2.7 导数的应用-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的应用，涵盖导数的实际意义、几何与生活中的最优化问题，通过导体电量、包装盒设计等实例导入，搭建从导数定义到实际应用的学习支架。 其亮点在于结合生活与几何案例（如创业利润、轮船燃料费），用数学眼光观察现实问题，通过求导分析单调性培养数学思维，以符号语言表达问题发展数学语言。习题讲评式教学搭配跟踪检测，助力学生巩固，也为教师提供系统教学资源。

§7 导数的应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 课时目标 利用导数的定义，能解析实际问题中导数的意义.利用导数解决生活中的最优化问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型（一）　导数的实际意义 题型（二）　几何中的最值问题 题型（三）　生活中的实际应用问题 4 课时跟踪检测 题型（一）　导数的实际意义 01 [例1]　通过某导体横截面的电量q（单位：C）关于时间t（单位：s）的函数关系式为q（t）=2t3+3t. （1）求当t从1 s变到5 s时，电量q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； 解：当t从1 s变到5 s时，电量q从5 C变到265 C，此时电量q关于时间t的平均变化率为==65（C/s），它表示从1 s到5 s这段时间内，平均每秒通过该导体横截面的电量为65 C. （2）求q'（5），并解释它的实际意义. 解：∵q'（t）=6t2+3， ∴q'（5）=6×52+3=153（C/s）， 它表示在t=5 s时，每秒通过该导体横截面的电量为153 C， 即电流强度为153 C/s. 针对训练 1.线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源A x米，已知点P受两个光源的总光照度I（x）=+，其单位为：勒克斯. （1）当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义? 解：当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为===0.005（勒克斯/米），它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯. （2）求I'（5）并解释它的实际意义. 解：∵I（x）=+，∴I'（x）=8·（-2·x-3）+ =-+.∴I'（5）=-+=-=-0.112（勒克斯/米）. 它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米. 题型（二）　几何中的最值问题 02 [例2]　请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=FB=x（cm）. （1）某广告商要求包装盒的侧面积S（cm2）最大，试问x应取何值? 解：设包装盒的底面边长为a，高为h， 则由题意可得，a=x，h==（30-x）， 其中0<x<30， 所以S=4ah=8x（30-x）=-8（x-15）2+1 800≤1 800， 因此，当x=15时，S取得最大值. （2）某厂商要求包装盒的容积V（cm3）最大，试问x应取何值? 解：根据题意，由（1）有V=×（60-2x）=2x2（30-x）（0<x<30），∴V'=6x（20-x），由V'=0得，x=0（舍）或x=20. 当x∈（0，20）时，V'>0；当x∈（20，30）时，V'<0.所以，函数V=2x2（30-x）在区间（0，20）上单调递增，在区间（20，30） 上单调递减，所以，当x=20时，函数V=2x2（30-x）取得极大值，也是最大值. 针对训练 2.要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则 高为_________cm.  解析：设该漏斗的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积为V=πx（202-x2）=π·（400x-x3）（0<x<20），则V'=π（400-3x2）. 令V'=0，解得x1=，x2=-（舍去）.当0<x<时，V'>0； 当<x<20时，V'<0，所以当x=时，V取得最大值. 3.将一段长为100 cm的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆，问如何截可使正方形与圆面积之和最小? 解：设弯成圆的一段长为x（0<x<100），另一段长为100-x，记正方形与圆的面积之和为S，则S=π+（0<x<100），则S'=-（100-x）.令S'=0，则x=.由于在（0，100）内函数只有一个导数为零的点，问题中面积之和最小值显然存在，故当x= cm时，面积之和最小.故当截得弯成圆的一段长为 cm时，两种图形面积之和最小. 题型（三）　生活中的实际 应用问题 03 [例3]　某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x万件，需另投入流动成本C（x）万元，当年产量小于7万件时，C（x）=x2+ 2x（万元）；当年产量不小于7万件时，C（x）=6x+ln x+-17（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完. （1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本） 解：因为每件产品售价为6元，则x万件商品销售收入为6x万元， 由题意可得，当0<x<7时，P（x）=6x-C（x）-2=6x-x2-2x-2=-x2+ 4x-2；当x≥7时，P（x）=6x-C（x）-2=6x--2= 15-ln x-；所以P（x）= （2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大?最大年利润是多少?（取e3=20）. 解：由（1）可得，当0<x<7，P（x）=-x2+4x-2=-（x-6）2+10≤10， 当且仅当x=6时，等号成立；当x≥7时，P（x）=15-ln x-， 则P'（x）=-+=，所以，当7≤x<e3时，P'（x）>0， 即函数P（x）=15-ln x-单调递增； 当x>e3时， P'（x）<0，即函数P（x）=15-ln x-单调递减； 所以当x=e3时，P（x）=15-ln x-取得最大值P（e3）=15-ln e3-=11； 综上，当x=e3=20时，P（x）取得最大值11万元； 即当年产量为x=e3=20时， 该同学的这一产品所获年利润最大，最大年利润是11万元. 针对训练 4.一艘轮船在航行中每小时的燃料费和它的速度的立方成正比.已知速度为每小时10海里时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问轮船的速度是多少时，航行1海里所需的费用总和最小? 解：设速度为每小时v海里的燃料费是每小时p元，那么由题设的比例关系得p=k·v3，其中k为比例系数，由题知v=10时，p=6，∴k==0.006，则p=0.006v3， 又设当船的速度为每小时v海里时，航行1海里所需的总费用为q元，那么每小时所需的总费用是0.006v3+96（元），而航行1海里所需时间为小时，所以航行1海里的总费用为q=（0.006v3+96）=0.006v2 +.q'=0.012v-=（v3-8 000），令q'=0，解得v=20，因为当v<20时，q'<0，当v>20时，q'>0，所以当v=20时，q取得最小值，即当速度为20海里/小时时，航行1海里所需费用总和最小. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1.某箱子的体积V与底面边长x的关系为V（x）=x2（0<x<60），则当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为（　　） A.30 B.40 C.50 D.55 √ 解析：由题意得V'（x）=-x2+60x=-x（x-40），因为0<x<60，所以当0<x<40时，V'（x）>0，V（x）单调递增；当40<x<60时，V'（x）<0，V（x）单调递减.所以V（40）是V（x）的最大值，即当箱子的体积最大时，箱子的底面边长为40. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 2.现要做一个容积为256 m3的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为 （　　） A.6 m B.8 m C.4 m D.2 m √ 解析：设水箱的底面边长为x m，高为h m， 则有x2h=256，所以h=. 1 5 6 7 8 9 10 2 3 4 设所用材料的面积为S m2，则有S=4x·h+x2=4x·+x2=+x2， 所以S'=2x-，令S'=0，得x=8， 当x∈（0，8）时，S'<0，当x∈（8，+∞）时，S'>0， 即x=8时S取得最小值. 因此当h==4，即高为4 m时，所用材料最省. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 3.张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件.已知原球形工件的半径为R，则张师傅的材料利用率的最大值等于（　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 解析：设圆柱形工件的高为h，底面半径为r，则圆柱形工件的体积为V（h）=πr2h=πh，则V'（h）=π，令V'（h）=0得h=R或-R（舍）.当0<h<R时，V'（h）>0，当h>R时， V'（h）<0，所以当h=R时，圆柱的体积最大，最大值为 π· R·= R3，所以材料利用率为=. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 4.“如意金箍棒”是神话小说《西游记》中孙悟空所使用的兵器，大小可随意变化.假设其变化时形状始终保持为圆柱体，底面半径原为12 cm，且以1 cm/s等速率缩小，而长度以20 cm/s等速率增长.若“如意金箍棒”的底面半径从12 cm缩到4 cm的过程中，底面半径为10 cm时，体积最大，则其体积最小时底面半径为 （　　） A.7 cm B.6 cm C.5 cm D.4 cm √ 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 解析：设“如意金箍棒”变化前的长度为a cm，t s时的体积为V（t），则V（t）=π（12-t）2（a+20t），0≤t≤8.所以V'（t）=[-2（12-t）（a+20t）+20（12-t）2]π.令12-t=10，解得t=2，因为当底面半径为10 cm时，V（t）最大，所以V'（2）=0，得a=60.所以V（t）=20π（12-t）2（3+t），0≤t≤8，V'（t）=60π（t-12）（t-2）.当V'（t）>0，即t∈（0，2）时，V（t）单调递增；当V'（t）<0，即t∈（2，8）时，V（t）单调递减.因为V（0）=8 640π，V（8）=3 520π，所以当t=8时，V（t）有最小值3 520π，此时“如意金箍棒”的底面半径为4 cm. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 5.某厂生产x件产品的总成本为C万元，产品单价为P万元，且满足C= 1 200+x3，P=，则总利润最大时，x=（　　） A.25 B.26 C.24 D.28 √ 解析：总利润L（x）=x·-1 200-x3=-x3+500-1 200（x>0）， 由L'（x）=-x2+=0，得x=25. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 令L'（x）>0，得0<x<25， 令L'（x）<0，得x>25. 所以L（x）在（0，25）上单调递增， 在（25，+∞）上单调递减，故当x=25时，总利润最大. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 6.（5分）做一个无盖的圆柱形水桶，若要使水桶的容积是27π，且用料最省，则水桶的底面半径为________.  3 解析：不妨设该圆柱形水桶的底面半径为r，其高为h， 则由其容积为27π可得27π=πr2×h，即h=， 故该无盖圆柱形水桶的表面积S=πr2+2πrh=πr2+， 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 令y=πr2+（r>0），则y'=， 当0<r<3时，y'<0，此时该函数单调递减， 当r>3时，y'>0，该函数单调递增， 故当r=3时，y=πr2+（r>0）取得最小值，也即该水桶用料最省. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 7.（5分）某银行准备开设一种新的定期存款业务，经预测，存款额与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k>0），贷款的利率为4.8%，假设银行吸收的存款能全部放贷出去.若存款利率为x（x∈（0，4.8%）），则使银行获得最大收益的存款利率为_________.  3.2% 解析：依题意知，存款额是kx2，银行应支付的存款利息是kx3， 银行应获得的贷款利息是0.048kx2， 所以银行的收益是y=0.048kx2-kx3（x∈（0，4.8%））， 故y'=0.096kx-3kx2， 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 令y'=0，解得x=0.032或x=0（舍去）， 当0<x<0.032时，y'>0， 当0.032<x<0.048时，y'<0. 因此，当x=0.032时，y取得极大值，也是最大值， 即当存款利率为3.2%时，银行可获得最大收益. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 8.（5分）某中学开展劳动实习，学习加工制作模具，有 一个模具的毛坯直观图如图所示，是由一个圆柱体与两 个半球对接而成的组合体，其中圆柱体的底面半径为1， 高为2，半球的半径为1.现要在该毛坯的内部挖出一个中 空的圆柱形空间，该中空的圆柱形空间的上下底面与毛坯的圆柱体底面平行，挖出中空的圆柱形空间后模具制作完成，则该模具体积的最小值为________.  1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 解析：设中空圆柱的底面半径为r，圆柱的高为2+h（0<h<2）， 则r2+=1，r2=1-，∴中空圆柱的体积V=πr2（2+h）= π（2+h）.V'=-π，可得当h∈时， V'>0，当h∈时，V'<0，则当h=时，V取得最大值为π， 又毛坯的体积为π×12×2+π×13=，∴该模具体积的最小值为 -π=. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 9.（10分）将一条长为l的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少? 解：设一个正方形的边长为x， 则另一个正方形的边长为-x， ∴两个正方形的面积和S=x2+=2x2-+， 则S'=4x-，∴x=时S'=0， 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 故当0<x<时，S'<0，S单调递减；当<x<时，S'>0，S单调递增； ∴当x=时，S的极小值也是最小值为， 此时另一个正方形的边长也为. 综上，当两段铁丝的长度都为时，它们的面积和最小. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 10.（10分）蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于游牧生活.其结构如图所示，上部分是侧棱长为3的正六棱锥，下部分是高为1的正六棱柱，P，Q分别为正六棱柱上底面与下底面的中心. （1）若OP长为x，把蒙古包的体积V表示为x的函数；（4分） 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 解：正六边形的边长a=（0<x<3）， 底面积S=6×a2×sin 60°=（9-x2）， 于是V=V柱+V锥=（9-x2）+×（9-x2）x=-（x3+3x2-9x-27）， 其中0<x<3. 1 5 6 7 8 9 10 3 4 2 （2）求蒙古包体积的最大值.（6分） 解：∵V（x）=-（x3+3x2-9x-27），0<x<3，∴V'（x）=-（3x2 +6x-9）=-（x2+2x-3）=-（x+3）（x-1），当x∈（0，1）时，V'（x）>0，V（x）单调递增，当x∈（1，3）时，V'（x）<0，V（x）单调递减，所以当x=1时，V（x）max=16.综上，当x=1时，蒙古包体积最大，且最大体积为16. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $