1.2.1 第1课时 等差数列的概念及其通项公式-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

等差数列 §2 等差数列的概念及其通项公式 2.1 等差数列的概念及其通项公式 [教学方式：基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.通过生活中的实例，理解等差数列的概念，等差数列通项公式的意义. 2.掌握等差数列的通项公式，并能运用通项公式解决一些简单的问题. 3.体会等差数列与一元一次函数的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　等差数列的概念 逐点清(二)　等差数列的通项公式 逐点清(三)　等差数列的应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　等差数列的概念 01 （1）概念：对于一个数列，如果从第2项起，每一项与它的前一项的_______都是________常数，那么称这样的数列为等差数列，称这个常数为等差数列的_______，通常用字母______表示. （2）递推公式：an+1-an=d（d为常数）. 多维理解 差 同一个 公差 d |微|点|助|解| （1）作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； （2）作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； （3）等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2-a1=a3-a2=…=an-an-1=…=d，其中d是与n无关的常数； （4）公差d的取值范围：可正、可负、也可为0（常数列是公差为0的等差数列），它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为（-∞，+∞）. 1.下列说法正确的是 （　　） A.若a-b=b-c，则a，b，c成等差数列 B.若an+1-an=n（n∈N+），则{an}是等差数列 C.等差数列是相邻的后项与前项之差等于非零常数的数列 D.等差数列的公差是该数列中任意相邻两项的差 √ 微点练明 解析：对于A，由a-b=b-c，可得b-a=c-b，因此a，b，c成等差数列，故A正确； 对于B，n不是固定常数，因此该数列不是等差数列，故B不正确； 对于C，公差d可以等于0，故C不正确； 对于D，d=an-an-1（n≥2，n∈N+），而an-1-an=-d（n≥2，n∈N+），但-d不是等差数列的公差，故D不正确. 2.[多选]下列数列是递增的等差数列的是 （　　） A.7，13，19，25，31 B.1，1，2，3，…，n C.9，9，9，9，… D.数列{an}满足an+1-an=3 √ √ 解析：因为13-7=19-13=25-19=31-25=6>0，所以A中数列是公差为6的递增等差数列.因为1-1=0≠2-1，所以B中数列不是等差数列.因为9-9= 9-9=…=0，所以C中数列是公差为0的等差数列，但不是递增数列.因为an+1-an=3>0，所以D中数列{an}是公差为3的递增等差数列. 3.判断下列数列是否为等差数列： （1）an=3n-1； 解：当n≥2时，an-an-1=3n-1-（3n-4）=3， 所以该数列是等差数列. （2）an= 解：由通项公式an= 知a1=1，a2=1，a3=2，a2-a1≠a3-a2， 所以该数列不是等差数列. 逐点清(二)　等差数列的通项 公式 02 若首项是a1，公差是d，则等差数列{an}的通项公式为an=____________. 多维理解 a1+（n-1）d |微|点|助|解|  （1）等差数列通项公式与一次函数的关系： 由等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d可得an=dn+（a1-d），如果设p=d，q=a1-d，那么an=pn+q，其中p，q是常数.当p≠0时，an是关于n的一次函数；当p=0时，an=q，等差数列为常数列. （2）等差数列通项公式中的四个参数及其关系： 等差数列的通项公式an=a1+（n-1）d 四个参数 a1，d，n，an “知三求一” 知a1，d，n求an 知a1，d，an求n 知a1，n，an求d 知d，n，an求a1 1.已知等差数列{an}的通项公式an=3-4n，则等差数列{an}的公差d= （　　） A.-4 B.-1 C.3 D.4 √ 微点练明 解析：因为等差数列{an}的通项公式an=3-4n， 所以a1=-1，a2=-5， 则公差d=a2-a1=-5-（-1）=-4.故选A. 2.已知等差数列{an}中，a5=7，公差d=4，则479是数列的第 （　　） A.123项 B.97项 C.85项 D.187项 √ 解析：因为等差数列{an}中，a5=7，公差d=4， 所以a5=a1+4d=a1+4×4=7，则a1=-9， 所以an=a1+（n-1）d=-9+（n-1）×4=4n-13，令4n-13=479，解得n=123.故选A. 3.在等差数列{an}中， （1）已知a1=3，d=2，n=6，求an； 解：因为数列{an}为等差数列， a1=3，d=2，n=6， 所以an=a1+（n-1）d=3+（n-1）×2=2n+1. 所以a6=2×6+1=13. （2）已知a1=1，d=2，an=15，求n； 解：因为数列{an}为等差数列，a1=1，d=2，an=15， 所以15=1+（n-1）×2， 解得n=8. （3）已知a1=，n=5，an=8，求d； 解：因为数列{an}为等差数列， a1=，n=5，an=8，所以a5=+（5-1）d=8， 解得d=. （4）已知d=-，n=12，an=-8，求a1. 解：因为数列{an}为等差数列， d=-，n=12，an=-8， 所以a12=a1+（12-1）×=-8， 解得a1=. 逐点清(三)　等差数列的应用 03 [典例]　（1）在等差数列{an}中，首项a1=1，从第10项起开始比2大，求公差d的取值范围. 解：由an=1+（n-1）d， 所以即所以<d≤. （2）在等差数列{an}中，首项a1=1，公差d≠0，若7ak=a1+a2+…+a7，求k的值. 解：因为a1+a2+…+a7=7a1+21d=7+21d， 而ak=1+（k-1）d，所以7ak=7+7（k-1）d. 所以7+7（k-1）d=7+21d，即k=4. 　|思|维|建|模| 等差数列通项公式应用中的两种思想方法 （1）利用等差数列的通项公式求出首项a1及公差d，从而可求数列的其他项，注意方程的思想. （2）利用等差数列的通项公式求出首项a1和公差d的关系式，从而可求指定的几项和，注意整体代入的思想. 1.数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N+）的等差数列，若81是该数列中的一项，则公差不可能是 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 针对训练 √ 解析：∵数列{an}是首项为1，公差为d（d∈N+）的等差数列，∴an=1+（n-1）d.∵81是该数列中的一项，∴81=1+（n-1）d，∴n=+1.∵d，n∈N+，∴d是80的因数，故d不可能是3，故选B. 2.在等差数列{an}中，a1+a5=8，a4=7. （1）求数列的第10项； 解：设数列{an}的公差为d， 则解得 则a10=a1+9d=-2+27=25. （2）112是数列{an}的第几项？ 解：由（1）知an=-2+（n-1）×3=3n-5，由112=3n-5，解得n=39. 所以112是数列{an}的第39项. （3）80到110之间有多少项？ 解：由80<3n-5<110， 解得28<n<38， 所以n的取值为29，30，…，38，共10项. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]下列数列中，是等差数列的是 （　　） A.1，4，7，10 B.lg 2，lg 4，lg 8，lg 16 C.25，24，23，22 D.10，8，6，4，2 √ √ √ 解析：A、B、D项满足等差数列的定义，是等差数列；C中， 因为24-25≠23-24≠22-23，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知等差数列{an}中，a2=6，a4=2，则公差d= （　　） A.-2 B.2 C.3 D.-4 √ 解析：由题意得a4=a2+2d，即6+2d=2，解得d=-2.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知等差数列{an}中，a6=-24 ，a30=-48 ，则首项a1与公差d分别为 （　　） A.-18，-2 B.-18，-1 C.-19，-2 D.-19，-1 √ 解析：依题意得解得故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知数列{an}中，a1=5，an+1=an+3，那么这个数列的通项公式an= （　　） A.3n-1 B.3n+2 C.3n-2 D.3n+1 √ 解析：因为an+1-an=3，所以数列{an}是以5为首项，3为公差的等差数列， 所以an=5+3（n-1）=3n+2，n∈N+. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知等差数列{an}满足4a3=3a2，则{an}中一定为零的项是 （　　） A.a6 B.a4 C.a10 D.a12 √ 解析：由4a3=3a2得4（a1+2d）=3（a1+d），即a1=-5d，所以an=a1+（n-1）d=-5d+（n-1）d=（n-6）d，所以a6=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.在一个首项为23，公差为整数的等差数列中，前6项均为正数，从第7项起为负数，则公差为 （　　） A.-2 B.-3 C.-4 D.-5 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设该等差数列为{an}，公差为d（d∈Z），则a1=23，an=23+（n-1）d， 由题意可知即 解得-<d<-.因为d是整数，所以d=-4. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.用火柴棒按如图的方法搭三角形，按图示的规律搭下去，则第100个图形所用火柴棒数为 （　　） A.199 B.201 C.203 D.205 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题图可以看出，第一个图中用了三根火柴棒，从第二个图开始每一个图中所用的火柴棒数都比前一个图中所用的火柴棒数多两根，设第n个图形所需要的火柴棒数为an，则an=3+2（n-1）=2n+1，则第100个图形所用火柴棒数为2×100+1=201. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知递增数列{an}是等差数列，若a4=8，3（a2+a6）=a2a6，则a2 026= （　　） A.2 026 B.2 025 C.4 052 D.4 050 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：设数列{an}的公差为d（d>0）， 因为a4=8，3（a2+a6）=a2a6， 则 解得所以a2 026=2+2×（2 026-1）=4 052. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.将数列1，3，6，8中的某两项分别减1、加1后（另两项不变），得等差数列{an}的前四项，则数列{an}的通项公式为 （　　） A.an=2n B.an=2n-2 C.an=3n-2 D.an=3n-3 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：记减1的项为a，加1的项为b，因为1+8=3+6，可知变化的两项为1，8或3，6，若a=1，b=8，可得0，3，6，9，为等差数列，此时首项为0，公差为3，所以an=0+3（n-1）=3n-3；若a=8，b=1，可得2，3，6，7，不为等差数列；若a=3，b=6，可得1，2，7，8，不为等差数列；若a=6，b=3，可得1，4，5，8，不为等差数列.综上所述，数列{an}的通项公式为an=3n-3.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.[多选]设{an}是等差数列，下列结论不正确的是 （　　） A.若a1+a2>0，则a2+a3>0 B.若a1+a3<0，则a1+a2<0 C.若0<a1<a2，则a2> D.若a1<0，则（a2-a1）（a2-a3）>0 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：若a1=2，a2=-1，a3=-4，则a1+a2>0，而a2+a3<0，故A、B错误； 对于C，设{an}的公差为d，则d>0，故an>0，由于-a1a3=（a1+d）2-a1（a1+2d）=+2a1d+d2--2a1d=d2>0，故>a1a3，即a2>， C正确；若a1=-1，a2=0，a3=1，则a2-a1=1>0，a2-a3=-1<0， 则（a2-a1）（a2-a3）<0，故D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）已知{an}为等差数列，且a7-2a4=-1，a3=0，则公差d=________.  - 解析：根据题意得a7-2a4=a1+6d-2（a1+3d）=-a1=-1， ∴a1=1. 又a3=a1+2d=1+2d=0， ∴d=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（5分）已知数列{log2（an-1）}（n∈N+）为等差数列，且a1=3，a3=9，则数列{an}的通项公式为__________.  an=2n+1 解析：设等差数列{log2（an-1）}的公差为d，由a1=3，a3=9， 得log2（a3-1）= log2（a1-1）+2d，解得d=1， 所以log2（an-1）=1+（n-1）×1=n，即an=2n+1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（5分）已知数列{an}中，a1=1，a2=4，a3=9，且{an+1-an}是等差数列，则a6等于__________.  36 解析：因为a2-a1=3，a3-a2=5，所以（a3-a2）-（a2-a1）=2， 又{an+1-an}是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以an+1-an=3+2（n-1）=2n+1，所以a6=（a6-a5）+（a5-a4）+…+（a2-a1）+a1=2×（5+4+3+2+1）+5+1=36. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（10分）已知等差数列{an}：3，7，11，15，…. （1）求{an}的通项公式；（3分） 解：设数列{an}的公差为d. 依题意，有a1=3，d=7-3=4， ∴an=3+4（n-1）=4n-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）135，4m+19（m∈N+）是数列{an}中的项吗？请说明理由.（3分） 解：令4n-1=135，得n=34， ∴135是数列{an}的第34项. ∵4m+19=4（m+5）-1，且m∈N+， ∴4m+19是数列{an}的第m+5项. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （3）若am，at（m，t∈N+）是数列{an}中的项，那么2am+3at是数列{an}中的项吗？请说明理由.（4分） 解：∵am，at是数列{an}中的项， ∴am=4m-1，at=4t-1， ∴2am+3at=2（4m-1）+3（4t-1）=4（2m+3t-1）-1. ∵2m+3t-1∈N+， ∴2am+3at是数列{an}的第2m+3t-1项. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $