6.3 第2课时 空间中两条直线的位置关系-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第二册配套课件PPT（北师大版）

该高中数学课件聚焦空间中两条直线的位置关系，涵盖基本事实4、等角定理及异面直线夹角等核心知识点。课前自主落实基础概念，课堂通过例题迁移应用，课后跟踪检测巩固，形成梯度进阶的学习支架，衔接平面几何到立体几何的转化。 其亮点在于以梯度进阶式教学为核心，通过正方体、三棱柱等模型培养空间观念（数学眼光），利用平移转化异面直线夹角体现逻辑推理（数学思维），例题与检测中的符号及图形语言强化表达（数学语言）。如例3将异面直线夹角转化为三角形内角求解，帮助学生提升空间想象与推理能力，为教师提供结构化资源，有效落实核心素养。

空间中两条直线的位置关系 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.了解基本事实4及空间中的等角定理,并会应用它们解决一些简单问题. 2.掌握异面直线的夹角的概念及异面垂直,能求出一些较特殊的异面直线的夹角. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.基本事实4 名称 文字语言 图形语言 符号语言 作用 基本 事实4 平行于同一条直线的两条直线互相______ ⇒ ______ 判断空间两条直线平行的依据 平行 a∥c 这一基本事实表述的性质通常称为空间平行线的_________. 传递性 2.空间两条直线的位置关系 一个 没有 任何一个平面 3.定理 文字 语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角_____或_____ 图形 语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 相等 互补 4.异面直线的夹角 定义 前提 两条异面直线a,b 作法 过空间任一点O作直线a'∥a,b'∥b 结论 我们把a'与b'所成的_________________称为异面直线a,b的夹角 范围 记异面直线a与b的夹角为θ,则θ的取值范围是______________ 特殊情况 当θ=90°时,a与b互相垂直,记作_______ 不大于90°的角 0°<θ≤90° a⊥b 5.空间四边形 四个顶点不在同一平面内的四边形称为空间四边形. (1)研究异面直线的夹角,就是通过平移把异面直线转化为相交直线.这是研究空间图形的一种基本思路,即把空间图形问题转化为平面图形问题. (2)异面直线夹角的大小不可以为0°,原因是若两直线的夹角为0°,则这两直线重合或平行,不可能异面.异面直线夹角的大小可以为90°,两条直线垂直,既包括相交垂直,也包括异面垂直. (3)两异面直线的夹角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线的夹角,也可能等于其补角. |微|点|助|解| 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)分别在两个平面内的直线一定为异面直线. ( 　) (2)两条直线垂直,则一定相交. ( 　) (3)两条直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行. ( 　) (4)两条直线若不是异面直线,则必相交或平行. ( 　) (5)两条直线无公共点,则这两条直线平行. ( 　) (6)过平面外一点与平面内一点的连线,与平面内的任意一条直线均构成异面直线. ( 　) (7)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线. ( 　) × × × √ × × × 2.已知直线a∥直线b,直线b∥直线c,直线c∥直线d,则a与d的位置关系是 (　　) A.平行 B.相交 C.异面 D.不确定 3.已知AB∥PQ,BC∥QR,∠ABC=30°,则∠PQR=(　　) A.30° B.30°或150° C.150° D.30°或120° 4.在正方体ABCD⁃EFGH中, (1)AH与FG的夹角是___________; (2)AE与GH的夹角是___________. √ √ 45° 90° 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　空间中直线与直线的位置关系的判定 [例1]　空间中有三条线段AB,BC,CD,且∠ABC=∠BCD,那么直线AB与CD的位置关系是 (　　) A.平行 B.异面 C.相交或平行 D.平行或异面或相交均有可能 √ 解析:根据条件作出示意图,容易得到以下三种情况均有可能,如图可知AB,CD有相交、平行、异面三种情况,故选D. (1)判定两条直线平行与相交可用平面几何的方法去判断,而两条直线平行也可以用基本事实4判断. (2)判定两条直线是异面直线有定义法和排除法,由于使用定义判断不方便,故常用排除法,即说明这两条直线不平行、不相交,则它们异面. |思|维|建|模| 1.如图,正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,判断下列直线的位置关系: (1)直线A1B与直线D1C的位置关系是_________; (2)直线A1B与直线B1C的位置关系是_________; (3)直线D1D与直线D1C的位置关系是_________; (4)直线AB与直线B1C的位置关系是__________. 针对训练 平行 异面 相交 异面 解析:根据题目条件知道直线A1B与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以(1)应该填“平行”.点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”.同理,直线AB与直线B1C“异面”.所以(2)(4)都应该填“异面”.直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以(3)应该填“相交”. 题型(二)　基本事实4及等角定理的应用 [例2]　如图,已知在棱长为a的正方体A1B1C1D1⁃ABCD中, M,N分别是棱CD,AD的中点.求证:四边形MNA1C1是梯形. 证明:如图,连接AC,在△ACD中, ∵M,N分别是CD,AD的中点, ∴MN是△ACD的中位线. ∴MN∥AC,MN=AC. 由正方体的性质得 AC∥A1C1,AC=A1C1, ∴MN∥A1C1,且MN=A1C1. ∴MN≠A1C1. 易知NA1与MC1不平行,∴四边形MNA1C1是梯形. 　　[变式拓展] 　若本例条件不变,试证明∠DNM=∠D1A1C1. 证明:由例题可知MN∥A1C1. 又ND∥A1D1, ∴∠DNM与∠D1A1C1相等或互补. 又∠DNM与∠D1A1C1均为锐角, ∴∠DNM=∠D1A1C1. (1)空间两条直线平行的证明 一是定义法:即证明两条直线在同一个平面内且两直线没有公共点; 二是利用平面图形的有关平行的性质,如三角形中位线、梯形、平行四边形等关于平行的性质; 三是利用基本事实4:找到一条直线,使所证的直线都与这条直线平行. (2)求证角相等 一是用等角定理;二是用三角形全等或相似. |思|维|建|模| 2.如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N, P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点. 求证:∠NMP=∠BA1D. 针对训练 证明:如图,连接CB1,CD1,∵CD綉A1B1, ∴四边形A1B1CD是平行四边形. ∴A1D∥B1C. ∵M,N分别是CC1,B1C1的中点,∴MN∥B1C.∴MN∥A1D. ∵BC綉A1D1,∴四边形A1BCD1是平行四边形. ∴A1B∥CD1. ∵M,P分别是CC1,C1D1的中点,∴MP∥CD1. ∴MP∥A1B. ∴∠NMP和∠BA1D的两边分别平行且方向都相反.∴∠NMP=∠BA1D. [例3]　如图,P是平面ABC外一点,PA=4,BC=2,D,E分别为PC和AB的中点,且DE=3.求异面直线PA和BC夹角的大小. 题型(三)　异面直线夹角的计算 解:如图,取AC中点F,连接DF,EF,在△PAC中, ∵D是PC中点,F是AC中点, ∴DF∥PA. 同理可得EF∥BC. ∴∠DFE为异面直线PA与BC的夹角(或其补角). 在△DEF中,DE=3, 又DF=PA=2,EF=BC=, ∴DE2=DF2+EF2. ∴∠DFE=90°,即异面直线PA与BC的夹角为90°. 求异面直线夹角的一般步骤 (1)找角:根据异面直线的定义,通过作平行线或平移平行线,作出异面直线夹角的相关角; (2)证明:证明找出的角就是异面直线的夹角; (3)求角:求角度,一般常利用解三角形得出; (4)定角:若求出的角是锐角或是直角,则它就是所求异面直线的夹角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线的夹角. |思|维|建|模| 针对训练 3.如图,三棱柱ABC⁃A1B1C1中,底面三角形A1B1C1是正三角形, E是BC的中点,则下列叙述正确的是 (　　) A.CC1与B1E是异面直线 B.C1C与AE共面 C.AE与B1C1是异面直线 D.AE与B1C1的夹角为60° √ 解析:由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内,故C1C与B1E是共面的,所以A错误;由于C1C在平面C1B1BC内,而AE与平面C1B1BC相交于E点,点E不在C1C上,故C1C与AE是异面直线,B错误;同理AE与B1C1是异面直线,C正确;因为AE与B1C1的夹角就是AE与BC的夹角,E为BC中点,△ABC为正三角形,所以AE⊥BC,D错误. 4.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,已知AB=BC=2, AA1=5,E为B1C1的中点,则异面直线BD与CE夹角的余弦值为 (　　) A. B. C. D. √ 解析:取C1D1的中点F,连接EF,CF,B1D1,易知EF∥B1D1 ∥BD,所以∠CEF为异面直线BD与CE的夹角或其补角.因为EF=B1D1=,CE=CF=== ,所以由余弦定理得cos∠CEF== ==.故选C. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.[多选]下列命题错误的结论是 (　　) A.如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等 B.如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等 C.如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,那么这两个角相等或互补 D.如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线互相平行 √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析:如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补,故A错误;由等角定理可知B正确; 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直,这两个角的关系不确定,既可能相等也可能互补,也可能既不相等,也不互补.反例如图,在正方体中, ∠A1D1C1与∠A1BC1满足A1D1⊥A1B,C1D1⊥C1B,但是∠A1D1C1=,∠A1BC1=,二者不相等也不互补.故C错误; 如果两条直线同时平行于第三条直线,那么这两条直线平行,故D正确.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.[多选]如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中, M,N分别为棱C1D1,C1C的中点, 则下列说法正确的是 (　　) A.直线AM与CC1是相交直线 B.直线BN与MB1是异面直线 C.直线AM与BN是平行直线 D.直线AM与DD1是异面直线 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 解析:∵A,M,C,C1四点不共面,∴直线AM与CC1是异面直线,故选项A说法错误;直线BN与MB1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项B说法正确;取DD1的中点E,连接AE(图略),易知AE∥BN,而AE与AM相交,故AM与BN不是平行直线,选项C说法错误;直线AM与DD1不同在任何一个平面内,是异面直线,故选项D说法正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.a,b,c是两两不同的三条直线,下面四个命题中,真命题是 (　　) A.若直线a,b异面,b,c异面,则a,c异面 B.若直线a,b相交,b,c相交,则a,c相交 C.若a∥b,则a,b与c的夹角相等 D.若a⊥b,b⊥c,则a∥c 解析:若直线a,b异面,b,c异面,则a,c相交、平行或异面;若a,b相交,b,c相交,则a,c相交、平行或异面;若a⊥b,b⊥c,则a,c相交、平行或异面;由异面直线的夹角的定义知C正确. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F,G,H分别为AA1,AB,BB1,B1C1的中点,则异面直线EF与GH夹角的大小等于 (　　) A.45° B.60° C.90° D.120° 解析:取A1B1中点I,连接IG,IH,则EF∥IG.易知IG,IH,HG相等,则△HGI为等边三角形,所以IG与GH的夹角为60°,即EF与GH的夹角为60°.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.[多选]在图中,G,N,M,H分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有 (　　) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:对于A,如图1连接GM, ∵G,M为中点,∴GM∥AB.又AB∥HN,∴GM∥HN.故直线GH,MN共面,故A错误. 对于B,已知HN和GM是异面直线,故GH,MN是异面直线,故B正确. 对于C,如图2, 连接GM,∵G,M为中点,∴GM∥AB.又AB∥HN,∴GM∥HN.故直线GH,MN共面,故C错误. 对于D,直线GH,MN既不平行又不相交,故直线GH,MN是异面直线,故D正确.故选BD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.[多选]如图是正方体的平面展开图,则在这个正方体中 (　　) A.AB与CD平行 B.CD与GH是异面直线 C.EF与GH的夹角为60° D.CD与EF平行 解析:该正方体的直观图如图所示. AB与CD是异面直线,故A错误;CD与GH相交,故B错误;因为该几何体为正方体,所以EF∥CD,三角形GHD为正三角形,直线GH与直线GD的夹角为60°,则EF与GH的夹角为60°,故C、D正确.故选CD. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(5分)在三棱台A1B1C1⁃ABC中,G,H分别是AB,AC的中点,则GH与B1C1的位置关系是___________. 解析:如图所示,因为G,H分别是AB,AC的中点,所以GH∥BC.又由三棱台的性质得BC∥B1C1,所以GH∥B1C1. 平行 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF夹角的大小为___________. 解析:如图所示,连接BD,B1D1,D1C. ∵EF∥DB,DB∥D1B1, ∴EF∥D1B1. ∴异面直线B1C与EF的夹角为∠D1B1C. ∵D1B1=B1C=D1C,即△B1CD1为等边三角形, ∴∠D1B1C=60°. 60° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知a,b,c是空间中的三条直线,下列说法错误的是________. (写出所有满足条件的说法序号)  ①若a∥b,b∥c,则a∥c; ②若a,b分别在两个相交平面上,则这两条直线可能平行、相交或异面; ③若a与c相交,b与c异面,则a与b异面. 解析:对于①,根据基本事实4可得①正确. 对于②,如图1,可得②正确. 对于③,如图2,把直线a看成AB,直线b看成AC, 直线c看成BC1,所以直线a,b相交,故③错误. ③ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)如图,若正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面边长为2, 高为4,则异面直线BD1与AA1夹角的正弦值为___________, 异面直线BD1与AD夹角的正弦值是___________. 解析:∵AA1∥DD1,∴∠DD1B即为异面直线BD1与AA1的夹角.连接BD,在Rt△D1DB中,sin∠DD1B===. ∵AD∥BC,∴∠D1BC即为异面直线BD1与AD的夹角. 连接D1C,在△D1BC中,∵正四棱柱ABCD⁃A1B1C1D1的底面边长为2,高为4, ∴D1B=2,BC=2,D1C=2,D1B2=BC2+D1C2.∴∠D1CB=90°. ∴sin∠D1BC===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中, E,F,G分别是棱CC1,BB1,DD1的中点.求证: (1)GB∥D1F;(5分) 证明:因为正方体ABCD⁃A1B1C1D1中, F,G分别是棱BB1,DD1的中点, 所以D1G=BF,且D1G∥BF. 所以四边形D1GBF是平行四边形. 所以GB∥D1F. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)∠BGC=∠FD1E.(5分) 证明:因为正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,G分别是棱CC1,DD1的中点, 所以D1G=CE,D1G∥CE. 所以四边形D1GCE是平行四边形. 所以GC∥ED1. 由(1)知GB∥D1F, 由图形可知∠BGC,∠FD1E均为锐角, 所以∠BGC=∠FD1E. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)如图,四边形ABEF和四边形ABCD都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90°,BC∥AD,BC=AD,BE∥FA,BE=FA,G,H分别为FA,FD的中点. (1)证明:四边形BCHG是平行四边形;(4分) 解:证明:因为G,H分别为FA,FD的中点,所以GH∥AD,GH=AD.又BC∥AD, BC=AD,所以GH∥BC,GH=BC.所以四边形BCHG为平行四边形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)C,D,F,E四点是否共面?为什么?(6分) 解:C,D,F,E四点共面.理由如下: 连接CE(图略),由BE∥FA,BE=FA,G为FA的中点,知BE∥FG,BE=FG, 所以四边形BEFG为平行四边形. 所以EF∥BG,EF=BG. 由(1)知BG∥CH,BG=CH,所以EF∥CH,EF=CH.所以四边形EFHC是平行四边形.所以CE与HF共面. 又D∈直线FH,所以C,D,F,E四点共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(10分)如图,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,BC=, DA⊥AC,DA⊥AB,若DA=1,且E为DA的中点,求异面直线BE 与CD的夹角的余弦值. 解:取AC的中点F,连接EF和BF.在△ACD中,E,F分别是AD, AC的中点,∴EF∥CD,∠FEB即为异面直线BE与CD的夹角. 在Rt△ABC中,BC=,AB=AC,∴AB=AC=1. 在Rt△EAB中,AB=1,AE=AD=,∴BE=. 在Rt△EAF中,AF=AC=,AE=,∴EF=. 在Rt△ABF中,AB=1,AF=,∴BF=. 在等腰三角形EBF中,cos∠FEB===,故异面直线BE与CD的夹角的余弦值为. 本课结束 更多精彩内容请登录：www.zghkt.cn $