正态分布3种高频考法专项训练-2026届高三数学二轮复习

正态分布3种高频考法专项训练 正态分布3种高频考法专项训练 考点目录 利用正态分布的对称性求参数 利用正态分布的对称性求指定区间的概率 正态分布的应用 考点一 利用正态分布的对称性求参数 例1．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 例2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则等于（    ） A． B． C．2 D．3 例3．（2026·江西·一模）已知随机变量，若，则__________. 例4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则__________. 变式1．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 变式3．（2026·四川德阳·二模）已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 变式4．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 考点二 利用正态分布的对称性求指定区间的概率 例1．（25-26高二下·辽宁·开学考试）在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 例2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______. 例4．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________． 变式1．（25-26高二上·山东德州·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 变式2．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A． B． C． D． 变式3．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______. 变式4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）设随机变量，且，则___________． 考点三 正态分布的应用 例1．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 例2．（25-26高三上·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 例3．（24-25高二下·重庆·月考·多选）某老旧小区进行设备节能改造工程，小区内共有700户，其中小户型有550户，其余均为大户型．现采用分层随机抽样的方法选取56户来统计节能结果，结果显示抽取的a户小户型平均每月可节约用电7度，抽取的b户大户型每月可节约用电21度，已知该小区的所有住户每月可节约用电的度数近似服从正态分布，近似为样本均值，则（   ） 附：若，则，， A．， B． C． D．该小区每月可节约用电的度数低于6度的约有16户 例4．（24-25高三下·云南昭通·月考·多选）已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（   ）（参考数据：①；②；③.） A．平均分为100 B．及格率超过86% C．得分在内的人数约为997 D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等 例5．（25-26高三上·陕西西安·期末）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 例6．（2026·重庆·一模）据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 例7．（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 例8．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 变式1．（25-26高三上·河北邢台·月考）袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 变式2．（2025·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 变式3．（25-26高三下·甘肃白银·月考·多选）某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（   ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高二下·广东广州·期末·多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 变式5．（25-26高三上·江苏·期末）某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 变式6．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 变式7．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 变式8．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $正态分布3种高频考法专项训练 正态分布3种高频考法专项训练 考点目录 利用正态分布的对称性求参数 利用正态分布的对称性求指定区间的概率 正态分布的应用 考点一 利用正态分布的对称性求参数 例1．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 例2．（2026·四川绵阳·模拟预测）已知二项式的展开式中所有项的系数和为32，若，且，则等于（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】二项式的展开式中所有项的系数和， 由已知，解得. 因为，所以. 例3．（2026·江西·一模）已知随机变量，若，则__________. 【答案】2 【详解】，解得 故答案为：2 例4．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知随机变量X服从正态分布，若，且，则__________. 【答案】0 【详解】由题意知随机变量X服从正态分布，， 如图所示，结合，得， 可知a，关于对称， 所以，解得. 故答案为： 变式1．（2026·山东东营·一模）已知随机变量，且， 则当时， 的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据题意，随机变量，且，则有，解得.由，即， 所以，当且仅当，即时取等号. 变式2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知随机变量，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】C 【详解】因为正态分布的均值为，故， 故，C正确. 变式3．（2026·四川德阳·二模）已知随机变量X服从正态分布，若，则______ 【答案】2 【详解】由，则， 结合正态分布的对称性知， 所以，则 变式4．（25-26高三下·青海西宁·开学考试）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_________． 【答案】 【详解】因为随机变量满足，,， 由正态分布的对称性可得，即，所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 考点二 利用正态分布的对称性求指定区间的概率 例1．（25-26高二下·辽宁·开学考试）在某项测量中，测量结果服从正态分布，则（   ） A．0.1 B．0.2 C．0.4 D．0.5 【答案】D 【详解】服从正态分布，所以由正态分布的对称性知． 例2．（2026·河南南阳·模拟预测）已知，且，则（   ） A．0.2 B．0.3 C．0.35 D．0.45 【答案】C 【详解】由正态分布的对称性可知，，，已知， 所以，因为， 且，所以，又因为， 所以，代入， 可得，故，所以. 故选：C. 例3．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知随机变量，，则______. 【答案】 【详解】由题意得. 例4．（2026·安徽安庆·一模）设随机变量，且，则___________． 【答案】0.9772 【详解】由，得， 根据，得， 所以. 变式1．（25-26高二上·山东德州·期末）已知随机变量服从正态分布，且，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】D 【详解】因为服从正态分布，所以对称轴， 因为，所以， 由对称性得， 所以. 故选：D 变式2．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称. 根据正态分布的对称性，且， 设，则，解得. 故选： 变式3．（2026·山东青岛·一模）已知随机变量服从正态分布，若，则______. 【答案】0.8 【详解】由可得，因， 由正态曲线对称性，得， 则. 变式4．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）设随机变量，且，则___________． 【答案】 【详解】因为随机变量，所以其正态曲线关于对称， 因此：， 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 考点三 正态分布的应用 例1．（2026·湖北黄石·一模）某次考试有10000人参加，若他们的成绩近似服从正态分布，则分数在100-120之间的考生约有（    ）（参考数据：若，则有） A．1360人 B．1570人 C．2720人 D．3410人 【答案】A 【详解】由成绩近似服从正态分布，得， 则 ，则， 所以分数在100-120之间的考生约有1360人. 例2．（25-26高三上·湖北黄石·期末）假设某次考试的成绩服从正态分布.如果按的比例将考试成绩从高到低分为四个等级，则A等级的分数线约为（    ） 【若，则】 A．85 B．130 C．115 D．145 【答案】C 【详解】因为，则， 由于考试成绩从高到低分为四个等级，故等级对应“”， 因为考试的成绩服从正态分布，， 则， 则A等级的分数线约为115. 故选：C. 例3．（24-25高二下·重庆·月考·多选）某老旧小区进行设备节能改造工程，小区内共有700户，其中小户型有550户，其余均为大户型．现采用分层随机抽样的方法选取56户来统计节能结果，结果显示抽取的a户小户型平均每月可节约用电7度，抽取的b户大户型每月可节约用电21度，已知该小区的所有住户每月可节约用电的度数近似服从正态分布，近似为样本均值，则（   ） 附：若，则，， A．， B． C． D．该小区每月可节约用电的度数低于6度的约有16户 【答案】ABD 【详解】由题设（户），（户），A对； 所以，B对； 所以，则，C错； ， 所以户，D对. 故选：ABD 例4．（24-25高三下·云南昭通·月考·多选）已知在一次数学测验中，某校1000名学生的成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则对于该校学生成绩，下列说法正确的有（   ）（参考数据：①；②；③.） A．平均分为100 B．及格率超过86% C．得分在内的人数约为997 D．得分低于80的人数和优秀的人数大致相等 【答案】ACD 【详解】由题意知，，，A：，，故A正确； B： ， ，故B错误； C：， 人，故C正确； D：， 因为成绩服从标准正态分布， ，故D正确， 故选：ACD. 例5．（25-26高三上·陕西西安·期末）某小型餐饮公司统计了最近300天的营业额（单位：元），发现每天的营业额满足：.据统计，每天营业额不低于4000元的天数为90，则该公司每天营业额在的天数约为__________天. 【答案】60 【详解】因为营业额不低于4000元的天数为90， 所以， 所以， 所以该公司每天营业额在的天数约为， 故答案为：60 例6．（2026·重庆·一模）据调查，某高校大学生每个月的生活费(单位：元) 服从正态分布，又，已知该校大学生人数较多，现从该校所有学生中，随机抽取10位同学， 则这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有_____人． 【答案】8 【详解】由，， 得， 所以这10位同学中，每月生活费不低于1500的人数大约有. 故答案为：8 例7．（25-26高二上·广东·期末）潮阳实验学校高二学生参加数学竞赛，成绩服从正态分布. (1)求成绩在70分到90分之间的概率； (2)若该校有1000名学生参加竞赛，估计成绩超过90分的学生人数； (3)若从成绩前的学生中选2人参加省级竞赛，求选中的2人成绩都超过95分的概率. 附注：若，则， 【答案】(1) (2)159 (3) 【详解】（1）设学生数学竞赛成绩为，则，则，， . （2）因为， 所以估计成绩超过90分的学生人数为人. （3）设前分位数为，则，所以， 由正态分布表得，解得， 又， ， 所以选中的2人成绩都超过95分的概率为. 例8．（2025·辽宁大连·模拟预测）近年来，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命的战略性技术.智能芯片作为人工智能的“心脏”，不论是制造工艺的持续精进，还是架构设计的大胆创新，国产智能芯片的算力与能效比均在大幅提升. (1)已知某款芯片生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，. ①求该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率； ②第四道工序中，部分芯片由智能检测系统进行筛选，检测出的次品芯片会被淘汰，通过筛选的芯片及未经筛选的芯片都进入流水线由工人进行人工抽样检验．记表示事件“某芯片经过智能检测系统筛选”，表示事件“某芯片经人工抽检后合格”，试比较与的大小； (2)改进生产工艺后，该款芯片的某项质量指标服从正态分布，现从中随机抽取个，这个芯片中恰有个的质量指标位于区间．若，将使得的最大的值作为的估计值，试求的值． 参考数据：，. 【答案】(1)①；② (2)28 【详解】（1）①在进入第四道工序前,该款芯片的次品率为： ． ②证明：由题意，所以，所以， 因为， 所以， 即， 所以，即，所以． （2）由已知得： ， 因为， 所以服从二项分布，， 设， 由得，即， 解得，由得， 所以的估计值为28． 变式1．（25-26高三上·河北邢台·月考）袋装食盐标准质量为，规定误差的绝对值不超过就认为合格.某食盐包装生产线的误差服从正态分布，误差的样本均值为0，样本方差为4，则随机抽取10000袋食盐，估计合格的约（   ）袋. [附：若随机变量X服从正态分布，则，，.] A．6827 B．8161 C．9545 D．9759 【答案】C 【详解】因为误差的样本均值为，样本方差为，所以， 又规定误差的绝对值不超过为合格，即合格时误差随机变量满足， 即，根据附加信息， 估计误差满足的概率约为， 所以估计合格的袋数约为. 故选：C. 变式2．（2025·江苏·模拟预测）某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差.已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过495克的可能性约为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设1包糖果的质量为，则， 所以， 又， 所以. 故选：D 变式3．（25-26高三下·甘肃白银·月考·多选）某研究团队测定：某植物叶肉细胞的有氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布；干旱胁迫下叶肉细胞的无氧呼吸强度的测定值记为变量，经统计检验变量近似服从正态分布（单位略），则（若随机变量服从正态分布，）（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A：，A项正确； 对于B：，B项正确； 对于C：，C项错误； 对于D：，D项正确． 故选：ABD. 变式4．（24-25高二下·广东广州·期末·多选）李明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他各记录了50次坐公交车和骑自行车所花的时间，经数据分析得到，假设坐公交车用时X和骑自行车用时Y都服从正态分布，，．X和Y的分布密度曲线如图所示．则下列正确的是（    ） （参考数据：，，） A． B． C． D．为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间 【答案】BD 【详解】对于A中，根据给定的正态分布密度曲线图像，可得随机变量，所以，所以A错误； 对于B中，根据正态分布密度曲线图像，可得时， 随机变量对应的曲线与围成的面积小于时随机变量对应的曲线与围成的面积， 所以， 所以B正确； 对于C中，根据正态分布密度曲线图像， 可得， ， 即，所以C错误； 对于D中，因为， 所以， 为了保证84.135%的概率不迟到，李明不管选择哪种交通工具都需至少预留36分钟时间，所以D正确； 故选：BD. 变式5．（25-26高三上·江苏·期末）某次考试的数学成绩X近似服从正态分布且，若参加考生总人数是1000，则估计学生数学成绩在130分以上的总人数为________． 【答案】30 【详解】因为，所以均值， 由，根据正态分布曲线的对称性可得， 所以， 所以学生数学成绩在130分以上的总人数为. 故答案为：30 变式6．（24-25高二下·贵州遵义·月考）某校高三学生共人，其身高近似服从正态分布（单位：cm），身高大于称为“高个子”，则全校高三学生中“高个子”的学生人数约为______人.（参考数据：，结果保留整数） 【答案】 【详解】由身高近似服从正态分布，则， 所以， 可得全校高三学生中“高个子”的学生人数约为（人）. 故答案为：. 变式7．（2026·河南许昌·模拟预测）某企业对员工进行技能测试，测试成绩（满分为150分）近似服从正态分布，且，测试成绩120分以上（含120分）为优秀. (1)若该企业共有30000名员工参加测试，试估计该企业测试成绩80分以上（含80分）的员工人数（结果四舍五入保留到整数）； (2)从该企业所有参加测试的员工中随机抽取3人，设3人中测试成绩优秀的人数为，求的分布列和期望. 附：若随机变量，则，，. 【答案】(1)25241人 (2) 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 【详解】（1）因为，所以，， 所以， 则， 所以估计该公司测试成绩80分以上（含80分）的员工人数为25241人. （2）因为，且， 所以， 依题意， 所以，， ，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.729 0.243 0.027 0.001 所以随机变量的期望. 变式8．（25-26高三下·湖南长沙·开学考试）某新能源汽车企业为了检验一款新车型的续航能力，随机抽取了辆该车型，在相同条件下进行续航测试，得到续航里程（单位：）的频率分布表如下： 续航里程区间 频率 (1)求这辆该车型续航里程的平均数和方差（同一区间的数据用该区间的中点值作代表）； (2)由频率分布表可认为，该车型的续航里程服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差． （i）求； （ii）某用户购买了该车型，求其续航里程不低于的概率． 参考数据：，若，则，． 【答案】(1) (2)（i）（ii） 【分析】（1）结合已知条件，利用平均数和方差的计算公式求解； （2）（i）利用（1）的数据结合正态分布的性质求解；（ii）利用正态分布的对称性计算求解． 【详解】（1） ， ． （2）由（1）可知，，，结合参考数据得， （i），， ，区间长度为， 根据正态分布的对称性，概率近似等于， 已知，， ； （ii）利用正态分布对称性：， ， 其续航里程不低于的概率约为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $