2.7.1-2.7.2 实际问题中导数的意义 实际问题中的最值问题-【名师导航】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册教师用书配套课件（北师大版）

该高中数学课件聚焦导数的应用，涵盖实际问题中导数的意义及最值问题，通过利润最大、用料最省等情境问题导入，衔接导数定义与实际应用，搭建从数学概念到解决实际问题的学习支架。 其亮点在于以数学建模和数学运算素养为核心，通过圆木锯横梁、方底无盖水箱等实例，展示“问题情境→数学语言→导数求解”的建模过程。采用情境导学与合作探究，小结归纳四步优化步骤，助学生提升应用能力，为教师提供结构化教学案例与思路。

第二章　导数及其应用 §7　导数的应用 7.1　实际问题中导数的意义　 7.2　实际问题中的最值问题 学习任务 核心素养 1．体会导数在解决实际问题中的作用．(重点) 2．能利用导数解决简单的实际问题．(难点) 通过导数在解决实际问题中的应用，培养数学建模及数学运算素养． 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为最优化问题．这些问题的求解思路是什么？ 必备知识·情境导学探新知 [提示]　这些问题的求解思路是先建立函数模型，再求其最值，而导数是求函数的最值的有力工具． 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 1．实际问题中导数的意义 自变量x 原函数f (x) 导函数f ′(x) 时间 路程 速度 长度 质量 线密度 时间 功 功率 时间 降雨量 降雨强度 产量 生产成本 边际成本 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 2．解决实际问题的关键在于把“问题情境”译为“数学语言”，找出问题的主要关系，抽象成数学问题，然后用数学方法求解． 3．用导数解决最优化问题的基本思路 上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 思考　用导数求解生活中的优化问题时，应注意哪些问题？ [提示]　(1)在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去． (2)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间． (3)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f ′(x)＝0的情形，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大(小)值． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在利用导数解决生活中的优化问题时，既要考虑变量的数学意义，又要关注其实际意义． (　　) (2)若s＝s(t)是物体的运动方程，则s′(t0)是在t＝t0时刻的瞬时速度． (　　) (3)若s＝s(t)是物体的运动方程，则[s′(t)]′是在t时刻的加速度． (　　) √ √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 √ 2．如图，将直径为d的圆木锯成长方体横梁，横截面为矩形，横梁的强度同它的断面高的平方与宽x的积成正比(强度系数为k，k>0)．要将直径为d的圆木锯成强度最大的横梁，断面的宽x应为(　　) A．　　　　　　　 B． C．d D．d 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 C　[设断面高为h，则h2＝d2－x2．设横梁的强度函数为f (x)，则f (x)＝k·xh2＝k·x(d2－x2)，0<x<d． 令f ′(x)＝k(d2－3x2)＝0，解得x＝d(舍去负值)． 当0<x<d时，f ′(x)>0，f (x)单调递增； 当d<x<d时，f ′(x)<0，f (x)单调递减． 所以函数f (x)在定义域(0，d)内只有一个极大值点x＝d． 所以x＝d时，f (x)有最大值，故选C．] 3．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为________dm时最省材料． 4　[设水箱底面边长为x dm，则高为 dm，用料总面积S＝x2＋4··x＝x2＋(x>0)，S′＝2x－，令S′＝0得x＝8，当0＜x＜8时，S′＜0，当x＞8时，S′＞0， ∴当x＝8时，S取得最小值，则高为4 dm．] 4　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 关键能力·合作探究释疑难 类型1　导数在物理学中的应用 【例1】　如图，让一个木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端．斜面两端的水平距离为d，如何选择斜面和水平面之间的角度x，使木块从上端滑到下端所用的时间最短？ 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [解]　如图，由于木块在前进方向所受的力大小为mg sin x(g是重力加速度)，所以它的加速度大小为a＝g sin x． 由此得到木块的运动方程为s(t)＝gt2sin x． 又木块从上端到下端经过的路程为s＝， 于是＝gt2sin x． 解得t＝． 由题意，要求的是上式右端关于变量x的最小值点，也就是函数f (x)＝sin x cos x＝的最大值点． 令f ′(x)＝cos 2x＝0，解得x＝． 当x∈时，f ′(x)＞0；当x∈时，f ′(x)＜0， 因此，f (x)在x＝处取到极大值，也是最大值． 因此，当斜面和水平面之间的角度x＝时，木块从光滑斜面的上端自由滑落到下端所用的时间最短． 反思领悟　1．函数y＝f (x)在x＝x0处的导数f ′(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率． 2．瞬时速度是运动物体的位移s(t)对于时间的导数，即v(t)＝s′(t)；瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间的导数，即a(t)＝v′(t)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [跟进训练] 1．线段AB长10米，在它的两个端点处各有一个光源，线段AB上的点P距光源A x米，已知点P受两个光源的总光照度I(x)＝，其单位为：勒克斯． (1)当x从5变到8时，求点P处的总光照度关于点P与A的距离x的平均变化率，它代表什么实际意义？ (2)求I′(5)并解释它的实际意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [解]　(1)当x从5变到8时，点P处的总光照度I关于点P与A的距离x的平均变化率为 ＝＝ ＝0.005(勒克斯/米)， 它表示点P与光源A的距离从5米增加到8米的过程中，距离每增加1米，光照度平均增强0.005勒克斯． (2)∵I(x)＝， ∴I′(x)＝8·(－2·x-3)＋＝－． ∴I′(5)＝－＝－ ＝－0.112(勒克斯/米)． 它表示点P与光源A距离5米时，点P受两光源总光照度减弱的速度为0.112勒克斯/米． 类型2　导数在日常生活中的应用 【例2】　【链接教材P86例3】 某机械厂生产一种木材旋切机械，已知生产总利润c元与生产量x台之间的关系式为c(x)＝－2x2＋7 000x＋600． (1)求产量为1 000台的总利润与平均利润； (2)求产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量； (3)求c′(1 000)与c′(1 500)，并说明它们的实际意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [思路点拨]　(1)平均利润指平均每台所得利润； (2)总利润的平均改变量指c(x)的平均变化率； (3)c′(x0)表示产量为x0台时，每多生产一台多获得的利润． [解]　(1)产量为1 000台时的总利润为 c(1 000)＝－2×1 0002＋7 000×1 000＋600＝5 000 600(元)， 平均利润为＝5 000.6(元)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 (2)当产量由1 000台提高到1 500台时，总利润的平均改变量为 ＝＝2 000(元)． (3)∵c′(x)＝(－2x2＋7 000x＋600)′＝－4x＋7 000， ∴c′(1 000)＝－4×1 000＋7 000＝3 000(元)． c′(1 500)＝－4×1 500＋7 000＝1 000(元)． c′(1 000)＝3 000表示当产量为1 000台时，每多生产一台机械可多获利3 000元．c′(1 500)＝1 000表示当产量为1 500台时，每多生产一台机械可多获利1 000元． 【教材原题·P86例3】 建造一幢面积为x(单位：m2)的房屋需要成本y(单位：万元)，y与x的函数关系为y＝f (x)＝＋0.3． (1)当x从100 m2变到120 m2时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率是多少？它代表什么实际意义？(结果精确到0.001万元/m2) (2)求f ′(100)并解释它的实际意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [解]　(1)当x从100 m2变到120 m2时，建筑成本y关于建筑面积x的平均变化率为 ＝＝ ≈0.105(万元/m2)． 它表示在建筑面积从100 m2增加到120 m2的过程中，每增加1 m2的建筑面积，建筑成本平均约增加1 050元． (2)f ′(x)＝． 于是，f ′(100)＝＝0.105(万元/m2)． f ′(100)表示当建筑面积为100 m2时，成本增加的速度为1 050元/m2，也就是说，保持这一增速，当建筑面积为100 m2时，每增加1 m2的建筑面积，成本就要增加1 050元． 反思领悟　实际生活中的一些问题，如在生活和生产及科研中经常遇到的成本问题、用料问题、效率问题和利润等问题，在讨论其改变量时常用导数解决． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [跟进训练] 2．某企业每天生产的产品均能售出，售价为490元/吨，其每天成本C(单位：元)与每天产量q(单位：吨)之间的函数为C(q)＝2 000＋450q＋0.02q2． (1)写出收入函数； (2)写出利润函数； (3)求利润函数的导数，并说明其经济意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [解]　设收入函数为R(q)，利润函数为L(q)． (1)收入函数为：R(q)＝490q． (2)利润函数为：L(q)＝R(q)－C(q)＝490q－(2 000＋450q＋0.02q2)＝－2 000＋40q－0.02q2． (3)利润函数的导数为：L′(q)＝(－2 000＋40q－0.02q2)′＝40－0.04q． 利润函数的导数称为边际利润，其经济意义为：当产量达到q时，再增加单位产量后利润的改变量． 类型3　生活中的优化问题 【例3】　【链接教材P89例5】 某地政府为科技兴市，欲在如图所示的矩形ABCD的非农业用地中规划出一个高科技工业园区(图中阴影部分)，形状为直角梯形QPRE(线段EQ和RP为两个底边)，已知AB＝2 km，BC＝6 km，AE＝BF＝4 km，其中AF是以A为顶点、AD为对称轴的抛物线段．求该高科技工业园区的最大面积． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [解]　以A为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图，则A(0，0)，F (2，4)，由题意可设抛物线段所在抛物线的方程为y＝ax2(a>0)，由4＝a×22，得a＝1，则AF所在抛物线的方程为y＝x2， 又∵E(0，4)，C(2，6)， ∴EC所在直线的方程为y＝x＋4． 设P(x，x2)(0<x<2)，则PQ＝x， QE＝4－x2，PR＝4＋x－x2， ∴工业园区的面积S＝(4－x2＋4＋x－x2)·x＝－x3＋x2＋4x(0<x<2)． ∴S′＝－3x2＋x＋4． 令S′＝0，得x＝或x＝－1(舍去)． ∵x＝∈(0，2)且S有唯一的极值点， ∴Smax＝，即该高科技工业园区的最大面积为 km2． 【教材原题·P89例5】 对于企业来说，生产成本、销售收入和利润之间的关系是个重要的问题．对一家药品生产企业的研究表明，该企业的生产成本y(单位：万元)和生产收入z(单位：万元)都是产量x(单位：t)的函数，分别为 y＝x3－24x2＋225x＋10， z＝180x． (1)试写出该企业获得的生产利润w(单位：万元)与产量x之间的函数关系式； (2)当产量为多少时，该企业可获得最大利润？最大利润为多少？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [解]　(1)因为总利润＝总收入－总成本，即w＝z－y，所以 w＝w(x)＝180x－(x3－24x2＋225x＋10)， 即w＝－x3＋24x2－45x－10(x≥0)． (2)根据导数公式表及导数的运算法则，可得 w′(x)＝－3x2＋48x－45＝－3(x－1)(x－15)． 解方程w′(x)＝0， 得x1＝1，x2＝15． 由图2-25可知，当x≥15时，w′(x)≤0，所以w(x)≤w(15)． 比较x＝0，x＝1和x＝15的函数值w(0)＝－10，w(1)＝－32，w(15)＝1 340可知，函数w＝w(x)在x＝15处取得最大值，此时最大值为1 340．即该企业的产量为15 t时，可获得最大利润，最大利润为1 340万元． 反思领悟　利用导数解决优化问题的一般步骤 (1)抽象出实际问题的数学模型，列出函数关系式y＝f (x)． (2)求函数f (x)的导数f ′(x)，并解方程f ′(x)＝0，即求函数可能的极值点． (3)比较函数f (x)在区间端点的函数值和可能极值点的函数值的大小，得出函数f (x)的最大值或最小值． (4)根据实际问题的意义给出答案． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [跟进训练] 3．某种商品每件的成本为9元，当售价为30元时，每星期可卖出432件．如果降低价格，销售量可以增加，且每星期多卖出的商品件数与商品单价的降低额x(单位：元，0≤x≤21)的平方成正比．已知商品单价降低2元时，每星期可多卖出24件． (1)将一个星期的商品销售利润表示成x的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [解]　(1)设商品降价x元，则多卖的商品数为kx2，若记商品在一个星期里的获利为f (x)，则有f (x)＝(30－x－9)(432＋kx2)＝(21－x)(432＋kx2)， 又由已知条件，24＝k×22，于是有k＝6． 所以f (x)＝－6x3＋126x2－432x＋9 072，x∈[0，21]． (2)根据(1)，f ′(x)＝－18x2＋252x－432＝－18(x－2)(x－12)． 令f ′(x)＝0，即－18(x－2)(x－12)＝0，得x1＝2，x2＝12． 当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化如下表： x 0 (0，2) 2 (2，12) 12 (12，21) 21 f ′(x)   － 0 ＋ 0 －   f (x) 9 072  极小值  极大值  0 因为f (0)＝9 072<f (12)＝11 664，所以x＝12时，f (x)取得最大值， 即当定价为30－12＝18(元)时，能使一个星期的商品销售利润最大． 学习效果·课堂评估夯基础 √ 1．某旅游者爬山的高度h(单位：m)关于时间t(单位：h)的函数关系式是h＝－100t2＋800t，则他在t＝2 h这一时刻的瞬时速度是(　　) A．500 m/h　　　　　　 B．1 000 m/h C．400 m/h　　 D．1 200 m/h C　[∵h′＝－200t＋800，∴当t＝2 h时，h′(2)＝－200×2＋800＝400(m/h)．] 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 √ 2．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(　　) A．13万件　　 B．11万件 C．9万件　　　 D．7万件 C　[y′＝－x2＋81，令y′＝0，解得x＝9(－9舍去)．当0＜x＜9时，y′＞0；当x＞9时，y′＜0，则当x＝9时，y取得最大值，故选C．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 3．将边长为1 m的正三角形薄铁皮，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s＝，则s的最小值是________． 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 　[如图，设DE＝x，则梯形的周长为3－x，梯形的面积为(x＋1)·(1－x)＝(1－x2)． ∴s＝＝·，x∈(0，1)， 设h(x)＝，h′(x)＝． 令h′(x)＝0，得x＝或x＝3(舍)， ∴h(x)最小值＝h＝8，∴s最小值＝×8＝．] 4．(教材P87练习T1(2)改编)某一做直线运动的物体，其位移s(单位：m)与时间t(单位：s)的关系是s＝3t－t2，则s′(0)＝________，它的实际意义是_______________． 3　初速度是3 m/s　[∵s′＝3－2t，∴s′(0)＝3，它表示物体开始运动时的速度，即初速度是3 m/s．] 3　 初速度是3 m/s 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 5．某物体做自由落体运动，其位移s关于时间t的方程为s(t)＝gt2．(其中位移单位：m，时间单位：s，g＝9.8 m/s2) (1)计算当t从2 s变到4 s时位移s关于时间t的平均变化率，并解释它的意义； (2)求当t＝2 s时的瞬时速度，并解释它的意义． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 [解]　(1)当t从2 s变到4 s时，位移s从s(2)变到s(4)，此时，位移s关于时间t的平均变化率为 ＝＝9.8×3 ＝29.4(m/s)． 它表示物体从2 s到4 s这段时间平均每秒下落29.4 m． (2)∵s′(t)＝gt，∴s′(2)＝2g＝19.6(m/s)． 它表示物体在t＝2 s时的速度为19.6 m/s． 1．要理解实际问题中导数的意义，首先要掌握导数的定义，然后依据导数的定义解释它在实际问题中的意义． 2．实际问题中导数的意义 (1)功关于时间的导数是功率． (2)降雨量关于时间的导数是降雨强度． (3)生产成本关于产量的导数是边际成本． (4)路程关于时间的导数是速度，速度关于时间的导数是加速度． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 章末综合测评(一)　动量守恒定律 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 √ 14 15 课时分层作业(十九)　导数的应用 一、选择题 1．质点运动的速度v(单位：m/s)是时间t(单位：s)的函数，且v＝v(t)，则v′(1)表示(　　) A．t＝1 s时的速度　　　 B．t＝1 s时的加速度 C．t＝1 s时的位移　 D．t＝1 s的平均速度 B　[v(t)的导数v′(t)表示t时刻的加速度，故选B．] 45 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 2．要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使体积为最大，则其高应为(　　) A． cm B． cm C．10 cm D．5 cm 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 46 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 A　[设圆锥底面半径为r，高为h，则h2＋r2＝202， ∴r＝ ，∴圆锥体积V＝πr2h＝π(400－h2)h ＝π(400h－h3)，h∈(0，20)，令V′＝π(400－3h2)＝0得h＝， 当0<h＜时，V′＞0； 当<h<20时，V′＜0． ∴h＝时，V最大．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 3．圆的面积S关于半径r的函数是S＝πr2，那么在r＝3时面积的变化率是(　　) A．6　　　 B．9 C．9π　　　 D．6π D　[∵S′＝2πr，∴S′(3)＝2π×3＝6π．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 48 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 4．一个物体的运动方程为s＝1－t＋t2，其中s的单位是m，t的单位是s，那么物体在3 s末的瞬时速度是(　　) A．7 m/s B．6 m/s C．5 m/s D．8 m/s C　[s′(t)＝2t－1，∴s′(3)＝2×3－1＝5．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 49 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 5．某汽车的紧急刹车装置在遇到特别情况时需在2 s内完成刹车，其位移(单位：m)关于时间(单位：s)的函数为s(t)＝－t3－4t2＋20t＋15，则s′(1)的实际意义为(　　) A．汽车刹车后1 s内的位移 B．汽车刹车后1 s内的平均速度 C．汽车刹车后1 s时的瞬时速度 D．汽车刹车后1 s时的位移 C　[由导数的实际意义知，位移关于时间的瞬时变化率为该时刻的瞬时速度．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 50 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 二、填空题 6．正方形的周长y关于边长x的函数是y＝4x，则y′＝________，其实际意义是______________________________________________． 4 边长每增加1个单位长度，周长增加4个单位长度 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 51 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 7．某汽车的路程函数是s＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当t＝2 s时，汽车的加速度是________m/s2． 14　[∵v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，∴a(t)＝v′(t)＝12t－g， ∴a(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．] 14 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 52 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 8．一块正三角形的铁板的三个角上分别剪去三个全等的四边形，然后折成一个正三棱柱，尺寸如图所示．当x为________时，正三棱柱的体积最大，其最大值是________． 　[V(x)＝(a－2x)2x，V′(x)＝(2x－a)(6x－a)， 令V′(x)＝0，得x＝，所以V(x)max＝．] 　 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 53 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 三、解答题 9．商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y＝＋10(x－6)2，其中3<x<6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a的值； (2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 54 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　 (1)因为x＝5时，y＝11，所以＋10＝11，a＝2． (2)由(1)可知，该商品每日的销售量y＝＋10(x－6)2， 所以商场每日销售该商品所获得的利润 f (x)＝(x－3) ＝2＋10(x－3)(x－6)2，3＜x＜6． 从而，f ′(x)＝10[(x－6)2＋2(x－3)(x－6)] ＝30(x－4)(x－6)， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 55 于是，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如表： x (3，4) 4 (4，6) f ′(x) ＋ 0 － f (x) ↗ 极大值42 ↘ 由上表可得，x＝4是函数f (x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点， 所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 10．请你设计一个包装盒．如图所示，四边形ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E，F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 57 (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问：x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问：x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值． [解]　设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)． 由已知得a＝x，h＝＝(30－x)，0＜x＜30． (1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1 800， 所以当x＝15时，S取得最大值． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 (2)V＝a2h＝2(－x3＋30x2)，V′＝6x(20－x)． 由V′＝0得x＝0(舍去)或x＝20． 当x∈(0，20)时，V′＞0；当x∈(20，30)时，V′＜0． 所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值． 此时＝，即包装盒的高与底面边长的比值为． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 √ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 11．张师傅欲将一球形的石材工件削砍加工成一圆柱形的新工件．已知原球形工件的半径为R，则张师傅的材料利用率的最大值等于(　　) A．　　　 B． C．　　　 D． 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 60 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 C　[设圆柱形工件的高为h，底面半径为r， 则圆柱形工件的体积为V(h)＝πr2h＝πh， 则V′(h)＝π， 令V′(h)＝0，得h＝R或h＝－R(舍去)． 当0＜h＜R时，V′(h)＞0， 当h＞R时，V′(h)＜0， 所以当h＝R时，圆柱的体积最大， 最大值为π·R·＝R3， 所以材料利用率为＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 12．某炼油厂分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度(单位：℃)为f (x)＝x3－x2＋8(0≤x≤5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是(　　) A．8　　　 B． C．－1　　　 D．－8 C　[原油温度的瞬时变化率为f ′(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1(0≤x≤5)，所以当x＝1时，原油温度的瞬时变化率取得最小值－1．] 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 63 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 13．(多选题)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层，某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和，则下列结论正确的是(　　) A．k＝40　 B．f (x)＝＋6x(0≤x≤10) C．前5年能源消耗费用之和在增加，后5年能源消耗费用之和在减少 D．当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值 √ √ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 64 ABD　[由题设，每年能源消耗费用为C(x)＝，再由C(0)＝8得，k＝40， 因此C(x)＝，而建造费用为C1(x)＝6x． 最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x)＝20C(x)＋C1(x)＝20×＋6x＝＋6x(0≤x≤10)． f ′(x)＝6－， 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 令f ′(x)＝0，即＝6， 解得x＝5或x＝－(舍去)． 当0<x<5时，f ′(x)<0，当5<x<10时，f ′(x)>0， 故x＝5是f (x)的最小值点，对应的最小值为f (5)＝6×5＋＝70． 当隔热层修建5 cm厚时，总费用达到最小值70万元．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 14．某产品的销售收入y1(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y1＝17x2(x＞0)，生产成本y2(单位：万元)是产量x(单位：千台)的函数：y2＝2x3－x2(x＞0)，为使利润最大，应生产________千台，最大利润是________万元． 6 216 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 67 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 6　216　[设利润为y，则y＝y1－y2＝17x2－(2x3－x2)＝－2x3＋18x2(x＞0)， ∴y′＝－6x2＋36x＝－6x(x－6)． 令y′＝0，解得x＝0(舍去)或x＝6， 经检验知x＝6既是函数的极大值点又是函数的最大值点． ∴最大利润是216万元．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 15．如图，有一矩形钢板ABCD缺损了一角(图中阴影部分)，边缘线OM上每一点到点D的距离都等于它到边AB的距离．工人师傅要将缺损的一角切割下来，使剩余部分成一个五边形，若AB＝1米，AD＝0.5米，问如何画切割线EF可使剩余部分五边形ABCEF的面积最大？ 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 69 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 [解]　由题设知，边缘线OM是以点D为焦点，以直线AB为准线的抛物线的一部分．以O点为原点，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则D，M， 所以边缘线OM所在抛物线的方程为 y＝x2． 要使五边形ABCEF的面积最大， 课时分层作业 学习效果 关键能力 必备知识 7.1　实际问题中导数的意义　7.2　实际问题中的最值问题 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 则必有EF所在直线与抛物线相切，设切点为P(t，t2)，则直线EF的方程为y＝2t(x－t)＋t2，即y＝2tx－t2， 由此可求得点E，F的坐标分别为，(0，－t2)， 所以S△DEF＝＝，t∈， 设f (t)＝，t∈， 则f ′(t)＝＝＝， 显然，函数f (t)在上单调递减，在上单调递增， 所以当t＝时，S△DEF取得最小值，相应地，五边形ABCEF的面积最大． 此时，点E，F的坐标分别为，即沿直线EF画线段切割，可使五边形ABCEF的面积最大． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 $