1.1.2 数列的函数特性-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册配套课件PPT（北师大版）

1.2 数列的函数特性 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.理解数列可视作定义在正整数集（或其子集）上的函数概念，会画数列的图象. 2.会利用数列的图象、通项公式判断数列的增减性，会求数列的最大、最小项. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.数列的图象 可以把一个数列视作定义在_________（或其子集）上的函数，因此可以用图象（平面直角坐标系内的一串点）来表示数列，图象中每个点的坐标为（n，an），n=1，2，3，…这个图象也称为数列的图象. 正整数集 2.数列的增减性 递增数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都大于它的前一项，即_________，那么这个数列叫作______数列 递减数列 一个数列{an}，如果从第2项起，每一项都小于它的前一项，即_________，那么这个数列叫作______数列 常数列 如果数列{an}的各项都相等，那么这个数列叫作_______ >an 递增 <an 递减 常数列 1.判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）一个数列，如果它不是递增数列，就是递减数列. （　　） （2）数列是特殊的函数，因此其图象是连续不断的曲线.（　　） （3）可以用判断函数单调性的方法判断数列的单调性. （　　） 基础落实训练 × × √ 2.已知数列{an}满足-an-3=0，则数列{an}是（　　） A.递增数列　　　　　　　 B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 解析：由条件得-an=3>0，可知>an， 所以数列{an}是递增数列. √ 3.[多选]下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是 （　　） 1，，，，…，，… sinπ，sinπ，sinπ，…，sinπ，… C.-1，-，-，-，…，-，… D.1，，，…，，… √ √ 4.已知数列{an}满足an=-n2+10n+11，则数列{an}的最大项为 （　　） A.5 B.11 C.10或11 D.36 √ 解析：∵an=-n2+10n+11=-（n-5）2+36，∴当n=5时，an取得最大值36. 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型（一）　判断数列的增减性 [例1]　写出数列1，，，，…的一个通项公式，并判断它的增减性. 解：数列可写成，，，，…，所以数列的一个通项公式为an=， 由an+1-an=-= =<0，所以an+1<an，所以{an}是递减数列. 　　|思|维|建|模|　解决数列的增减性问题的方法 作差法 根据an+1-an的符号判断数列{an}是递增数列、递减数列或是常数列 作商法 根据（an>0或an<0）与1的大小关系进行判断 图象法 数列的图象可直观地反映数列各项的变化趋势，从而可判断数列的增减性 √ 1.[多选]下列数列{an}（n∈N+）是递增数列的为（　　） A.an=　　　　　　　 B.an=n2+n C.an=1-2n D.an=2n+1 √ 针对训练 解析：对于A，因为an+1-an=-=-<0，所以是递减数列； 对于B，因为an+1-an=[（n+1）2+n+1]-（n2+n）=2n+2>0，所以是递增数列； 对于C，因为an+1-an=[1-2（n+1）]-（1-2n）=-2<0，所以是递减数列； 对于D，因为an+1-an=（2n+1+1）-（2n+1）=2n>0，所以是递增数列.故选BD. 2.已知数列{an}的通项公式为an=，画出它的图象，并判断增减性. 解：图象如图所示，该数列在{1，2，3，4}上是递减的，在{5，6，…}上也是递减的. 题型(二)　数列增减性的应用 [例2]　已知函数f（x）=若数列{an}满足an=f（n）（n∈N+）且{an}是递增数列，则实数a的取值范围是（　　） A. B. C.（2，3） D.[2，3） √ 解析：由函数f（x）=数列{f（n）}是递增数列，得则解得2<a<3，所以实数a的取值范围是（2，3）. |思|维|建|模| 　　解决根据数列的增减性确定变量的取值范围问题，常利用以下等价关系： 数列{an}递增⇔an+1>an（n∈N+）； 数列{an}递减⇔an+1<an（n∈N+）. 转化为不等式成立（恒成立），通过分离变量转化为代数式的最值来解决；或由数列的函数特征，通过构造有关变量的不等关系，解不等式（组）来确定变量的取值范围. 3.已知数列是递减数列，则λ的取值范围为（　　） A.（0，+∞）　　　　　　　 B.（1，+∞） C.[1，+∞） D.[0，+∞） √ 解析：由数列是递减数列，故>，即2n+2λ>n+1+λ， λ>1-n，且n∈N+，故λ>0. 针对训练 4.数列{an}的通项公式为an=n·3n+（2n+1）λ，若为递增数列，则λ的取值范围为（　　） A. B. C.（0，+∞） D.[0，+∞） √ 解析：因为{an}为递增数列，所以an+1>an，所以（n+1）·3n+1+（2n+3）λ>n·3n+（2n+1）λ，化简可得λ>-.令bn=-， 因为y=2x+3，y=3x在（0，+∞）上单调递增，且恒大于0，则f（x）= -在（0，+∞）上单调递减，所以数列{bn}是递减数列， 因为n∈N+，所以当n=1时，=-，所以λ>-. 题型(三)　数列中的最大、最小项 [例3]　已知数列{an}的通项公式是an=（n+1）·，n∈N+.试问该数列有没有最大项？若有，求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由. 解：法一　an+1-an=（n+2）-（n+1）·=， 当n<9时，an+1-an>0，即an+1>an；当n=9时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>9时，an+1-an<0，即an+1<an.则a1<a2<a3<…<a9=a10，且a10>a11>a12>…，故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9=a10=10×. 法二　根据题意，令 即 解得9≤n≤10.又n∈N+，则n=9或n=10.故数列{an}有最大项，为第9项和第10项，且a9=a10=10×. 　[变式拓展] 　若本例通项公式“an=（n+1）”变为“an=”如何求解. 解：有最大项.a1=，a2==1，a3==，a4==1，a5==，…. ∵当n≥3时，=×==<1， ∴an+1<an，即n≥3时，{an}是递减数列.又∵a1<a2<a3，∴an≤a3=. ∴当n=3时，a3=为这个数列的最大项. 　|思|维|建|模| 求数列最大、最小项的方法 （1）函数的单调性法：令an=f（n），通过研究f（n）的单调性来研究最大（小）项. （2）不等式组法：先假设有最大（小）项.不妨设an最大，则满足（n≥2），解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；设an最小，则满足（n≥2），解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值. 针对训练 5.已知数列{an}的通项公式为an=若a7是{an}中唯一的最小项，则实数a的取值范围是（　　） A.（14，16）　 B.（15，16） C.[15，16）　 D.（14，16] √ 解析：当n≤5时，an=，令an+1-an<0，得-= <0，解得n≤2或n≥4，因此可知a1>a2>a3，a4>a5. 又当n=1，2，3时，an<0，当n=4，5时，an>0，所以{an}在n=3时取最小值a3=-7.当n≥6时，an=n2-（a-1）n，该代数式对应函数图象的对称轴为直线n=，因为a7是{an}中唯一的最小项，所以<<，且a7=8-a<-7，解得14<a<16，且a>15，即15<a<16. 课时跟踪检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若数列{an}满足an=3n，则数列{an}是 （　　） A.递增数列 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列 √ 解析：an+1-an=3n+1-3n=2×3n>0， ∴an+1>an，即{an}是递增数列. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知数列an=-n2+4n+2，则该数列中最大项的序号是 （　　） A.2 B.3 C.4 D.5 √ 解析：因为an=-（n-2）2+6，n∈N+，所以当n=2时，an取得最大值. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知数列{an}是递增数列，且通项公式为an=n2+λn，则实数λ的取值范围是 （　　） A. B.[0，+∞） C.[-2，+∞） D.（-3，+∞） √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：法一　由{an}是递增数列且an=n2+λn， 得an+1-an=（n+1）2+λ（n+1）-（n2+λn）=2n+1+λ>0对n∈N+恒成立，所以λ>[-（2n+1）]max，即λ>-3. 法二　由{an}是递增数列得-<，解得λ>-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.函数y=f（x）的图象在下列图中并且对任意a1∈（0，1），由关系式an+1=f（an）得到的数列{an}满足an+1>an，则该函数的图象是 （　　） √ 解析：已知an+1=f（an）>an，故f（x）满足f（x）>x，即f（x）的图象在y=x的图象上方，故A正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知数列{an}是递增数列，且an=则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：因为数列{an}是递增数列， 且an= 所以 解得<a<2，所以a的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.设函数f（x）定义如下，数列{xn}满足x0=5，且对任意自然数均有xn+1=f（xn），则x2 025的值为 （　　） x 1 2 3 4 5 f（x） 4 1 3 5 2 A.1 B.2 C.4 D.5 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由对任意自然数均有xn+1=f（xn），且x0=5，得x1=f（x0）=f（5）=2，x2=f（x1）=f（2）=1，x3=f（x2）=f（1）=4，x4=f（x3）=f（4）=5，x5=f（x4）=f（5）=2，…，所以数列{xn}是以4项为一个周期的周期数列，且前四项分别为2，1，4，5.所以x2 025=x506×4+1=x1=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]已知欧拉函数φ（n）（n∈N+）的函数值等于所有不超过正整数n，且与n互素的正整数的个数.例如：φ（1）=1，φ（4）=2，设数列{an}中，an=φ（n）（n∈N+），则 （　　） A.数列{an}是递增数列 B.{an}的前8项中最大项为a7 C.当n为素数时，an=n-1 D.当n为偶数时，an= √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：由题知数列{an}前8项为1，1，2，2，4，2，6，4，不是递增数列，故选项A错误；由选项A可知，{an}的前8项中最大项为a7=6，故选项B正确；当n为素数时，n与前n-1个数互素，故an=n-1，所以选项C正确；因为a6=2，故选项D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]已知数列{an}的通项公式为an=（-1）n · （n2+tn），若{a2n-1}为递减数列，{a2n}为递增数列，则t的可能取值为 （　　） A.-6 B.-4 C.-2 D.3 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：当n为正偶数时，an=n2+tn，则an+2-an=4n+4+2t，因为{a2n}为递增数列，所以4n+4+2t>0对任意的正偶数n恒成立，则4×2+4+2t>0，解得t>-6；当n为正奇数时，an=-n2-tn，则an+2-an=-4n-4-2t，因为{a2n-1}为递减数列，所以-4n-4-2t<0对任意的正奇数n恒成立，则-4-4-2t<0，解得t>-4.所以t的取值范围是（-4，+∞），故t的可能取值为-2或3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.（5分）已知数列{an}的通项公式an=19-2n，则使an>0成立的最大正整数n的值为_______.  9 解析：因为an=19-2n，且an>0，于是有19-2n>0，解得n<，而n∈N+，则nmax=9，所以符合条件的最大正整数n的值为9. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.（5分）已知数列{an}的通项公式为an=，则数列{an}的最大项是第_______项.  6 解析：an==，当n>5且n∈N+时，an>0，且数列递减；当n≤5且n∈N+时，an<0，且数列递减.故当n=6时，an最大. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.（5分）已知数列{an}中，an=1+（n∈N+，a∈R且a≠0）.若对任意的n∈N+，都有an≤a6成立，则a的取值范围为__________.  （-10，-8） 解析：由an=1+=1+，已知对任意的n∈N+，都有an≤a6成立，令y=1+，函数在区间和上单调递减，结合函数的单调性可得5<<6，解得-10<a<-8，因此实数a的取值范围为（-10，-8）. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.（10分）已知数列{an}的通项公式an=n2-3n-28，画出该数列的图象，并根据图象，判断从第几项起，这个数列是递增的. 解：列表： n 1 2 3 4 5 6 7 8 … an -30 -30 -28 -24 -18 -10 0 12 … 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 作图： 如图所示，易知数列首项与第二项相同，从第二项开始每一项都大于前一项，即从第二项开始是递增的. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.（10分）已知数列{an}的通项公式是an=（n+2）× （n∈N+），试问数列{an}是否有最大项？若有，求出最大项；若没有，请说明理由. 解：法一　作差比较an+1与an的大小，判断{an}的单调性.an+1-an=（n+3）×-（n+2）×=×. 当n<5时，an+1-an>0，即an+1>an； 当n=5时，an+1-an=0，即an+1=an； 当n>5时，an+1-an<0，即an+1<an.故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>a8>…， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5=a6=. 法二　作商比较an+1与an的大小，判断{an}的单调性. ==.又an>0，令>1，解得n<5；令=1，解得n=5；令<1，解得n>5.故a1<a2<a3<a4<a5=a6>a7>…，所以数列{an}有最大项，且最大项为a5或a6，且a5=a6=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法三　假设{an}中有最大项，且最大项为第n项，则 即 解得即5≤n≤6.故数列{an}有最大项a5或a6，且a5=a6=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.（10分）已知函数f（x）=（x∈R），设数列{an}的通项公式为an=f（n）（n∈N+）. （1）若an≥，求n的最小值；（4分） 解：由题可知an=（n∈N+）， 若an≥，则an=≥， 解得n≥5，故n的最小值为5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 （2）若bn=an-，试判断{bn}的单调性.（6分） 解：因为bn=an-=-=1--，又n∈N+， 所以2n≥2，≤， 所以1-≥. 令g（x）=x-，取x1，x2∈（0，+∞），x1<x2， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则g（x1）-g（x2）=x1--=<0， 所以g（x1）<g（x2），所以g（x）=x-在（0，+∞）上单调递增， 所以bn=1--（n∈N+）是递增的，即数列{bn}是递增数列. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $