6.2.2 向量的减法运算-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（人教A版）

6.2.2 向量的减法运算 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.借助实例和平面向量的几何表示,理解相反向量和向量减法的概念. 2.理解平面向量减法的几何意义,掌握向量减法的三角形法则. 3.利用相反向量的概念,理解减法运算是加法运算的逆运算. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.相反向量 定义 与向量a长度______,方向______的向量,叫做a的相反向量,记作-a 性质 -(-a)=______ 零向量的相反向量仍是零向量 a+(-a)=(-a)+a=______ 如果a,b互为相反向量,那么a=______,b=______,a+b=______ 相等 相反 a 0 -b -a 0 |微|点|助|解| 对于相反向量的两点说明 (1)相反向量与相等向量一样,从“长度”和“方向”两方面进行定义,相反向量必为平行向量. (2)避免一个误区:即将相反向量等同于方向相反的向量,而是方向相反且模相等的向量. 2.向量的减法运算及其几何意义 定义 求两个__________的运算叫做向量的减法,a-b=a+(-b),即减去一个向量相当于加上这个向量的_____________ 作法 几何 意义 如果把两个向量a,b的起点放在一起,则a-b可以表示为从向量b的________指向向量a的________的向量 在平面内任取一点O,作=a, =b,则向量a-b=,如图所示 向量差 相反向量 终点 终点 |微|点|助|解| (1)对于向量减法的三点说明 ①向量减法的实质是向量加法的逆运算.利用相反向量的定义,-=,就可以把减法转化为加法. ②两个向量作差的前提是将两个向量移到共同的起点. ③向量减法满足三角形法则,在用三角形法则作向量减法时,要注意“共起点,连终点,指向被减”.解题时要结合图形,准确判断,防止混淆. (2)向量加法和减法几何意义的联系 ①如图,在平行四边形ABCD中,若=a, =b,则=a+b,=a-b. ②类比||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|,可知||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)两个相等向量之差等于0. (　) (2)两个相反向量之差等于0. (　) (3)两个向量的差仍是一个向量. (　) (4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算. (　) √ × √ √ 2.若非零向量m与n是相反向量,则下列结论不正确的是 (　　) A.m=n B.m=-n C.|m|=|n| D.方向相反 √ 3.在平行四边形ABCD中,下列结论错误的是(　　) A.-=0 B.-= C.-= D.+=0 √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　向量减法及其几何意义 [例1]　如图,已知向量a,b,c不共线,求作向量a+b-c. 解:法一:如图①, 在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,则=a+b-c. 法二:如图②,在平面内任取一点O,作=a,=b,则=a+b,再作=c,连接OC,则=a+b-c. 　　[变式拓展] 　若本例条件不变,求作向量a-b-c. 解:如图,在平面内任取一点O, 作=a,=b, 则=a-b. 再作=c,则=a-b-c. |思|维|建|模| 求作两个向量的差向量的两种思路 (1)直接用向量减法的三角形法则,即把两向量的起点重合,则差向量为连接两个向量的终点,指向被减向量的终点的向量. (2)转化为向量的加法来进行运算,如a-b,可以先作-b,然后作a+(-b)即可. 针对训练 1.如图,O为△ABC内一点,=a,=b,=c. 求作向量b+c-a. 解:法一:如图,以,为邻边作▱OBDC, 连接OD,AD, 则=+=b+c, =-=b+c-a. 法二:如图,作==b, 连接AD, 则=-=c-a,=+=c-a+b=b+c-a. 题型(二)　向量的减法运算 [例2]　化简:(1)+--; 解:+--=(-)+(-)=+=. (2)(-)-(-). 解:法一:(统一成加法) (-)-(-)=--+=+++= (+)+(+)=+=0. 法二:(利用减法) (-)-(-)=--+=(-)-+= -+=+=0. |思|维|建|模| 向量减法运算的常用方法 (1)可以通过相反向量,把向量减法的运算转化为加法运算. (2)运用向量减法的三角形法则,此时要注意两个向量要有共同的起点. (3)引入点O,逆用向量减法的三角形法则,将各向量起点统一. 针对训练 2.化简:(1)--++; 解:--++=++++=+=. (2)(++)-(--). 解:(++)-(--)=++-++ =(+)+(-)+(+)=++0=0. 3.如图,已知O为平行四边形ABCD内一点, =a,=b,=c,试用a,b,c表示. 解:法一:=+=a+=a+(-)=a+c-b. 法二:=+++=++(+)=++0 =+(+)=a+(-b+c)=a-b+c. [例3]　已知非零向量a,b满足|a|=+1,|b|=-1,且|a-b|=4,求|a+b|的值. 题型(三)　向量加减法的应用 解:如图所示,设=a,=b,则=a-b.以OA, OB为邻边作平行四边形OACB,则=a+b. 由于(+1)2+(-1)2=42,故||2+||2=.所以△OAB是以∠AOB为直角的直角三角形,从而OA⊥OB.所以▱OACB为矩形.根据矩形的对角线相等有||=||=4,即|a+b|=4. |思|维|建|模| (1)解决向量加减法的应用问题要充分利用平面几何知识,灵活运用平行四边形法则和三角形法则. (2)平行四边形中有关向量的以下结论,在解题中可以直接使用: ①对角线的平方和等于四边的平方和,即|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2);②若|a+b|=|a-b|,则以a,b为邻边的平行四边形为矩形. 针对训练 4.设点M是线段BC的中点,点A在线段BC外,||=4,|+|=|-|, 则||=(　　) A.8　　　　　B.4　　　　　C.2　　　　　D.1 √ 解析:以AB,AC为邻边作平行四边形ACDB,则由向量加、减法的几何意义可知=+,=-. 因为|+|=|-|, 所以||=||. 又四边形ACDB为平行四边形, 所以四边形ACDB为矩形,故AC⊥AB. 则AM为Rt△ABC斜边BC上的中线,因此||=||=2. 5.已知a,b是两个非零向量,且|a|=|b|=|a-b|,求的值. 解:设=a,=b, 则=-=a-b. ∵|a|=|b|=|a-b|, ∴BA=OA=OB.∴△OAB为正三角形. 设其边长为1,则|a-b|=||=1, |a+b|=2×=.∴==. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.化简+---=(　　) A. B. C.0 D. √ 解析:+---=-+--=+-=-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知|a|=2,|b|=4,且a,b不是方向相反的向量,则|a-b|的取值范围是 (　　) A.(2,6) B.[2,6) C.(2,6] D.[2,6] 解析:由已知必有||a|-|b||≤|a-b|<|a|+|b|,则所求的取值范围是[2,6). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.(多选)下面四个式子能化简成的是(　　) A.-- B.-+ C.(-)+ D.(-)+(-) 解析:对于A,--=,点M和A的位置不详,故A不一定正确;对于B,-+=+=,正确; 对于C,(-)+=++=,正确; 对于D,(-)+(-)=+++=+0=,正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在四边形ABCD中,=,若|-|=|-|,则四边形ABCD是 (　　) A.菱形 B.矩形 C.正方形 D.不确定 解析:因为=,所以四边形ABCD是平行四边形. 又因为|-|=|-|,即||=||, 所以平行四边形ABCD是矩形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知=a,=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形,则 (　　) A.a+b+c+d=0 B.a-b+c-d=0 C.a+b-c-d=0 D.a-b-c+d=0 解析:-=,-=,而在平行四边形ABCD中,=,所以-=-.又=a,=b,=c,=d,所以b-a=c-d,即a-b+c-d=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.已知菱形ABCD的边长为2,则|-+|=(　　) A.20　　　　B.4　　　　C.16 　　　　D.12 解析:|-+|=|++|=|+|=2||=4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.在平面上有A,B,C三点,设m=+,n=-,若m与n的长度恰好相等,则有(　　) A.A,B,C三点必在一条直线上 B.△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角 C.△ABC必为直角三角形且∠B为直角 D.△ABC必为等腰直角三角形 √ 解析:以,为邻边作平行四边形,则m=+,n=-=,由m,n的长度相等可知,两对角线相等,因此平行四边形一定是矩形,所以△ABC必为直角三角形且∠B为直角.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知菱形ABCD的边长为2,则||的取值范围是(　　) A.(0,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(0,4) √ 解析:∵=-,又在菱形中,||=||=2, ∴|||-|||<||=|-|<||+||, 即0<||<4,故||的取值范围为(0,4). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(多选)已知△ABC为等腰直角三角形,且∠A=90°,则有 (　　) A.|+|=|-| B.|-|=|-| C.|-|=|-| D.|-|2>|-|2+|-|2 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:由条件可知||=||,且⊥,以,为邻边的平行四边形是正方形,对角线相等,根据向量加、减法则可知|+|=|-|, 故A正确;|-|=||,|-|=||,所以|-|=|-|, 故B正确;|-|=|+|=||,|-|=|+|=||, 所以|-|=|-|,故C正确;=,=, =,由条件可知||2=+,即|-|2=|-|2+|-|2,故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)若a,b为相反向量,且|a|=1,|b|=1,则|a+b|=_____,|a-b|=_____. 0 2 解析:若a,b为相反向量,则a+b=0,所以|a+b|=0.又a=-b,所以|a|=|-b|=1,因为a与-b同向,所以|a-b|=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AC与BD交于O点,则--++=___________. 解析:由题图知--++=-+=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)如图,在△ABC中,若D是边BC的中点,E是边AB上一点,则-+=___________. 解析:-+=++=+.因为+=0,所以-+=0. 0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)若O是△ABC内一点,++=0,证明:O是△ABC的重心. 证明:如图,以,为邻边作▱OBDC, 则=+. 又++=0, ∴+=-,∴=-.又∵两向量有公共点O,∴A,O,D三点共线.设OD与BC的交点为E,则E是BC的中点,∴AE是△ABC中BC边的中线.同理可证另两条边的中线也过点O,故O是△ABC的重心. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,已知正方形ABCD的边长为1,=a,=b,=c. 求:(1)|a+b+c|;(5分) 解:由已知得a+b=+=, ∵=c,∴延长AC到E,使||=||,如图所示. 则a+b+c=,且||=2. ∴|a+b+c|=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)|a-b+c|.(5分) 解:作=,连接CF,BD,则+=. ∵a-b=-=-=, ∴|a-b+c|=|+|=||,且||=2. ∴|a-b+c|=2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $