全册综合检测 B卷——高考能力达标-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学单元复习课件系统整合了导数运算与应用、数列递推与求和、函数极值与零点等核心知识，通过典型例题将导数定义、数列性质、函数单调性等内容串联，构建“概念-方法-应用”的逻辑网络，帮助学生梳理知识内在联系。 其亮点在于采用“基础巩固-能力提升-综合拓展”的分层复习模式，如第4题用导数定义推导切线斜率培养运算能力，第15题通过数列递推关系转化体现模型意识。这种设计让学生逐步掌握数学思维方法，教师可通过多样化题型精准把握学情，有效提升复习效率。

1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.下列求导运算正确的是（　　） A.'= B.（x2-cos x）'=2x+sin x C.（xe）'=（1-x）xe D.（ln 2）'= B卷——高考能力达标 （时间：120分钟　满分：150分） √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 16 17 18 19 解析：对于A，由'=（x-1）'=-x-2=-，所以A错误； 对于B，由（x2-cos x）'=（x2）'-（cos x）'=2x+sin x，所以B正确；对于C，由（xe）'=exe-1，所以C错误； 对于D，由（ln 2）'=0，所以D错误.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 16 17 18 19 2.已知Sn是数列{an}的前n项和，则“{Sn}是递增数列”是“an>0”的 （　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 解析：当{Sn}是递增数列，则Sn>Sn-1（n≥2），则an>0（n≥2），但是a1的符号不确定，故充分性不成立；当an>0时，则Sn>Sn-1（n≥2），故{Sn}是递增数列，即必要性成立.综上，“{Sn}是递增数列”是“an>0”的必要不充分条件.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 3.已知等比数列{an}满足a1=，a3a5=4（a4-1），则a2=（　　） A.2 B.1 C. D. 解析：由题意可得a3a5==4（a4-1）⇒a4=2，所以q3==8⇒q=2，故a2=a1q=，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 4.曲线y=3x2在点（1，3）处的切线的斜率为 （　　） A.3 B.-3 C.6 D.-6 解析：设f（x）=3x2， == =（3Δx+6）=6.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 5.已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a7+2a9+a17=24，则S20= （　　） A.240 B.60 C.180 D.120 解析：因为数列{an}为等差数列，所以a7+2a9+a17=2a12+2a9=24， 所以a12+a9=12，所以S20==10（a1+a20）=10（a12+a9）=120.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 6.已知数列{an}满足=-，a2=，a4=，数列{bn}的前n项和为Sn，若bn=anan+1，则使不等式Sn>成立的n的最小值为（　　） A.11 B.12 C.13 D.14 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：因为+=，由等差中项的概念可知为等差数列， 又a2=，a4=，等差数列的公差d==2，=-d=5-2=3， 所以=3+（n-1）×2=2n+1，代入bn=anan+1得bn= =，Sn=+…+=>，解得n>12，即n的最小值为13.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 √ 7.已知函数f（x）=2x2-4的图象上一点（1，-2）及附近一点（1+Δx， -2+Δy），则=（　　） A.4 B.4x C.4+2Δx D.4+2（Δx）2 解析：因为f（x）=2x2-4，所以f（1）=-2，所以Δy=f（1+Δx）-f（1）=2（1+Δx）2-4+2=2（Δx）2+4Δx，所以==4+2Δx.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 8.已知等比数列{an}的各项均为正数，且2a1+3a2=1，=9a2a6.设bn=log3a1+log3a2+…+log3an，则数列的前n项和Sn=（　　） A.-2n B.- C. D.- √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：设等比数列{an}的公比为q，则q>0，则=9a2a6=9··a3q3 =9q2，所以9q2=1，所以q=，因为2a1+3a2=3a1=1，可得a1=， 所以an=a1qn-1=×=，所以log3an=log3=-n，所以log3an+1-log3an=-（n+1）+n=-1，即数列{log3an}为等差数列，所以bn=log3a1 +log3a2+…+log3an=-1-2-…-n=-，所以=-=-+，因此Sn=-2+-+-…-+=-2=-.故选B. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.已知等比数列{an}，a1=1，q=2，则（　　） A.数列是等比数列 B.数列是递增数列 C.数列{log2an}是等差数列 D.数列{log2an}是递增数列 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：由a1=1，q=2得an=2n-1，=， 所以数列是等比数列且为递减数列，故A正确，B不正确；log2an=n-1，数列{log2an}是递增的等差数列，故C、D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 10.已知函数f（x）=-x2ln x，则 （　　） A.f（x）≤0恒成立 B.f（x）是（0，+∞）上的减函数 C.f（x）在x=时取得极大值 D.f（x）在区间内只有一个零点 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：因为f（x）=-x2ln x，该函数的定义域为（0，+∞）， 所以f'（x）=-2xln x-x=-x（2ln x+1），令f'（x）>0， 可得0<x<，令f'（x）<0，可得x>，所以当0<x<时， 函数f（x）单调递增，当 x>时，函数f（x）单调递减， 所以f（x）极大值=f=-e-1ln =，故B错误，C正确； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 当0<x<1时，ln x<0，此时f（x）=-x2ln x>0，A错误； 由题可知函数f（x）在区间内单调递减， 而f（1）=0，故f（x）在区间内只有一个零点， D正确.故选CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 11.记Sn为数列{an}的前n项和，bn为数列{Sn}的前n项积，已知+=2，n∈N+，则下列说法正确的是（　　） A.数列{bn}是等差数列 B.{an}的通项公式an= C.Sn= D.若c1=1且cn+1=cnSnSn+1，则cn= √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 解析：由bn为数列{Sn}的前n项积，则Sn=（n≥2），又因为+=2，n∈N+，所以+=2⇒+=2⇒2bn=2bn-1+1（n≥2），则bn-bn-1=（n≥2），所以数列{bn}是以为公差的等差数列，所以A正确；令n=1， 得+=2⇒b1=，则bn=b1+（n-1）=+1，则Sn===（n≥2，n∈N+），S1=b1=也符合，所以Sn=（n∈N+），所以C错误； 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 由题意知an=Sn-Sn-1=-=（n≥2，n∈N+），a1=S1=不满足上式，所以an=所以B正确；对于D，若c1=1且cn+1=cnSnSn+1⇒=×=，则=，得===， …，==，累乘得cn=×××…×××c1 =×××…××××1=，所以D正确.故选ABD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上） 12.（5分）若函数f（x）在点A（1，2）处的导数是-1，那么过点A的切线方程是____________.  x+y-3=0 解析：∵切线的斜率为k=-1. ∴过点A（1，2）的切线方程为y-2=-（x-1），即x+y-3=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 13.（5分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且（an+2-2an+1+an）=2an+1 -an+2-an，a4+a15=a10，则S17=_______.  0 解析：因为（an+2-2an+1+an）=2an+1-an+2-an， 化简可得（2an+1-an+2-an）（+1）=0，则2an+1-an+2-an=0， 即2an+1=an+2+an，所以数列{an}为等差数列， 所以a4+a15=a9+a10=a10，所以a9=0， 所以S17==17a9=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 14.（5分）已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1（n∈N+），记数列的前n项和为Tn.若对于任意n∈N+，不等式k>Tn恒成立，则实数k的取值范围为____________.  解析：由题设an+1+1=2（an+1），而a1+1=2， 则{an+1}是首项、公比都为2的等比数列， 所以an+1=2n，则an=2n-1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 所以==-， 则Tn=-+-+…+-=-<在n∈N+上恒成立， 要使不等式k>Tn恒成立，只需k≥， 所以实数k的取值范围为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.（13分）已知数列{an}满足+++…+=. （1）求{an}的通项公式；（6分） 解：令n=1，得a1=1，当n≥2时， 由 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 得=-=， 解得an=， 当n=1时，a1=1也满足上式. 综上，an=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）若bn=4n（3n-1）an，求数列{bn}的前n项和Tn.（7分） 解：由bn=4n（3n-1）an= ==2×， 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn=2× =-8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 16.（15分）已知函数f（x）=（ax+1）ln x+x+3. （1）当a=0时，求证：y=2x+2是曲线f（x）的一条切线；（7分） 解：证明：当a=0时，f（x）=ln x+x+3（x>0）， 则f'（x）=+1，令f'（x）=2，解得x=1，又f（1）=4， 所以曲线f（x）在（1，f（1））处的切线方程为y-4=2（x-1）， 即y=2x+2，所以y=2x+2是曲线f（x）的一条切线. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，求实数a的值.（8分） 解：f'（x）=aln x++1=aln x++a+1（x>0）， 因为曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴， 所以f'（1）=0，即1+a+1=0，解得a=-2，此时f（1）=4， 所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线为y=4，符合题意， 所以a=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 17.（15分）（2025·新课标Ⅰ卷）设数列{an}满足a1=3，=+. （1）证明：{nan}为等差数列；（5分） 解：证明：∵=+-，∴-=-，=⇒ （n+1）an+1-（n+1）=nan-n，∴（n+1）an+1-nan=1，1×a1=3， ∴{nan}是以3为首项，1为公差的等差数列.∴nan=3+（n-1）×1=n+2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）设f（x）=a1x+a2x2+…+amxm，求f'（-2）.（10分） 解：f（x）=a1x+a2x2+a3x3+a4x4+…+amxm， f'（x）=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+…+mamxm-1， xf'（x）=a1x+2a2x2+3a3x3+4a4x4+…+mamxm， （1-x）f'（x）=a1+x+x2+x3+x4+…+xm-1-mamxm =a1+-mam·xm， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 令x=-2，3f'（-2）=3+-（m+2）·（-2）m， f'（-2）=1+-·（-2）m =--·（-2）m =-·（-2）m. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 18.（17分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列. （1）求数列{an}的通项公式；（6分） 解：设等差数列{an}的公差为d，因为S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列，所以+=+=50，整理得8a1+13d=50，=（a1+3d）2=a1a13=a1（a1+12d），整理得3d=2a1， 联立上式解得a1=3，d=2，所以an=2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）设是首项为1，公比为3的等比数列. ①求数列{bn}的前n项和Tn；（5分） ②若不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N+恒成立，求实数λ的最大值.（6分） 解：①因为是首项为1，公比为3的等比数列，所以=1×3n-1=3n-1， 由（1）可得bn=（2n+1）·3n-1，所以Tn=3×30+5×31+…+（2n+1）×3n-1， 3Tn=3×31+5×32+…+（2n+1）×3n，得-2Tn=3+2（31+32+…+3n-1）-（2n+1）×3n=3+2×-（2n+1）×3n=-2n×3n，所以Tn=n×3n. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 ②由（1）得Sn==n2+2n，所以不等式λTn-Sn+2n2≤0对一切n∈N+恒成立，将Sn，Tn代入整理得λn×3n+n2-2n≤0对一切n∈N+恒成立，所以λ≤对一切n∈N+恒成立，令f（n）=（n∈N+），则f（n）min≥λ，因为f（n+1）-f（n）=-=，当1≤n≤2时，f（n+1）-f（n）<0，当n≥3时，f（n+1）-f（n）>0，所以f（1）> f（2）>f（3），f（3）<f（4）<f（5）<…，所以λ≤f（n）min=f（3）=-，即实数λ的最大值是-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 19.（17分）（2025·新课标Ⅱ卷）已知函数f（x）=ln（1+x）-x+x2-kx3，其中0<k<. （1）证明：f（x）在区间（0，+∞）存在唯一的极值点和唯一的零点；（7分） 解：证明：∵f（x）=ln（1+x）-x+x2-kx3，k∈. ∴f'（x）=-1+x-3kx2= =， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 当x>0时，令f'（x）=0，解得x=-1>0，∴当0<x<-1时，f'（x）>0， f（x）单调递增；当x>-1时，f'（x）<0，f（x）单调递减，∴x= -1是f（x）在（0，+∞）上唯一的极值点，且是极大值点.又∵f >f（0）=0，f=ln-<0，∴∃x2∈，f（x2）=0，即x2是f（x）在（0，+∞）上唯一的零点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 （2）设x1，x2分别为f（x）在区间（0，+∞）的极值点和零点. ①设函数g（t）=f（x1+t）-f（x1-t），证明：g（t）在区间（0，x1）单调递减；（5分） ②比较2x1与x2的大小，并证明你的结论.（5分） 解：①证明：∵g（t）=f（x1+t）-f（x1-t），∴g'（t）=f'（x1+t）+ f'（x1-t）=（x1+t-x1）+（x1-t-x1）=3kt=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 ∵t∈（0，x1），∴t2--2x1<0，（1+x1）2-t2>0， ∴g'（t）=<0，即g（t）在t∈（0，x1）上单调递减. ②由①得，g（t）在t∈（0，x1）上单调递减，∴g（x1）<g（0），即f（2x1）-f（0）<f（x1）-f（x1）=0，f（2x1）<0，∵x2是f（x）的零点，∴f（x2）=0，∴f（2x1）<f（x2），又∵x2>x1，2x1>x1，且 f（x）在（x1，+∞）上单调递减，∴2x1>x2. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $