)=a2-b2. (4)(a+b+c) 2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2c·a. [例1]　正方形ABCD的边长是2,E是AB的中点,则·=(　　) A. 　　B.3 C.2 　　D.5 解析:由题意知,=+=+,=+=-+, 所以·=·=||2-||2=4-1=3,故选B. √ |思|维|建|模| 求向量的数量积时,需明确两个关键点:模和夹角.若相关向量是两个或两个以上向量的线性运算,则需先利用向量数量积的运算律及多项式乘法的相关公式进行化简. 针对训练 1.如图,在△ABC中,AD⊥AB,=,||=2,则·=(　　) A.2 B.4 C.3 D. √ 解析:根据向量的线性运算,结合平面向量数量积的定义可得· =(+)·=·+·,由AD⊥AB,可知·=0. 又因为= ,||=2,所以·=·=||||cos∠ADB =×2×||×=4.故选B. 2.已知向量a+b+c=0,|a|=1,|b|=|c|=2,a·b+b·c+c·a=___________. - 解析:(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)=2(a·b+b·c+c·a)+9 =0⇒a·b+b·c+c·a=-. 题型(二)　向量的模 02 多维理解 [例2]　已知向量a与b的夹角为45°,且|a|=1,|2a+b|=,求|b|. 解:因为|2a+b|=,所以(2a+b)2=10. 所以4a2+4a·b+b2=10. 又因为向量a与b的夹角为45°且|a|=1, 所以4×12+4×1×|b|×+|b|2=10. 整理得|b|2+2|b|-6=0, 解得|b|=或|b|=-3(舍去). |思|维|建|模| 求向量模的一般思路及常用公式 (1)求向量模的常见思路 根据a2=|a|2,求|a|2,再开方计算|a|. (2)常用公式 ①(a-b)·(a+b)=a2-b2=|a|2-|b|2; ②|a±b|2=(a±b)2=a2±2a·b+b2. 针对训练 3.已知向量a,b满足|a+b|=4,|a-b|=2,则|a||b|的最大值是 (　　) A.3　　　　B.4　　　　C.5　　　　D.6 解析:∵|a+b|=4,|a-b|=2,∴|a+b|2+|a-b|2 =2|a|2+2|b|2=20.∴|a|2+|b|2=10. ∵(a-b)2≥0,∴|a|2+|b|2≥2|a||b|. ∴|a||b|≤5.∴|a||b|的最大值为5,故选C. √ 4.已知|a|=2,|b|=3,a与b的夹角为,且a+b+c=0,则|c|=______. 解析:因为a+b+c=0,所以c=-a-b,所以c2=(-a-b)2 =a2+2a·b+b2=22+2×2×3cos+32=4-6+9=7,所以|c|=. 题型(三)　向量的夹角与垂直 03 [例3]　(1)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 解析:设a与b的夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ===.因为0≤θ ≤π,所以a与b的夹角为,故选B. (2)已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量,若向量e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角,则k的取值范围为______________________. (0,1)∪(1,+∞) 解析:因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为锐角, 所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k>0,所以k>0.当k=1时,e1+ke2=ke1+e2,它们的夹角为0,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围为(0,1)∪(1,+∞). [变式拓展] 将本例(2)中的条件“锐角”改为“钝角”,其他条件不变,求k的取值范围. 解:因为e1+ke2与ke1+e2的夹角为钝角, 所以(e1+ke2)·(ke1+e2)=k+k+(k2+1)e1·e2=2k<0,所以k<0. 当k=-1时,e1+ke2与ke1+e2方向相反,它们的夹角为π,不符合题意,舍去. 综上,k的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,0). |思|维|建|模| 1.求向量夹角的方法 (1)求出a·b,|a|,|b|,代入公式cos θ=求解. (2)用同一个量表示a·b,|a|,|b|,代入公式求解. (3)借助向量运算的几何意义,数形结合求夹角. 2.求向量夹角的注意点 要注意夹角θ的范围为[0,π].当cos θ>0时,θ∈;当cos θ<0时, θ∈;当cos θ=0时,θ=. 针对训练 5.已知非零向量a,b满足4|a|=3|b|,a与b夹角的余弦值为,若(xa+b)⊥b,则实数x等于(　　) A.-4　　　　B.-　　　　C.4　　　　D. 解析:由4|a|=3|b|,可设|b|=4t(t>0),则|a|=3t.因为(xa+b)⊥b, 所以(xa+b)·b=xa·b+|b|2=x·3t·4t·+4t·4t=(4x+16)t2=0.又t>0,所以x=-4. √ 6.已知a,b都是非零向量,且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直,求a与b夹角的大小. 解:因为a,b都是非零向量,由a+3b与7a-5b垂直,则(a+3b)·(7a-5b)=0, 即7a2+16a·b-15b2=0.　　① 由a-4b与7a-2b垂直, 则(a-4b)·(7a-2b)=0, 即7a2-30a·b+8b2=0. ② ①-②,得2a·b=b2=|b|2, ③ ③代入①,得|a|=|b|. 设a与b夹角为θ,则cos θ===, 因为θ∈[0,π],所以θ=.所以a与b的夹角为. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知向量a,b为单位向量,且a⊥b,则b·(4a-3b)= (　　) A.-3 B.3 C.-5 D.5 √ 解析:由题意可得,|a|=1,|b|=1,a·b=0,则b·(4a-3b)=4a·b-3b2=-3b2=-3,故选A. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知a,b方向相同,且|a|=2,|b|=4,则|2a+3b|等于 (　　) A.16 B.256 C.8 D.64 √ 解析:法一:∵|2a+3b|2=4a2+9b2+12a·b=16+144+96=256, ∴|2a+3b|=16. 法二:由题意知2a=b,∴|2a+3b|=|4b|=4|b|=16. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.下列命题正确的是 (　　) A.若a·b=a·c,则b=c B.若|a+b|=|a-b|,则a·b=0 C.若a,b为不共线的向量,则(a·b)2=a2·b2 D.若a与b是单位向量,则a·b=1 √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:若a=0,则对任意的b,c,都有a·b=a·c,A错误; 若|a+b|=|a-b|,则|a+b|2=|a-b|2,即a2+2a·b+b2=a2-2a·b+b2,即a·b=0, B正确; 设向量a,b的夹角为α,则(a·b)2=(|a||b|cos α)2=|a|2|b|2cos2α,而a2·b2=|a|2|b|2, 当a,b为不共线的非零向量时,cos2α≠1,所以(a·b)2≠a2·b2,所以该命题是假命题,C错误; 若a与b是单位向量,只有它们同向时,才有a·b=1,否则-1≤a·b<1,D错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.在△ABC中,(+)·=0,则△ABC一定是(　　) A.等边三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.直角三角形 √ 解析:由已知得,(+)·(-)=0,-=0,∴||=||. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.(2024·新课标Ⅱ卷)已知向量a,b满足:|a|=1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b, 则|b|= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.1 √ 解析:因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2=2a·b. 又因为|a|=1,|a+2b|=2, 所以1+4a·b+4b2=1+6b2=4,从而|b|=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.(多选)已知正△ABC的边长为2,设=2a,=b,则下列结论正确的是 (　　) A.|a+b|=1 B.a⊥b C.(4a+b)⊥b D.a·b=-1 √ √ 解析:由题意,知|a|=1,|b|=2,a与b的夹角是120°,故B错误; ∵(a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2=1+2×1×2×+4=3,∴|a+b|=,故A错误; ∵(4a+b)·b=4a·b+b2=4×1×2×cos 120°+4=0,∴(4a+b)⊥b,故C正确; a·b=1×2×cos 120°=-1,故D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知菱形ABCD的边长为2,·=2,则||=(　　) A. B.2 C.1 D.2 √ 解析:根据题意可得=+,=-,∵·=2, 即·(+)=+·=2,∴·=-2, ||2=(-)2=-2·+=12,即||=2,故选B. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)已知向量a,b满足|a+2b|=|a|,|3a+b|=|a-b|,且|a|=2,则下列结论正确的是 (　　) A.|b|=2 B.a+b=0 C.|a-2b|=4 D.a·b=-4 √ √ √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由|a+2b|=|a|, 得a2+4a·b+4b2=a2,整理得a·b+b2=0.①由|3a+b|=|a-b|, 得9a2+6a·b+b2=a2-2a·b+b2,整理得a·b+a2=0.② 由①②及|a|=2,得a2=b2=4,所以|b|=2,a·b=-4,故A、D正确; cos<a,b>===-1,所以<a,b>=π,所以a,b反向共线. 又|a|=|b|=2,所以a+b=0,|a-2b|=3|a|=6,故B正确,C错误. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(多选)已知a,b为平面向量,其中b为单位向量,若非零向量a与b满足a·(a-4b)=-3,则下列结论成立的是 (　　) A.(a-b)⊥(a-3b) B.a与b的夹角的取值范围是 C.|a|的最小值为2 D.|a-b|的最大值为2 √ √ √ 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析: (a-b)·(a-3b)=a2-4a·b+3b2=-3+3=0,故(a-b)⊥(a-3b),A正确;设a与b的夹角为θ,则a·(a-4b)=|a|2-4|a|·|b|cos θ=|a|2-4|a|cos θ=-3,所以4cos θ ==|a|+≥2=2,即cos θ≥,当且仅当|a|=时,等号成立.又因为0≤θ≤π,故0≤θ≤,B正确;a·(a-4b)=|a|2-4|a||b|cos θ=|a|2-4|a|cos θ=-3≥|a|2-4|a|,即|a|2-4|a|+3≤0,解得1≤|a|≤3,故|a|的最小值为1,C错误;由a2-4a·b=-3可得a·b=,|a-b|2=a2-2a·b+b2=|a|2-+1=∈[0,4],即0≤|a-b|≤2,当且仅当|a|=3时,|a-b|取到最大值,最大值为2,D正确. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知单位向量i,j相互垂直,向量a=3i-4j,则|a|=______. 5 解析:因为|a|2=a2=(3i-4j)2=9i2-24i·j+16j2=9+16=25,所以|a|=5. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)在△ABC中,记=m,=n,则·(+)=___________. n2-m2 解析:因为=-= n-m,所以·(+)=(n-m)·(n+m)= n2-m2. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,设向量a,b满足=a, =a+b,则|3a+b|=__________. 解析:法一:=-=a+b-a=b, 则||=|b|=1,|a|=1.又||=|a+b|=1,两边平方,得2a·b=-1.因为|3a+b|2=9+6a·b +1=7,所以|3a+b|=. 16 法二:因为|3a+b|2=|2a+a+b|2=|2+|2 =4+4·+=4+2+1=7, 所以|3a+b|=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)如图,在平行四边形ABCD中,AB=1,AD=2, 点E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD边上的中点, 则·+·=___________. 解析:易知四边形EFGH为平行四边形,连接HF(图略), 取HF的中点为O,则·=·=(-)·(+) =-=1-=,·=·=-=1-=,因此·+·=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知非零向量a,b满足|a|=1,且(a-b)·(a+b)=. (1)求|b|;(4分) 解:因为(a-b)·(a+b)=,即a2-b2=, 即|a|2-|b|2=, 所以|b|2=|a|2-=1-=,故|b|=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当a·b=-时,求向量a与a+2b的夹角θ的值.(6分) 解:因为|a+2a|2=|a|2+4a·b+|2b|2=1-1+1=1,所以|a+2b|=1. 又因为a·(a+2b)=|a|2+2a·b=1-=, 所以cos θ==. 又θ∈[0,π],故θ=. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知向量e1与e2是夹角为的单位向量,且向量a=3e1+4e2, b=2e1+λe2. (1)求|a|;(4分) 解:由题意知,e1·e2=1×1×cos =. 因为a=3e1+4e2, 所以|a|== ==. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若a⊥(a+b),求实数λ的值.(6分) 解:因为向量a=3e1+4e2,b=2e1+λe2, 所以a·b=(3e1+4e2)·(2e1+λe2)=6+(3λ+8)e1·e2+4λ=10+λ. 因为a⊥(a+b),所以a·(a+b)=a2+a·b=37+10+λ=0,解得λ=-. 16 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 16.(15分)已知平行四边形ABCD中,AB=3,BC=6,∠DAB=60°,点E是线段BC的中点. (1)求·的值;(7分) 解:在平行四边形ABCD中,AD=BC=6,AB=3,∠DAB=60°,所以· =||||·cos∠DAB=3×6×=9.因为点E是线段BC的中点,所以=+=+,则·=·=||2+· =9+×9=,故·的值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 (2)若=+λ,且BD⊥AF,求λ的值.(8分) 解:由(1)知·=9,=+, 则=+λ=+,=-.又因为BD⊥AF, 所以·=(-)·=0, 即×||2-||2+·-×·=0,即×62-32+9-×9=0,解得λ=-.故λ的值为-. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $